第七章 实数教学案

§7.1算术平方根
预习目标：
1、了解算术平方根的意义，记住算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
2、经历从平方运算到求算术根的演变过程，体会二者的互逆过程，发展思维能力。
预习重难点：
算术平方根的意义和概念
预习导学：
预习任务一： 了解算术平方根的意义，记住算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根。
1、一个正方形的面积是4，大家猜一下它的边长是 。你是怎样求出来的呢？可以与同学交流。
2、算术平方根的概念： 特别地，规定0的算术平方根是 ，由此得 （ a≥0 ）
那么，负数有没有算术平方根呢？
3、在第1题中，由于，所以， 是4的算术平方根，记作 。
预习任务二：会用平方运算求某些非负数的算术平方根。体会平方运算和求算术根的互逆过程。
求下列各数的算术平方根。
⑴ 16 ⑵ 64
（3） （4）0.81
预习诊断：
121
169
225
324
361
12
13
14
16
17
20
填表
2、求下列各式的值。
⑴ = ⑵=
（3） = （4）=
巩固训练：
1.①正数的算术平方根是 ，（填“正数”或“负数”）有 个；
②0的算术平方是 ；
③负数 算术平方根。
综合①②③知：一个 数的算术平方根 。且是 数。
2.求下列各数的算术平方根：
（1）36 （2）1
（3）0.081 （4）
（5）49 （6）0.64
（7） （8）
3.铺一间面积为60的教室的地面，需要大小完全相同的240块正方形地板砖，每块地板砖的边长是多少？
4.一个正方形运动场地的面积是625㎡，它的边长是多少？
5.教材42页，习题7.1（将答案写到课本上）
拓展延伸：
1、判断（1）的算术平方根。（ ）
（2）没有算术平方根。（ ）
（3）的算术平方根。 （ ）
总结：（1）当是的算术平方根时，是什么数？

（2）当-是的算术平方根时，是什么数？
§7.2 勾股定理
预习目标：
1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯。2、掌握勾股定理和它的简单应用。
3、尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性。
预习重难点：
掌握勾股定理和它的简单应用
预习任务一： 预习课本43页，掌握勾股定理。
勾股定理的内容：
Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，则斜边长为___________ 。
预习任务二： 会用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题。
1、自学课本例1，例2，独立做在下面。（注意步骤，在旁边画出图形）
例1： 例2 ：
预习诊断：
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。（要求先画出图形）
①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。
2、在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c。
（1）a=9，b=12，求c； （2）a=9，c=41，求b；

（3）a=11，b=13，求以c为边的正方形的面积。
巩固训练
1、如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，
①你能算出BC边上的高AD的长吗？②△ABC的面积是多少？
2.直角三角形两条直角边的长分别为1和，，求斜边上的高。
3.边长为2 的正三角形的高是多少？
4.为了美化环境，计划在某小区铺设一块面积为30平方米的等腰三角形绿地，使它的底边长为10米，求这个等腰三角形绿地腰的长。
5.将课本46页的习题7.2做到练习本上。
拓展延伸
1. 一个三角形两边的长分别为2和，第三边的长为何值时这个三角形是直角三角形？
2.用勾股定理解决下列问题（注意格式规范，先画出图形）
一艘轮船以24海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船同时以10海里/时的速度离开港口向西南方向航行，1小时后这两艘轮船相距多远？
§7.3 是有理数吗？（1）
预习目标：
1、经历的产生及是无限不循环小数的探索过程。
2、能用有理数估计的大致范围，体会无理数与有理数的区别与联系。
预习重难点：
估算的大致范围。
预习任务一：通过实践与探究验证不是有理数。
下面大家剪出一个直角边为1的等腰直角三角形，回答：
（1）用直尺量出斜边的长大约为 (2)利用勾股定理计算斜边的长为 。
思考：是有理数吗？（提示：说明既不是整数也不是分数即可）
预习任务二：借助有理数估算的大致范围
1、（1）的平方为 ，而1的平方为 ，2的平方为 。
由此可得处于 与 之间。
（2）进一步缩小范围，即：1.4的平方为 ，1.5的平方为 ，
由此可得处于 与 之间。借助计算器继续研究下去，可得为 是一个无限不循环小数。再如：0.1010010001.........每两个1之间多一个0也是无限不循环小数。由此可得：
无理数的概念：
思考：1.是否所有的数都能写成有限小数或无限循环小数呢?
2、无理数与有理数的区别是什么？
预习诊断：
1.下列各数,哪些是有理数,哪些是无理数?
－0.313 131---,π/2，，，3.14，，0.4829，1.020 020 002--，，有理数有 ，无理数有 。
2.估算 的大致范围。
巩固训练
1.下列说法正确的是（ ）
A、带根号的数都是无理数 B、无限不循环小数是无理数
C、象0.3030030003…有一定规律的数不是无理数 D、无限小数都是无理数。
2.下列各数中不是无理数的是（ ）
A、 B、 C、π D、0.01001000100001…
3.判断正误,在后面的括号里对的用"∨",错的用"×"表示。
(1) 无理数都是开方开不尽的数. ( ) (2) 无理数都是无限小数. ( )
(3) 无限小数都是无理数. ( ) (4) 无理数包括正无理数、零、负无理数。 （ ）
(5) 不带根号的数都是有理数。 （ ） (6) 带根号的数都是无理数。 （ ）
4.在数、0、3.6、、0.2323323332......（两个2之间多一个3）、32中，其中有理数有 ，无理数有 。
5.绝对值小于的所有整数是
6.一个直角三角形的直角边长为2和3，试借助计算器估算它的斜边的长。（精确到0.1）（写出过程）
7.下列各数中，3.14159，，0.131131113…，-π，，，无理数的个数有 个。
拓展延伸
1、用有理数估计下列各数的算术平方根的范围（精确到0.001）
（1） 29 （2）91
§7.3 是有理数吗（2）
预习目标：
1、能在数轴上找到无理数对应的点。
2、会综合运用勾股定理、算术平方根、无理数的知识解决实际问题。
预习重难点：
在数轴上找到无理数对应的点
预习任务一： 说出作线段的方法及依据
1、下面大家分别用两种方法做一做：给出单位长度为1的线段，请你根据勾股定理作出长度为的线段，然后再依次作出长度为的线段。
作图：
思考（1）以上作图的依据是
（2）如何利用单位长度1作出长度为的线段？把图画在下面：
2、在数轴上以1为单位长度，尝试表示出、
因此，数轴上的点也可以表示
预习任务二：教材53页例2，写出求解过程，会用勾股定理进行计算（自己做一遍）思考例2中求两点之间的距离的解决思路是什么？
预习诊断:
1、数轴上到原点的距离为的点表示的数是
2、直角三角形一条直角边的长为1，斜边的长为，则另一条直角边的长为
3、如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在△ABC中，AB= ，BC= ,AC= ,其中是无理数的
有 条。
4、在数轴上作出表示的点
巩固训练
1.如果是的整数部分，是的小数部分，=____。
2.如图，已知圆心M的坐标是（3，0），点A的坐标是（8,0）,分别写出点B,C,D的坐标。
3.将课本55页习题7.3做到练习本上。
拓展延伸
1、你能在数轴上找出表示无理数的点吗？试一试。
2、如图，在直角坐标系中，点M的坐标是（2,0），MA=4，点A与点B关于x轴对称，求B点的坐标。
§7.4 勾股定理的逆定理（1）
预习目标：
1 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别。
2 能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形。
3 理解勾股数含义。
预习重难点：勾股定理的逆定理及应用
预习导学：
任务一：勾股定理的逆定理
如果三角形两边的 等于 ，那么这个三角形是 三角形，这个判断方法称为勾股定理的逆定理。
符号表示：在△ABC中，a,b,c是它的三边，若 ，则△ABC是直角三角形，∠ =90°
任务二：勾股数
一般地，把能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数组。
如：3、4、5； 5、12、13； （自己试着举几个勾股数组的例子）
预习诊断：
1.下列各题中，a,b,c分别是△ABC的三边的长，判断△ABC是不是直角三角形
（1）a=1,b=,c= (2 )a=2,b=3,c=4 (3 ) a=3x,b=4x,c=5x ( x﹥0)
2.若一个三角形的三边满足，则这个三角形是 三角形。
3.若△ABC的三边的比是3:4:5，，则此三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
4.如果三个连续整数是三角形三边长，则三边为 。
5.分别以下列每组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10 （2）5、12、13
（3）8、15、17 （4）4、5、6 是勾股数的是（ ）
A 4组 B 3组 C 2组 D 1组
6.设（a，b，c）是一个勾股数组，当K是正整数时，（Ka,Kb,Kc）也是勾股数组吗？
巩固训练
1.在四边形ABCD中，，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．（先画图，在计算）
2. 三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）．
A．12．5 B．12 C． D．9
5.直角△的两条直角边长分别为1cm和2cm，一个正方形的边长恰好等于这个直角三角形的斜边长，则这个正方形的面积为__________.
6.已知一个直角△的两边长分别为3,4，则第三边的平方为________.
7.一个等腰△长为13cm，边长为10cm，则底边上的高为_______.
拓展延伸
1.如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
2.如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
§7.5 平方根
预习目标：
1、 知道平方根的意义，会求一个数的平方根
2 、理解平方根的性质
预习重难点：平方根的意义
预习导学：
任务一.平方根的意义
1、（1）平方等于4的数有 个，是
（2）平方等于2的数有 个，是
（3）如果a是一个正数，平方等于a的数有 个，把它们表示出来 .
（4）平方等于0的数有 个是 有平方是负数的数
2、 如果一个数x的平方等于a ,即 ，那么 是 的平方根。或叫二次方根。表示为
3 、开平方：求 。 叫 数
任务二.平方根的性质
一个正数有 个平方根；它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根。
预习诊断：
1．9的平方根是 ；的平方根是 ；
的平方根是 ；的平方根是 。
2．计算

3. （1）如果，求 （2） 求 x
任务三.平方根的表示及求法
（1）表示a的平方根，记作，其中2是根指数，通常省略不写，记作，a叫 ，如 100的平方根，记作 ，5的平方根，记作 ，读作 。
（2）一个非负数的平方根的求法
① 根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根
② 对于开方开不尽的数，我们直接用来表示即可。
预习诊断：
1. 判断下列各数是否都有平方根
（1） （2）0 （3）-0.04 （4）
2. 求下列各数的平方根

3.比较两个数的大小
（1） （2） （3）
巩固训练
1. 求下列各数的算术平方根和平方根
0.36
2. 计算：（1） （2）
（3） （4）
3.将课本63页练习题和习题7.5做到课本上。
拓展延伸
（1）如果一个正数的平方根分别是与，求这个正数
（2）已知： ，求
§7.6 立方根
预习目标：
1、了解立方根的意义，会用符号表示一个数的立方根，知道任何一个数都有立方根。
2、尝试用立方运算求某些数的立方根。
3、体会从立方运算到开立方运算的演变过程。
预习重难点：
了解立方根的意义，会用符号表示一个数的立方根。
预习导学：
任务一、阅读教材P64-66内容，理解相关概念。
(1) 立方根
（2）开立方
任务二、在理解概念的基础上，观察思考例题1,求下列各数的立方根

任务三、思考：
（1）一个数的立方根的符号怎样确定。
（２）尝试做求下列各式的值：
(1) （2） － （3）
预习诊断：
1.填空题： 如果x3＝a，则x叫做a的 ，记作 。
正数有一个 的立方根，负数有一个 的立方根，0的立方根是 。
2.选择题：如果x3＝（－）3,那么x等于（ ）
A B － C D －
3.求下列式子的值
巩固训练
1、﹣8的立方根与4的算术平方根的和是
2、若a的立方根等于a的算术平方根，则a=
3、求下列各式中x的值：
（1）
（3） （4）
4、一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是
5、将课本67页习题7.6的题目做到课本上。
拓展延伸
1、若+=0,求的值。
2、若3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根。
§7.8实数（1）
预习目标:
1.了解实数的概念，会对实数进行分类，会说出一个实数的相反数和绝对值。
2.了解实数与数轴上的点的一一对应关系。
预习重点:
实数的概念及分类。
预习导学：
任务一：通过预习，完成下列问题：
1、_________________________________称为实数，请举出几个无理数的例子？
任务二：你会对实数进行分类吗？有几种分类方法？依据是什么？写在下面。
任务三：_______________________ 与数轴上的点一一对应。这句话的含义是 ________________________________________________________________________
。
预习诊断：
求下列个数的相反数和绝对值：
5.4 - 3.14-π
相反数：
绝对值：
判断下列数是否为无理数
0, ， ， 0.010010001
3.把下列各数写在相应的集合里：０，－，，－，3.14，，，
０.4343343334…，有理数集合｛　　　 … ｝ 无理数集合｛ …｝

正数集合｛ …｝负数集合｛ …｝ 实数集合｛ …｝
巩固训练
1.求下列各数的相反数和绝对值：
2.5， －， ， 0， ， －3， ５－
相反数：
绝对值：
2.下列各数（1）3.141 （2）0.333 33…… （3）-（4）Л （5）+（6）- (7)- (8)0.3030003000003……有理数的有 ；正实数的有 负实数的有 （填序号）
3.已知x、y为实数，且，则x-y的值为
A．3 B．-3 C．1 D．-1
4.若x2=(-0.7)2,则x=（ ） A -0.7 B 0.7或-0.7 C 0.7 D 0.49
5.若实数a的倒数是-2,则a的相反数是
6. 2-的相反数是 ，绝对值是 。
7.如图：数轴上点A表示的数为x，则x的相反数是（ ）
A. B.－ C. 5 D. －5
第七章 实数 回顾与复习
【基础知识回顾】
一、实数的分类：
1、按实数的定义分类：

实数
有限小数或无限循环数

2、按实数的正负分类：

实数
【名师提醒】：
一、1、正确理解实数的分类。如：是 数，不是 数，是 数，不是 数。
2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数
二、实数的基本概念和性质
1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a的相反数是 ，0的相反数是 ，a、b互为相反数
3、倒数：实数a的倒数是 ， 没有倒数，a、b互为倒数
4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
=
因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
a+b的相反数是 ，a-b的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是
三、数的开方。
1、若x2=a(a 0),则x叫做a的 ，记做±，其中正数a的 平方根叫做a的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。
2、若x3=a,则x叫做a的 ，记做，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。
平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。
【重点考点例析】
考点一：无理数的识别。
例1 、实数π，，0，-1中，无理数是（　　）
A．π B． C．0 D．-1
对应训练
1．下列各数中，3.14159，，0.131131113…，-π，，，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二、实数的有关概念。
例2 、16的平方根是（　　）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
对应训练：(－2)2的算术平方根是(　　)
A．2 B．±2 C．－2 D．
例3 、-的绝对值是（　　）
A． B．- C． D．-
对应训练1． 的相反数是（　　）
A． B． C．- D．-
2．实数-8的立方根是 ．
考点三：实数与数轴。
例4、(1)实数a在数轴上的位置如图所示，则|a-2.5|=（　　）
A．a-2.5 B．2.5-a C．a+2.5 D．-a-2.5
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|＋＝__________.
（3）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为C，则点C所表示的实数是(　　)
A．2－1 B．1＋ C．2＋ D．2＋1
对应训练：如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜b D．a+b＜0
考点四：非负数的性质
例5 若a，b为实数，且|a+1|+=0，则（ab）2013的值是（　　）A．0 B．1 C．-1 D．±1
对应训练：
（1）已知实数x，y，m满足+|3x+y+m|=0，且y为负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞-6 D．m＜-6
（2）若实数x，y满足＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为_________
（3）若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为 (　　)
A．－4 B．－1 C．0 D．4
考点五、实数的大小比较
【例6】比较2.5，－3，的大小，正确的是( 　　)
A．－3＜2.5＜ B．2.5＜－3＜
C．－3＜＜2.5 D．＜2.5＜－3
对应训练：1．下列各数中，最小的数是(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．－
【巩固训练】
1．实数0.5的算术平方根等于（　　）
A．2 B． C． D．
2．下列各式化简结果为无理数的是（　　）
A． B．()0 C． D．
3．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（　　）
A．点A的左边 B．点A与点B之间
C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边
4．下列各数中是正数的为（　　）
A．3 B．- C．- D．0
5．若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（　　）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
6．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）
A．a+b＜0 B．-a＜-b C．1-2a＞1-2b D．|a|-|b|＞0
7．下列运算正确的是(　　)
A．－|－3|＝3 B．－1＝－3 C．＝±3 D．＝－3
8．下列四个数中，负数是(　　)
A．|－2| B．(－2)2 C．－ D．
9．（2013?上海模拟）求值：= ．
10．（2013?黔西南州）的平方根是 ．
11．（2013?黔西南州）已知+|a+b+1|=0，则ab= ．
12、已知则的平方根是 。
13、已知
14、如果是的整数部分，是的小数部分，=____。
15、
16、1，2，3…100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有_个。
17、解方程 ：
（1） （2）