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八年级上数学《第十一章三角形》综合测试卷（B卷）
试卷满分：120分 测试时间：120分钟
选择题（每小题3分，共30分）
1．（2022春 皇姑区校级期中）若三角形的两边长是2cm和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm
【分析】首先设三角形的第三边长为xcm，再根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边可得5﹣2＜x＜5+2，然后根据第三边的数值为奇数，确定第三边长的值，再求出周长即可．
【解答】解：设三角形的第三边长为xcm，由题意得：
5﹣2＜x＜5+2，
解得：3＜x＜7，
∵第三边的数值为奇数，
∴x＝5，
∴这个三角形的周长为：2+5+5＝12（cm），
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三边关系定理，确定出第三边长．
2．（2022秋 回民区校级月考）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（ ）
A．31cm B．25cm C．22cm D．16cm
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ABD的周长为22cm，
∴AB+AD+BD＝22cm，
∵AB比AC长6cm，
∴AB﹣AC＝6cm，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝AB﹣6+AD+DC＝22﹣6＝16（cm），
故选：D．
【点评】题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3．（2022 平城区校级开学）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题是一道关于三角形的题目，回想三角形的中线、角平分线、高线的概念；由∠1＝∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念可知①错误；接下来，根据三角形中线、高线、角平分线的概念试着分析②、③、④，相信你能解答此题了．
【解答】解：对于①，由∠1＝∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念，故①错误；
对于②，BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，由三角形中线的概念，故②错误；
对于③，由于CH⊥AD于H，由三角形高线的概念可知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；
对于④，由AH平分∠FAC并且在△ACF内，故AH是△ACF的角平分线．又因为AH⊥CF，所以AH也是△ACF的高，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的角平分线、高线、中线．关键是根据三角形的中线、角平分线、高线解答．
4．（2022秋 余杭区月考）如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系为（ ）
A．∠1+∠2＝∠4﹣∠3 B．∠1+∠2＝∠3+∠4
C．∠1﹣∠2＝∠4﹣∠3 D．∠1﹣∠2＝∠3﹣∠4
【分析】利用三角形外角的性质可得∠4＝∠1+∠2+∠3，再根据等式的性质转化可求解．
【解答】解：如下图，由三角形外角的性质可得：∠5＝∠2+∠3，∠4＝∠1+∠5，
∴∠4＝∠1+∠2+∠3，
∠1+∠2＝∠4﹣∠3．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
5．（2022春 鄄城县期末）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
【解答】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2022秋 江夏区期中）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】如图，根据多边形的外角和等于360°，得∠5+∠6+∠7＝360°﹣230°＝130°．根据三角形外角的性质，得∠8＝∠6+∠7，那么∠5+∠8＝130°．根据三角形内角和定理，得∠P＝180°﹣（∠5+∠8）＝50°．
【解答】解：如图．
由题意得：∠1+∠2+∠3+∠4＝230°．
∴∠5+∠6+∠7＝360°﹣230°＝130°．
∵∠8＝∠6+∠7，
∴∠5+∠8＝130°．
∴∠P＝180°﹣（∠5+∠8）＝180°﹣130°＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形的外角、多边形的外角和等于360°、三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角、多边形的外角和等于360°、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解决本题的关键．
7．（2022春 方城县期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝θ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．θ＝2α+β B．θ＝α+2β C．θ＝α+β D．θ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：如图：
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝θ，
∴∠BDA'＝θ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
8．（2022秋 郧阳区期中）若一个多边形截去一个角后，变成十六边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．16或17 C．15或17 D．16或17或18
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题．
【解答】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是15或16或17．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，同学们可以自己动手画一下．
9．（2022春 乐亭县期末）如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AFFD，CEEF，则△DEF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可．
【解答】解：∵△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，
∴S△ACDS△ABC，
∵AFFD，
∴DFAD，
∴S△CDFS△ACD，
∵CEEF，
∴S△DEFS△CDF，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
10．（2022秋 奈曼旗校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝2∠ADB，③∠ADC＝90°﹣∠ABD，④DB平分∠ADC，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC∠EAC，∠DCA∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°（∠EAC+∠ACF）
＝180°（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°（180°+∠ABC）
＝90°∠ABC，
＝90°﹣∠ABD
∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，
∴④错误，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，掌握角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键．
填空题（每小题3分，共24分）
11．（2022春 辉县市期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是 ．
【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，
即3＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为6+2+5＝13．
故答案为：13．
【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
12．如图，在△ABC中，若CEBC＝4，BDBC，CD，BE是△ABC的两条中线，则△ABC的周长是 ．
【分析】根据三角形的中线的概念分别求出AC、AB，计算即可．
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，CEBC＝4，
∴AC＝2CE＝8，BC＝12，
∵BDBC，
∴BD＝3，
∵CD是△ABC的中线，
∴AB＝2BD＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+8+12＝26，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
13．如图，一副直角三角板如图所示摆放，∠A＝30°，∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°．顶点D在AC边上，且EF∥AB，则∠CDF的度数是 ．
【分析】延长AC，EF交于点G，由平行线的性质可得∠AGE＝∠A＝30°，由三角形的外角性质可求得∠DFG＝135°，再由三角形的内角和即可求∠CDF的度数．
【解答】解：延长AC，EF交于点G，如图，
∵EF∥AB，∠A＝30°，
∴∠AGE＝∠A＝30°，
∵∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°，
∴∠DFG＝∠E+∠FDE＝135°，
∴∠CDF＝180°﹣∠FDE﹣∠AGE＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
14．（2023春 江阴市期中）如图，OC是△ABC的角平分线，P是线段AB延长线上一点，PQ⊥OC于点Q，当∠ABC﹣∠BAC＝42°时，∠APQ的度数为 °．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可．
【解答】解：设∠BAC＝x°，则∠ABC＝（x+42）°，
∴∠ACB＝180°﹣x°﹣（x+42）°＝（138﹣2x）°，
∵OC平分∠ACB，
∴∠ACO∠ACB＝（69﹣x）°，
∴∠POQ＝∠A+∠ACO＝69°，
∵PQ⊥OC，
∴∠PQO＝90°，
∴∠APQ＝90°﹣69°＝21°，
故答案为：21．
【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义是正确解答的前提．
15．如图，AD为△ABC的角平分线，G为AD的中点，连接BG并延长交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．则下列判断中正确的是 ．
①AD是△ABE的角平分线；②BG是△ABD的中线；③CH为△ACD中AD边上的高．
【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可．
【解答】解：由AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念可知①错误；
由G为AD的中点，由三角形中线的概念可知BG是△ABD的中线，故②正确；
由于CH⊥AD于H，由三角形高线的概念可知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；
故正确的选项为②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是理解三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2022春 宜兴市校级月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为 ．
【分析】先利用角平分线的定义得到∠ABP∠ABD，∠ACP∠ACD，再根据三角形内角和定理得到∠ABP+∠A＝∠ACP+∠P，所以∠A（∠ACD﹣∠ABD）+∠P，然后把∠ACD﹣∠ABD＝64°，∠P＝18°代入计算即可．
【解答】解：如图，
∵∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，
∴∠ABP∠ABD，∠ACP∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABP+∠A＝∠ACP+∠P，
∴∠A＝∠ACP﹣∠ABP+∠P
（∠ACD﹣∠ABD）+∠P
64°+18°
＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：运用三角形内角和定理主要用在求三角形中角的度数，可以直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角．
17.（2022春 市南区期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 ．
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：如图，
由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故答案为80°．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
18．（2022春 湖里区校级期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．写出∠FGD，∠ABE，∠C的之间的数量关系： ．
【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【解答】解：∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵BE是△ABC的角平分线，
∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠AEB，
∴∠FGD＝∠ABE+∠C，
故答案为：∠FGD＝∠ABE+∠C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19．（5分）（2022春 南阳期末）已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和．
【分析】一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍多20°，又由于内角与外角的和是180度．设内角是x°，外角是180°﹣x°，列方程求解，再根据多边形的外角和与内角和定理求解．
【解答】解：设内角是x°，外角是180°﹣x°，
则得到方程
x＝3（180﹣x）+20，
解得x＝140，
180°﹣x°＝40°．
而任何多边形的外角是360°，
则多边形内角和中的外角的个数是360÷40＝9，
则这个多边形的边数是20边形，内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．
故这个多边形的边数为9，内角和为1260°．
【点评】本题考查的是多边形内角与外角，根据多边形的内角与外角的关系转化为方程的问题，并利用了多边形的外角和与内角和定理；已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
20．（6分）（2022春 武山县期末）已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足
（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
21．（7分）（2022春 天元区校级期末）如图，在△ABC中，E、G分别是AB、AC上的点，F、D是BC上的点，连接EF、AD、DG，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）说明：AB∥DG；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝3∠B+40°，求∠B的度数．
【分析】（1）证明平行，找角相等．
（2）求∠B的度数，利用（1）的结论和新的条件．
【解答】证明：（1）由题意可知，
∠BEF＝∠1，∠BFE＝∠ADB，
∴∠BEF+∠BFE＝∠1+ADB，
∴180°﹣（∠BEF+∠BFE）＝180°﹣（∠1+ADB），
即∠B＝∠GDC，
∴AB∥DG．
解：（2）∵DG是∠ADC的平分线，且AB∥DG，
∴∠1＝∠GDC＝∠B，
∵∠2＝3∠B+40°，
∴180°﹣∠1＝3∠B+40°，
∴180°﹣∠B＝3∠B+40°，
∴∠B＝35°．
【点评】本题考查三角形内角和定理和平行线的判定和性质，灵活利用题目的已知信息是关键．
22．（8分）（2022 南京模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
【分析】（1）先由角平分线性质求出∠DAC的度数，再根据外角与内角的关系得∠ADB、∠C、∠DAC间关系，最后代入计算得结论；
（2）先由三角形外角与内角的关系求出∠BAD+∠ABE的度数，再由角平分线性质求出∠BAC+∠ABC的度数，最后利用三角形内角和定理得结论．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴．
∵∠ADB是△ADC的外角，∠C＝50°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°；
（2）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE．
∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝45°，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BED＝45°．
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABE）＝90°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝90°．
【点评】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点、掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、“三角形的内角和是180°”等相关知识是解决本题的关键．
23．（9分）（2022秋 鄞州区校级月考）如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F．
（1）若∠BAC＝80°，∠ACB＝40°，求∠AFC的度数；
（2）若∠B＝80°，求∠AFC的度数；
（3）若∠B＝x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数．
【分析】（1）根据∠BAC＝80°，∠ACB＝40°，可以得到∠FAC和∠FCA的度数，然后根据三角形内角和，即可求得∠AFC的度数；
（2）根据∠B的度数，可以求得∠BAC+∠BCA的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出∠AFC的度数；
（3）根据角平分线的定义和三角形内角和可以用含x的代数式表示出∠AFC．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝80°，∠ACB＝40°，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC＝40°，∠FCA＝20°，
∴∠AFC＝180°﹣∠FAC﹣∠FCA＝120°；
（2）∵∠B＝80°，
∴∠BAC+∠BCA＝100°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA＝50°，
∴∠AFC＝130°；
（3）∵∠B＝x°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣x°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA（180°﹣x°），
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°（180°﹣x°）＝90°x°．
【点评】本题考查三角形内角和、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（9分）（2022 上杭县校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y．
（1）∠ABC+∠ADC＝ （用含x，y的式子直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．若x+y＝120°，∠DFB＝20°，求x，y的值．
【分析】（1）利用四边形内角和定理进行计算，得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出DE与BF的位置关系即可；
（3）利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFByx＝20°，解方程组即可得出x、y的值．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∠A＝x，∠C＝y，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y；
故答案为：360°﹣x﹣y；
（2）DE⊥BF．
理由：如图1：
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE∠ADC，∠CBF∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠DGC＝∠BGE，
∴∠BEG＝∠C＝90°，
∴DE⊥BF；
（3）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝360°﹣（360°﹣x﹣y）＝x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，
∴∠FBD+∠FDB＝180°﹣y（x+y）＝180°yx，
∴∠DFByx＝20°，
解方程组：，
可得：，
即x＝40°，y＝80°．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识的综合应用，解题时注意：四边形内角和为360°，正确利用角平分线的定义是解题关键．
25．（10分）（2022秋 章贡区期中）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．
（1）如图①，AD⊥BC于D，若∠C＝75°，∠B＝35°，求∠EAD；
（2）如图①，AD⊥BC于D，判断∠EAD与∠B，∠C数量关系∠EAD（∠C﹣∠B）是否成立？并说明你的理由；
（3）如图②，F为AE上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有什么数量关系？ ；（不用证明）
【分析】（1）由三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝70°，再求出∠DAC＝90°﹣∠C＝15°，即可得出答案；
（2）类比（1）中做法即可解决问题；
（3）过A作AG⊥BC于G，由（2）知，∠EAG（∠C﹣∠B），再利用平行线的性质即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝75°，∠B＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC∠BAC＝35°，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝15°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝20°；
（2）成立，理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC∠BAC＝90°∠B∠C，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）；
（3）如图②，过A作AG⊥BC于G，
由（2）知，∠EAG（∠C﹣∠B），
∵AG⊥BC，
∴∠AGC＝90°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDG＝90°，
∴∠AGC＝∠FDG，
∴FD∥AG，
∴∠EFD＝∠EAG，
∴∠EFD（∠C﹣∠B），
故答案为：∠EFD（∠C﹣∠B）．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，运用转化思想是解题的关键．
26．（12分）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解；
（3）由∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的关键．
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八年级上数学《第十一章三角形》综合测试卷（B卷）
试卷满分：120分 测试时间：120分钟
选择题（每小题3分，共30分）
1．（2022春 皇姑区校级期中）若三角形的两边长是2cm和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm
2．（2022秋 回民区校级月考）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（ ）
A．31cm B．25cm C．22cm D．16cm
3．（2022 平城区校级开学）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022秋 余杭区月考）如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系为（ ）
A．∠1+∠2＝∠4﹣∠3 B．∠1+∠2＝∠3+∠4
C．∠1﹣∠2＝∠4﹣∠3 D．∠1﹣∠2＝∠3﹣∠4
5．（2022春 鄄城县期末）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
6．（2022秋 江夏区期中）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．（2022春 方城县期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝θ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．θ＝2α+β B．θ＝α+2β C．θ＝α+β D．θ＝180°﹣α﹣β
8．（2022秋 郧阳区期中）若一个多边形截去一个角后，变成十六边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．16或17 C．15或17 D．16或17或18
9．（2022春 乐亭县期末）如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AFFD，CEEF，则△DEF的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋 奈曼旗校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝2∠ADB，③∠ADC＝90°﹣∠ABD，④DB平分∠ADC，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2022春 辉县市期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是 ．
12．如图，在△ABC中，若CEBC＝4，BDBC，CD，BE是△ABC的两条中线，则△ABC的周长是 ．
13．如图，一副直角三角板如图所示摆放，∠A＝30°，∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°．顶点D在AC边上，且EF∥AB，则∠CDF的度数是 ．
14．（2023春 江阴市期中）如图，OC是△ABC的角平分线，P是线段AB延长线上一点，PQ⊥OC于点Q，当∠ABC﹣∠BAC＝42°时，∠APQ的度数为 °．
15．如图，AD为△ABC的角平分线，G为AD的中点，连接BG并延长交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．则下列判断中正确的是 ．
①AD是△ABE的角平分线；②BG是△ABD的中线；③CH为△ACD中AD边上的高．
16．（2022春 宜兴市校级月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为 ．
17.（2022春 市南区期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 ．
18．（2022春 湖里区校级期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．写出∠FGD，∠ABE，∠C的之间的数量关系： ．
三、解答题（共66分）
19．（5分）（2022春 南阳期末）已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍
多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和．
20．（6分）（2022春 武山县期末）已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足
（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
21．（7分）（2022春 天元区校级期末）如图，在△ABC中，E、G分别是AB、AC上的点，F、D是BC上的点，连接EF、AD、DG，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）说明：AB∥DG；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝3∠B+40°，求∠B的度数．
22．（8分）（2022 南京模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
23．（9分）（2022秋 鄞州区校级月考）如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F．
（1）若∠BAC＝80°，∠ACB＝40°，求∠AFC的度数；
（2）若∠B＝80°，求∠AFC的度数；
（3）若∠B＝x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数．
24．（9分）（2022 上杭县校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y．
（1）∠ABC+∠ADC＝ （用含x，y的式子直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．若x+y＝120°，∠DFB＝20°，求x，y的值．
25．（10分）（2022秋 章贡区期中）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．
（1）如图①，AD⊥BC于D，若∠C＝75°，∠B＝35°，求∠EAD；
（2）如图①，AD⊥BC于D，判断∠EAD与∠B，∠C数量关系∠EAD（∠C﹣∠B）是否成立？并说明你的理由；
（3）如图②，F为AE上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有什么数量关系？ ；（不用证明）
26．（12分）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
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