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八年级上数学《第十一章三角形》综合测试卷（A卷）
试卷满分：120分 测试时间：120分钟
选择题（每小题3分，共30分）
1．（2022春 佛山期末）用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
【分析】分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解答】解：4cm是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
∵4+4＝8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为（16﹣4）＝6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
2．（2021春 皇姑区期末）如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由∠1＝∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3＝∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠BAE＝∠EAC，那么AE平分∠BAC．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠BAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
3．（2023 南乐县一模）如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，C分别在直线EF，GH上，∠B＝90°，AB交GH于点D，若CD平分∠ACB，∠FAC＝32°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．24° C．26° D．33°
【分析】先根据平行线的性质得到∠DCA＝∠FAC＝32°，再利用角平分线的定义得到∠ACB＝64°，然后根据三角形内角和定理计算∠BAC的度数．
【解答】解：∵EF∥GH，∠FAC＝32°，
∴∠ACD＝∠FAC＝32°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝2×32°＝64°，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°；主要根据两已知角求第三个角．也考查了平行线的性质．
4．（2023春 盐城月考）在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝6x，∠B＝3x，∠C＝2x，则6x+2x+3x＝180°，
解得x＝（）°，故6x≠90°，
∴△ABC是不直角三角形，故本小题符合题意；
综上所述，是直角三角形的是①②共2个．
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
5．（2022春 松北区校级期末）如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，则∠BFC的度数是（ ）
A．117° B．120° C．132° D．107°
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠BDC＝97°，进而利用三角形的外角的性质即可得出结论
【解答】解：∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝97°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠BFC＝∠BDC+∠ABE＝117°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解本题的关键．
6．（2023春 电白区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④
【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
7．如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且∠1＝18°，则∠2等于（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【分析】先求出正五边形每一个内角的度数等于108°，求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2即可．
【解答】解：如图，
∵正五边形每一个内角为（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠3＝108°+∠1＝108°+18°＝126°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝180°﹣∠3＝54°，
故选：B．
【点评】本题考查多边形内角和，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
8．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
9．（2022春 榆树市期末）如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连接BG、DG．若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】利用多边形的内角和定理计算出六边形内角和，计算出∠6+∠7+∠C的度数，然后可得∠BGD的大小．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是六边形，
∴∠1+∠5+∠4+∠3+∠2+∠6+∠7+∠C＝180°×（6﹣2）＝720°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，
∴∠6+∠7+∠C＝720°﹣440°＝280°，
∵多边形BCDG是四边形，
∴∠C+∠6+∠7+∠BGD＝360°，
∴∠BGD＝360°﹣（∠6+∠7+∠C）＝360°﹣280°＝80°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）．
10．（2022秋 沂水县期末）△ABC中，∠A＝40°，高BD和CE交于O，则∠COD为（ ）
A．40°或140° B．50°或130° C．40° D．50°
【分析】分①△ABC是锐角三角形时，根据四边形的内角和等于360°求出∠DOE，再根据对顶角相等解答即可；②△ABC是钝角三角形时，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝∠A，然后代入数据即可得解．
【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是高，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°
∴∠DOE＝360°﹣∠A﹣∠ADO﹣∠AEO＝360°﹣40°﹣90°﹣90°＝140°，
∴∠COD＝180°﹣140°＝40°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是高，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BOC+∠DCO＝90°，
又∵∠ACE＝∠DCO（对顶角相等），
∴∠BOC＝∠A＝40°，
∴∠COD＝40°
综上所述，∠COD为40°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，比较简单，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
填空题（每小题3分，共24分）
11．（2022 靖西市模拟）一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝55°，∠B＝60°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为 ．
【分析】根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝55°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC＝24cm，则AE＝ cm；若∠ABC＝72°，则∠ABD＝ °．
【分析】根据三角形三角形的中线和角平分线的概念解答即可．
【解答】解：∵BE是中线，AC＝24cm，
∴AEAC24＝12（cm），
∵BD是角平分线，∠ABC＝72°，
∴∠ABD∠ABC72°＝36°，
故答案为：12；36．
【点评】本题考查的是三角形三角形的中线和角平分线，一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线、三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
13．（2022春 通许县期末）如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD＝70°，则∠ACB的度数为 ．
【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠ABO+∠BAO＝∠BOD＝70°，再根据角平分线的定义，即可得到∠ABC+∠BAC＝140°，进而得出∠C的度数．
【解答】解：∵∠BOD是△ABO的外角，
∴∠ABO+∠BAO＝∠BOD＝70°，
又∵AD和BE是角平分线，
∴∠ABC+∠BAC＝2（∠ABO+∠BAO）＝2×70°＝140°，
∴∠ACB＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
14．（2022春 开福区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，且AD与CE交于点H，若∠B＝50°，则∠AHC的度数为 °．
【分析】根据任意凸四边形内角和是360°，对顶角相等即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠CEB＝∠ADB﹣90°，
∴∠EHD＝180°﹣50°＝130°，
又∵∠EHD＝∠AHC，
∴∠AHC＝130°，
故答案为：130．
【点评】本题考查三角形内角和定理，任意一个凸四边形可以分为两个三角形，所以任意一个凸四边形内角和是360°，再根据对顶角相等即可．
（2022春 碑林区校级期中）两根木棒的长分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，
将它们钉成一个三角形．如果第三根木棒长为偶数，则满足条件的三角形的个数
为 个．
【分析】根据三角形的三边关系可求得第三边的取值范围，再求得其中的偶数的个数即可求得答案．
【解答】解：设第三根木棒的长度为xcm，
由三角形三边关系可得7﹣5＜x＜7+5，
即2＜x＜12，
又x为偶数，
∴x的值为4，6，8，10，共四种，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围是解题的关键．
16．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，则点D到AB的距离是 ．
【分析】根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，求得△ABD的AB边上的高即可得到点D到AB的距离．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ADC的面积与△ADB的面积相等，
又∵DE是△ADC的高，
∴，
即DF，
∴点D到AB的距离是．
故答案为：．
【点评】此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的中线的性质得出△ABD的面积．
17．（2022 丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ．
【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2） 180＝720，
解得：n＝6．
∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，
∴原多边形的边数为6或7，
故答案为：6或7．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟知一个多边形过顶点截去一个角后它的边数不变或减少1是解题的关键．
18．如果在一个三角形中一个角等于另一个角的2倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知“倍角三角形”中一个角为50°，则这个“倍角三角形”中最大角的度数为 ．
【分析】分两种情形分别求解即可．
【解答】解：△ABC中，不妨设∠B＝50°．
若∠A＝2∠B＝100°，则△ABC中，最大的角为100°．
若∠C＝2∠A，则∠A130°，∠C＝（）°，△ABC中的最大的内角为（）°，
若∠B＝2∠C，则∠C＝25°，∠A＝105°，最大角为105°
故答案为100°或（）°或105°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共66分）
19．（8分）（2022秋 延边州期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝25°，∠EFC＝53°．求∠BDC和∠DBE的度数．
【分析】直接由三角形的外角性质可求得∠BDC的度数；先由三角形的内角和可求得∠CEF的度数，再由三角形的外角性质可求∠DBE的度数．
【解答】解：∵∠A＝62°，∠ACD＝25°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝87°，
∵∠EFC＝53°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ACD﹣∠EFC＝102°，
∴∠DBE＝∠BEC﹣∠A＝40°．
故∠BDC和∠DBE的度数分别为87°，40°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．
20．（8分）（2022秋 靖西市期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝4，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0．
∴a＝b＝c．
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a＝4，b＝2，且c为整数，
∴4﹣2＜c＜4+2，即2＜c＜6，
∴c＝3，4，5，
∴△ABC周长为9或10或11．
【点评】本题考查的是非负数的性质和三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
21．（8分）（2022春 遂宁期末）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式：（n﹣2） 180°即可得出答案；
（2）根据（1）得到∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣470°＝250°，再根据四边形的内角和是360°即可得出答案．
【解答】解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；
（2）∵六边形ABCDEF的内角和为720°，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣470°＝250°，
∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝110°，
即∠BGD的度数是110°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式：（n﹣2） 180°是解题的关键．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）在AB延长线上取一点D，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE∠CBD＝65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB＝25°．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°，
∵BE是∠CBD平分线，
∴∠CBE∠CBD＝65°，
故∠CBE的度数为65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
即∠F的度数为25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟记三角形的内角和定理与三角形的外角性质是解题的关键．
23．（8分）（2022秋 平乡县校级月考）按要求回答下列各小题．
（1）若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值；
（2）一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．
【分析】（1）根据多边形内角和公式解答即可；
（2）根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：
（n 2） 180﹣360＝360，
解得n＝14．
答：n的值为14．
（2）设此多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2） 180+360＝1620，
解得n＝9，
360°÷9＝40°．
答：该正多边形的边数是9，一个外角的度数是40°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，BE∥DF．求证：DC⊥BC．
【分析】由四边形的内角和定理和角平分线的性质可求∠EBC+∠FDC＝90°，由平行线的性质可求解．
【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，
∴∠EBC∠ABC，∠FDC∠ADC，
∴∠EBC+∠FDC＝90°，
∵DF∥BE，
∴∠DFC＝∠EBC，
∴∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠C＝90°，
∴DC⊥BC．
【点评】本题考查了角平分线的性质，四边形的内角和定理，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25.（8分）过点P作PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据（1）的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝30°，
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°，
∵PE⊥AD，
∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°；
（2）数量关系：∠E（∠ACB﹣∠B）；
证明：设∠B＝x，∠ACB＝y，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣x﹣y．
∴∠BAD（180°﹣x﹣y）．
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝x（180°﹣x﹣y）＝90°（x﹣y），
∵PE⊥AD，
∴∠PDE+∠E＝90°，
∴∠E＝90°﹣[90°（x﹣y）]（y﹣x）（∠ACB﹣∠B）．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
26．（10分）（2023春 环翠区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点．
（1）求∠BIC的度数；
（2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝ °；
（3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）求∠BIC的度数，在△BCI，只要求出∠CBI+∠BCI的度数；角平分线的定义得，∠CBI∠ABC，∠BCI∠ACB；由三角形内角和定理，∠BAC＝50°，得出∠ABC+∠ACB的度数，推出∠CBI+∠BCI的度数，进而得解；
（2）三角形内角和定理求得∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）；由角平分线性质，∠CBD∠FBC，∠BCD∠MCB，∠CBD+∠BCD（∠FBC+∠MCB）；利用三角形外角性质得，∠FBC＝∠A+∠ACB，∠MCB＝∠A+∠ABC，从而得出∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，进而得解；
（3）点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点得∠CBE与其它角的关系，∠ECG是△BCE的外角得知，∠ECG＝∠CBE+∠BEC，∠BAC∠ABC∠ABC+∠BEC，从而得∠BAC＝2∠BEC．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝50°，
∵BI是∠ABC的平分线，
∴∠CBI∠ABC，
∵CI是∠ABC的平分线，
∴∠BCI∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI（∠ABC+∠ACB）（180°﹣50°）＝65°，
在△BCI中，∠CBI+∠BCI+∠BIC＝180°，
∴∠BIC＝180°﹣65°＝115°，
（2）∵∠FBC是△ABC的外角，
∴∠FBC＝∠A+∠ACB，
∵∠MCB是△ABC的外角，
∴∠MCB＝∠A+∠ABC，
∴∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A＝180°+50°＝230°．
∵BD是∠FBC的平分线，
∴∠CBD∠FBC．
∵CD是∠MCB的平分线，
∴∠BCD∠MCB．
∴∠CBD+∠BCD（∠FBC+∠MCB）230°＝115°．
在△BCD中，
∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65．
（3）∠BAC＝2∠BEC．理由如下：
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE∠ABC．
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ECG（∠BAC+∠ABC）∠BAC∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC．
∴∠BAC∠ABC∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC＝2∠BEC．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质与三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
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八年级上数学《第十一章三角形》综合测试卷（A卷）试卷满分：120分 测试时间：120分钟
选择题（每小题3分，共30分）
1．（2022春 佛山期末）用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
2．（2021春 皇姑区期末）如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2023 南乐县一模）如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，C分别在直线EF，GH上，∠B＝90°，AB交GH于点D，若CD平分∠ACB，∠FAC＝32°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．24° C．26° D．33°
4．（2023春 盐城月考）在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
5．（2022春 松北区校级期末）如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，则∠BFC的度数是（ ）
A．117° B．120° C．132° D．107°
6．（2023春 电白区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④
7．如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且∠1＝18°，则∠2等于（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
8．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
9．（2022春 榆树市期末）如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连接BG、DG．若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
10．（2022秋 沂水县期末）△ABC中，∠A＝40°，高BD和CE交于O，则∠COD为（ ）
A．40°或140° B．50°或130° C．40° D．50°
填空题（每小题3分，共24分）
11．（2022 靖西市模拟）一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝55°，∠B＝60°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为 ．
12．如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC＝24cm，则AE＝ cm；若∠ABC＝72°，则∠ABD＝ °．
13．（2022春 通许县期末）如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD＝70°，则∠ACB的度数为 ．
14．（2022春 开福区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，且AD与CE交于点H，若∠B＝50°，则∠AHC的度数为 °．
15．（2022春 碑林区校级期中）两根木棒的长分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，
将它们钉成一个三角形．如果第三根木棒长为偶数，则满足条件的三角形的个数为 个．
16．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，则点D到AB的距离是 ．
17．（2022 丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ．
18．如果在一个三角形中一个角等于另一个角的2倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知“倍角三角形”中一个角为50°，则这个“倍角三角形”中最大角的度数为 ．
三、解答题（共66分）
19．（8分）（2022秋 延边州期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝25°，∠EFC＝53°．求∠BDC和∠DBE的度数．
20．（8分）（2022秋 靖西市期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝4，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
21．（8分）（2022春 遂宁期末）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）在AB延长线上取一点D，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
23．（8分）（2022秋 平乡县校级月考）按要求回答下列各小题．
（1）若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值；
（2）一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，BE∥DF．求证：DC⊥BC．
25.（8分）过点P作PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并说明理由．
26．（10分）（2023春 环翠区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点．
（1）求∠BIC的度数；
（2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝ °；
（3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
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