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(总课时38)§4.4角的比较
【学习目标】会比较角的大小,能估计一个角大小,认识角的平分线,能画出一个角的平分线。
【学习重难点】认识角平分线及画角平分线,角的计算.
【导学过程】
一.知识回顾
1.线段的长短比较方法:①直接观察法、②测量法、③叠合法.
2.角的分类
(1)锐角:大于0度小于90度的角;(2)直角:等于90度的角;(3)纯角:大于90度而小于180度的角;
(4)平角:等于180度;(5)周角:等于360度.
二.探究新知
探究1:比较角大小的方法
角的比较方法与线段的大小比较类似.
方法①直接观察法:如图1,∠AOC>∠BOCR
方法②测量法:如图2,∠AOB=70°,∠BOC=40°,∠AOB>∠BOC
方法③叠合法:将两个角的顶点及一条边重合,另一条边放在重合边的同侧就可以比较大小.
探究2.角平分线
※从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
如图3,射线OC是∠AOB的平分线,这时,∠AOC=∠BOC=∠AOB,
几何语言:∵OC是∠AOB的平分线∴∠AOC=∠BOC,(或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC).
三.典例与练习
例1.如图OB是∠AOC的平分线,∠COD=2∠AOB,试说明OC是哪一个角的平分线?
解:∵OB是∠AOC的平分线,∴∠AOB=∠BOC
又∠COD=2∠AOB,∴∠COD=∠AOB+∠BOC,∴OC是∠AOD的角平分线
练习1.图5中角之间的关系填空:
(1)∠AOB=∠AOC+∠COB;(2)∠BOC=∠AOB-∠AOC
例2.根据图6,求解下列问题:
(1)比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小,并指出其中的锐角、直角、钝角、平角.
(2)试比较∠BOC和∠DOE的大小.答:通过量角器测量可知:∠BOC>∠DOE.
(3)小亮通过折叠的方法,使OD与OC重合,OE落在∠BOC的内部,所以∠BOC大于∠DOE。你能理解这种方法吗?答:可以理解,这是通过叠合法来测量比较两个角
(4)请在图中画出小亮折叠的折痕OF,∠DOF与∠COF有什么大小关系?答∠DOF=∠COF
解:(1)根据图形可得:∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE;锐角的是∠AOB,直角的是∠AOC,钝角的是∠AOD,平角的是∠AOE
练习2如图7,O为直线AB上一点,∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°
(1)求出∠AOD和∠BOD的度数;
(2)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.
解:(1)∵∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD=∠AOC=×50°=25°,
∵∠AOC=50°,∴∠BOC=180°-∠AOC=130°,
∵∠COD=25°,∴∠BOD=∠BOC+∠COD=130°+25°=155°.
(2)∵∠COD=25°,∠DOE=90°,∴∠COE=∠DOE-∠DOC=90°-25°=65°,
∵∠BCO=130°,∴∠BOE=∠BOC-∠EOC=130°-65°=65°=∠COE,即OE平分∠BOC.
四.课堂小结
1.角的比较方法与线段的大小比较类似有三种方法:①直接观察法、②测量法、③叠合法.
2.用测量法可画角平分线.
五.分层过关
1.已知,,,那么( D )
A.射线在的内部 B.射线与射线重合
C.射线与射线重合 D.射线在的外部
2.在平面内,有两个角∠AOB=60°,∠AOC=20°,OA为两角的公共边,则∠BOC为( C )
A.40° B.80° C.40°或80° D.无法确定
3.如图8,已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=50°,则∠BOD的度数是( C )
A.60° B.70° C.80° D.85°
4.已知∠A=18°20′36″,∠B=18.35°,∠C=18°21′,下列比较正确的是(A)
A.∠A<∠B B.∠B<∠A C.∠B<∠C D.∠C<∠B
5.OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC=∠AOB,则OC平分∠AOB;
若OC是∠AOB的角平分线,则∠AOB=2∠AOC.
6.已知∠AOB=136°,射线OC在∠AOB的内部,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数是68°.
7.做一做:观察如下这副三角板每一个角的度数分别是多少度?
下面是用三角板拼成的一些角,请你判断一下图中所示的角的度数,将它们的度数分别填在图下的括号中.
你还能拼出其他度数的角吗?试一试.
解:1.105° 2.210° 3.45° 4.135° 5.150° 6.180°
8.如图,∠AOB=90°,OE是∠AOB的平分线,OD是∠BOC的平分线,若∠EOD=70°,求∠BOC的度数.
解∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,∴∠AOE=∠BOE=12×90°=45°,
∵∠BOD=∠EOD ∠BOE=70° 45°=25°,
∵OD平分∠BOC,∴∠BOC=2∠BOD=2×25°=50°.
9.如图,∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
⑴求∠MON的度数,
⑵若∠AOB=∠α,其他条件不变,求∠MON的度数.
⑶如果∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)探究:从⑴⑵⑶中你发现有什么规律?
解:(1)∵OM平分∠AOC,∴∠MOC=∠AOC.∵ON平分∠BOC,∴∠NOC=∠BOC.
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=∠AOC-∠BOC=(∠AOC-∠BOC)=∠AOB.
∵∠AOB=90°,∴∠MON=45°.
(2)当∠AOB=α,其他条件不变时,∠MON=.
(3)当∠BOC=β,其他条件不变时,∠MON=45°.
(4)分析(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程可知:∠MON的大小总等于∠AOB的一半,与锐角∠BOC的大小无关.
图1
图2
OB与O'D重合
O'C落在∠AOB内部,
则∠AOB>∠CO'D
OB与O'D重合
O'C落在∠AOB外部,
则∠AOB<∠CO'D
OA与O'C重合,
OB与O'D重合
则∠AOB=∠CO'D
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
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(总课时38)§4.4角的比较
一.选择题
1.如图1,已知直线、相交于点,平分,若,则的度数是( C )
A. B. C. D.
2.已知∠A=18°20′36″,∠B=18.35°,∠C=18°21′,下列比较正确的是( A )
A.∠A<∠B B.∠B<∠A C.∠B<∠C D.∠C<∠B
3.用一副三角尺,不能画出的角是( C )
A.15° 角 B.75° 角 C.100° 角 D.135° 角
4.如图2,∠AOB=∠COD=90°,∠COB=58°,则∠DOA的度数是( C )
A.102° B.112° C.122° D.142°
5.如图3,若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置,则∠1的度数为( D )
A.15° B.20° C.25° D.30°
二.填空题
6.如图4,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线,若∠AOC=70°,∠COE=40°,那么∠BOD=55°.
7.如图5,OB是∠AOC的平分线;OC是∠AOD的平分线,∠AOD=60°,∠BOD=45°.
8.如图,∠AOB=90°,OE是∠AOB的平分线,OD是∠BOC的平分线,若∠EOD=70°,则∠BOC的度数是50°.
9.已知α,β是两个钝角,计算(α+β)的值,甲、乙、丙、丁四名同学算出了四种不同的答案,分别是24°,48°,76°,86°,其中只有一个答案是正确的,则正确的是48°.
10.已知∠ABC=30°,BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=15°.
11.用A,B,C分别表示学校、小明家、小红家,已知学校在小明家的南偏东25°,小红家在小明家的北偏东35°,则∠ABC等于__120°__.
三.解答题
12.如图7,已知:∠BOC=4∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=36°,求∠AOB的度数.
解:设∠AOC=x,则∠BOC=4x,∴∠AOB=5x,∵OD平分∠AOB,∴∠AOD=,
∴∠COD=∠AOD ∠AOC= x==36°,∴x=24°,∴∠AOB=5x=5×24°=120°
13.已知∠AOB=80°,∠BOC=36°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求∠EOF的度数.
解:分两种情况:①当∠BOC在∠AOB的外部时,∠EOF=58°,
②当∠BOC在∠AOB的内部时,∠EOF=22°
14.如图8,点O在直线AB上,画一条射线OC,量得∠AOC=50°,已知OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线,求∠DOE的度数.
解:∠BOC=180°-∠AOC=130°,因为OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线,
所以∠DOC=∠AOC=25°,∠COE=∠BOC=65°,∠DOE=∠DOC+∠COE=90°.
15.如图,OM是∠AOC的平分线.ON是∠BOC的平分线.
解:(1)
∵OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,
图1
图2
图4
图3
图5
图6
图7
图8
(1)如图9.1,当∠AOB=90°,∠BOC=60°时,∠MON的度数是多少?为什么?
(2)如图9.2,当∠AOB=70°,∠BOC=60°时,∠MON=35°(直接写出结果)
(3)如图9.3,当∠AOB=α,∠BOC=β时,猜想:∠MON﹣∠CON=(直接写出结果)
图9.3
图9.1
图9.2
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(总课时38)§4.4角的比较
【学习目标】会比较角的大小,能估计一个角大小,认识角的平分线,能画出一个角的平分线。
【学习重难点】认识角平分线及画角平分线,角的计算.
【导学过程】
一.知识回顾
1.线段的长短比较方法:①_________、②_________、③_________.
2.角的分类
(1)锐角:__________________;(2)直角:____________;(3)纯角:___________________________;
(4)平角:_________;(5)周角:_________.
二.探究新知
探究1:比较角大小的方法
角的比较方法与线段的大小比较类似.
方法①直接观察法:如图1,∠AOC>∠BOCR
方法②测量法:如图2,∠AOB=70°,∠BOC=40°,∠AOB>∠BOC
方法③叠合法:将两个角的顶点及一条边重合,另一条边放在重合边的同侧就可以比较大小.
探究2.角平分线
※从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
如图3,射线OC是∠AOB的平分线,这时,∠AOC=∠BOC=∠AOB,
几何语言:∵OC是∠AOB的平分线∴∠AOC=∠BOC,(或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC).
三.典例与练习
例1.如图OB是∠AOC的平分线,∠COD=2∠AOB,试说明OC是哪一个角的平分线?
解:
练习1.图5中角之间的关系填空:
(1)∠AOB=______+______;(2)∠BOC=______-______
例2.根据图6,求解下列问题:
(1)比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小,并指出其中的锐角、直角、钝角、平角.
(2)试比较∠BOC和∠DOE的大小.答:通过量角器测量可知:∠BOC___∠DOE.
(3)小亮通过折叠的方法,使OD与OC重合,OE落在∠BOC的内部,所以∠BOC大于∠DOE。你能理解这种方法吗?答:__________________________________________.
(4)请在图中画出小亮折叠的折痕OF,∠DOF与∠COF有什么大小关系?答______.
解:(1)根据图形可得:_____________________;锐角的是______,直角的是______,钝角的是______,平角的是______.
练习2如图7,O为直线AB上一点,∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°
(1)求出∠AOD和∠BOD的度数;
(2)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.
四.课堂小结
1.角的比较方法与线段的大小比较类似有三种方法:①_________、②______、③______.
2.用测量法可画角平分线.
五.分层过关
1.已知,,,那么( )
A.射线在的内部 B.射线与射线重合
C.射线与射线重合 D.射线在的外部
2.在平面内,有两个角∠AOB=60°,∠AOC=20°,OA为两角的公共边,则∠BOC为( )
A.40° B.80° C.40°或80° D.无法确定
3.如图8,已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=50°,则∠BOD的度数是( )
A.60° B.70° C.80° D.85°
4.已知∠A=18°20′36″,∠B=18.35°,∠C=18°21′,下列比较正确的是( )
A.∠A<∠B B.∠B<∠A C.∠B<∠C D.∠C<∠B
5.OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC=______,则OC平分∠AOB;
若OC是∠AOB的角平分线,则______=2∠AOC.
6.已知∠AOB=136°,射线OC在∠AOB的内部,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数是___.
7.做一做:观察如下这副三角板每一个角的度数分别是多少度?
下面是用三角板拼成的一些角,请你判断一下图中所示的角的度数,将它们的度数分别填在图下的括号中.
你还能拼出其他度数的角吗?试一试.
解:1.______ 2.______ 3.______ 4.______ 5.______ 6.______
8.如图,∠AOB=90°,OE是∠AOB的平分线,OD是∠BOC的平分线,若∠EOD=70°,求∠BOC的度数.
9.如图,∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
⑴求∠MON的度数,
⑵若∠AOB=∠α,其他条件不变,求∠MON的度数.
⑶如果∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)探究:从⑴⑵⑶中你发现有什么规律?
图1
图2
OB与O'D重合
O'C落在∠AOB内部,
则∠AOB>∠CO'D
OB与O'D重合
O'C落在∠AOB外部,
则∠AOB<∠CO'D
OA与O'C重合,
OB与O'D重合
则∠AOB=∠CO'D
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
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(总课时38)§4.4角的比较
一.选择题
1.如图1,已知直线、相交于点,平分,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
2.已知∠A=18°20′36″,∠B=18.35°,∠C=18°21′,下列比较正确的是( )
A.∠A<∠B B.∠B<∠A C.∠B<∠C D.∠C<∠B
3.用一副三角尺,不能画出的角是( )
A.15° 角 B.75° 角 C.100° 角 D.135° 角
4.如图2,∠AOB=∠COD=90°,∠COB=58°,则∠DOA的度数是( )
A.102° B.112° C.122° D.142°
5.如图3,若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置,则∠1的度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
二.填空题
6.如图4,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线,若∠AOC=70°,∠COE=40°,那么∠BOD=____.
7.如图5,OB是______的平分线;OC是______的平分线,∠AOD=___,∠BOD=___.
8.如图,∠AOB=90°,OE是∠AOB的平分线,OD是∠BOC的平分线,若∠EOD=70°,则∠BOC的度数是___.
9.已知α,β是两个钝角,计算(α+β)的值,甲、乙、丙、丁四名同学算出了四种不同的答案,分别是24°,48°,76°,86°,其中只有一个答案是正确的,则正确的是______.
10.已知∠ABC=30°,BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=______.
11.用A,B,C分别表示学校、小明家、小红家,已知学校在小明家的南偏东25°,小红家在小明家的北偏东35°,则∠ABC等于______.
三.解答题
12.如图7,已知:∠BOC=4∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=36°,求∠AOB的度数.
13.已知∠AOB=80°,∠BOC=36°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求∠EOF的度数.
14.如图8,点O在直线AB上,画一条射线OC,量得∠AOC=50°,已知OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线,求∠DOE的度数.
15.如图,OM是∠AOC的平分线.ON是∠BOC的平分线.
图1
图2
图4
图3
图5
图6
图7
图8
(1)如图9.1,当∠AOB=90°,∠BOC=60°时,∠MON的度数是多少?为什么?
(2)如图9.2,当∠AOB=70°,∠BOC=60°时,∠MON=______(直接写出结果)
(3)如图9.3,当∠AOB=α,∠BOC=β时,猜想:∠MON﹣∠CON=______(直接写出结果)
图9.2
图9.3
图9.1
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