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（总课时23）§4．2一次函数与正比例函数
【学习目标】理解正比例函数和一次函数的概念，会判断一个函数是否是一次函数或正比例函数.
【学习重难点】能根据条件列出函数关系式，能用一次函数与正比例函数解决简单的实际问题.
【导学过程】一.知识回顾:
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥6 B．x≥0 C．x≤6 D．x≤0
3．某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为________．
二.探究新知：
引例1.某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
(2)写出y与x之间的关系式.解：________.
引例2.某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250
耗油量y/L
(2)写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式.__________.
(3)写出邮箱剩余油量Z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式.________
(4)汽车行驶的路程x可以无限增大吗 有没有一个取值范围 剩余油量y呢
答：
思考：这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
练习：1.下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y=-x-4________________________.（2）y=5x2+6_______________________
(3)y=2πx_______________________. (4) _______________________.
2.下列说法正确的是（ ）A.一次函数是正比例函数.B.正比例函数不是一次函数.
C.不是正比例函数就不是一次函数.D.正比例函数是一次函数.
注意：①k≠0；②x的次数为1；③常数k可以取任意非零实数；④正比例函数是一种特殊的一次函数.
三.典例与练习：
例1.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数 是否为正比例函数
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
解：__________________________________________________
(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系；
解：___________________________________________________
(3)某水池里有水15m3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m3/h，x小时后，水池内有水ym3 .
解：__________________________________________________
练习1.当______时，函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数；当______时函数y=(6+3m)x+4n-4是正比例函数.
练习2.甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是______，s是t的____函数.
例2.某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.
(1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
解：
四.课堂小结：一次函数、正比例函数定义及一般形式.
五.分层过关：
1.（1）y＝πx，（2）y＝2﹣1﹣3x，（3）y＝2﹣3x2，（4）y＝﹣x+2，（5）y＝ 一次函数共有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2.下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣2 B．y＝ C．y＝﹣8x D．y＝2x2﹣1
3．若函数y＝2+（k+1）是关于y是x的一次函数，则k＝____；
若关于y是x的正比例函数，则k＝___．
4.已知点（a-2，4）的坐标符合正比例函数y=2x(k≠0)，则a=___.
5．已知：y与x﹣1成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4．
（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，2）的坐标符合这个函数关系式，求a的值．
解：
6．已知y是关于x的一次函数，下列表列出了部分对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 a …
y … ﹣3 m 1 3 5 …
求此一次函数的表达式及a，m的值．
解：
7．出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）8元，超出3km的部分1.6元/km．
（1）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元 （2）佳佳付车费16元，那么出租车行驶了多少km
（3）直接写出车费y(元)与行驶路程x(km)之间的关系式．(其中x≥3)
解
一次函数的定义：
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
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一.选择题：
1.下列函数关系中表示一次函数的有（D）①②③④⑤
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下面哪个点的坐标不满足函数关系式的是（C）
A.（-5，13） B.（0.5，2） C.（3，0） D.（1，1）
3.下列函数既是一次函数又是正比例函数的是( D )A.y＝3x2 B.y＝ C.y＝5x－4 D.y＝－3x
4.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是(C)A.y＝－ B.y＝－ C.y＝－ D.y＝
5.函数y=m+（m-1）是一次函数，则m值（ B ）A.m≠0 B.m=2 C.m=2或4 D.m＞2
二.填空题：
6.已知一个正比例函数y=kx(k≠0)且x=-2,y=4,则这个正比例函数的表达式是y=-2x.
7.已知函数y=（m-2）+2是关于x的一次函数，则m=0
8.某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金0.5n+0.6元.
9.等腰三角形的周长为10cm，底边长为ycm，腰长为xcm，用x表示y的函数关系式为y=10-2x.
10.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有13根，第n个图形中，火柴棒有(3n＋1)_根，若用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数，则y与x的函数关系式是y＝3x＋1，y是x的一次函数．
三.解答题：
11.已知y+a与x+b（a、b为常数）成正比例．y是x的一次函数吗？请说明理由.
解：是；∵y+a与x+b成正比例，设比例系数为k，则y+a=k（x+b），
整理得：y=kx+kb-a，∴y是x的一次函数；
12.已知y=（k-3）x+-9是关于x的正比例函数，求当x=-4时，y的值.
解：当且时，y是x的正比例函数，故当k=-3时，y是x的正比例函数，
∴y=-6x当x=-4时，y=-6×（-4）=24．
13.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付买本款y（元）与买本的个数x（个）之间的关系．
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系．
解：（1）由题意得：y=2.5x,y是x的一次函数，且是正比例函数；
（2）由题意得：y=πx2,.y不是x的一次函数，也不是正比例函数．
14.小李从深圳通过某快递公司给在广州的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从深圳到广州快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x（kg）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？
解:（1）由题意，得当0＜x≤1时，y=22+6=28；
当x＞1时y=28+10（x﹣1）=10x+18；
∴y=；
（2）当x=2.5时，y=10×2.5+18=43．∴这次快寄的费用是43元．
15.出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）8元，超出3km的部分1.6元/km．
（1）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元 （2）佳佳付车费16元，那么出租车行驶了多少km
（3）直接写出车费y(元)与行驶路程x(km)之间的关系式．(其中x≥3)
解:（1）8+1.6=9.6元（2）设出租车行驶xkm（x大于3）8+（x-3）×1.6=16解得x=8出租车行驶8km（3）y=（x-3）×1.6+8 =1.6x+3.2（x≥3）
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（总课时23）§4．2一次函数与正比例函数
【学习目标】理解正比例函数和一次函数的概念，会判断一个函数是否是一次函数或正比例函数.
【学习重难点】能根据条件列出函数关系式，能用一次函数与正比例函数解决简单的实际问题.
【导学过程】一.知识回顾:
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（ C ）
A． B． C． D．
2．使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是（ C ）
A．x≥6 B．x≥0 C．x≤6 D．x≤0
3．某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为y=x(12-x)．
二.探究新知：
引例1.某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3 3+0.5 3+0.5×2 3+0.5×3 3+0.5×4 3+0.5×5
(2)写出y与x之间的关系式.解：y=3+0.5x
引例2.某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250
耗油量y/L 0 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5
(2)写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式.y=
(3)写出邮箱剩余油量Z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式.z=60-
(4)汽车行驶的路程x可以无限增大吗 有没有一个取值范围 剩余油量y呢
答：汽车行驶路程x不可能无限增大,∵汽油只有60L,每行驶50km耗油6L,行驶500km后,z=0,∴x≤500,0≤z≤60.
思考：这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
练习：1.下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y=-x-4 它是一次函数，不是正比例函数.（2）y=5x2+6 它不是一次函数，也不是正比例函数
（3）y=2πx 它是一次函数，也是正比例函数.（4） 它不是一次函数，也不是正比例函数.
2.下列说法正确的是（ D ）A.一次函数是正比例函数.B.正比例函数不是一次函数.
C.不是正比例函数就不是一次函数.D.正比例函数是一次函数.
注意：①k≠0；②x的次数为1；③常数k可以取任意非零实数；④正比例函数是一种特殊的一次函数.
三.典例与练习：
例1.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数 是否为正比例函数
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
解：由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数；
(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系；
解：由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数；
(3)某水池里有水15m3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m3/h，x小时后，水池内有水ym3 .
解：y=5x+15，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
练习1.当m≠-2时，函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数；当m≠-2,n=1时函数y=(6+3m)x+4n-4是正比例函数.
练习2.甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是S=264-24t，s是t的一次函数.
例2.某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.
(1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
解：(1)根据题意得:y=25+(x-50)×0.2,即y=0.2x+15；（x>50）(2)当x=150时,y=0.2×150+15=45；
(3)∵53.6＞25,可知通话次数大于50次,即当y=53.6时,求x的值,53.6=0.2x+15,解得x=193（次）.
四.课堂小结：一次函数、正比例函数定义及一般形式.
五.分层过关：
1.（1）y＝πx，（2）y＝2﹣1﹣3x，（3）y＝2﹣3x2，（4）y＝﹣x+2，（5）y＝ 一次函数共有（B）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．下列函数中，是正比例函数的是（C）A．y＝x﹣2 B．y＝ C．y＝﹣8x D．y＝2x2﹣1
3．若函数y＝2+（k+1）是关于y是x的一次函数，则k＝±1；若关于y是x的正比例函数，则k＝-1．
4.已知点（a-2，4）的坐标符合正比例函数y=2x(k≠0)，则a=4.
5．已知：y与x﹣1成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4．
（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，2）的坐标符合这个函数关系式，求a的值．
解：(1)设y=k(x-1)(k≠0),当x=2时，y=-4,即：-4=k(2-1),∴k=-4
∴这个函数关系式为：y=-4(x-1),即：y=-4x+4.
(2)把点(a,2)代入解析式得：2=-4a+4,解得：a=0.5
6．已知y是关于x的一次函数，下列表列出了部分对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 a …
y … ﹣3 m 1 3 5 …
求此一次函数的表达式及a，m的值．
解：设y=kx+b(k,b是常数，k≠0),当x=0时，y=1,即得:b=1;当x=1时，y=3,即得：k=2,∴一次函数表达式为：y=2x+1.当x=-1时，y=m，即得：m=-1;当x=a时，y=5,即得：a=2.
7．出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）8元，超出3km的部分1.6元/km．
（1）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元 （2）佳佳付车费16元，那么出租车行驶了多少km
（3）直接写出车费y(元)与行驶路程x(km)之间的关系式．(其中x≥3)
解（1）8+1.6=9.6元,（2）设出租车行驶xkm（x大于3）8+（x-3）×1.6=16解得x=8出租车行驶8km
（3）y=（x-3）×1.6+8 =1.6x+3.2（x≥3）
一次函数的定义：
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
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（总课时23）§4．2一次函数与正比例函数
一.选择题：
1.下列函数关系中表示一次函数的有（ ）①②③④⑤
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下面哪个点的坐标不满足函数关系式的是（）
A.（-5，13） B.（0.5，2） C.（3，0） D.（1，1）
3.下列函数既是一次函数又是正比例函数的是( )A.y＝3x2 B.y＝ C.y＝5x－4 D.y＝－3x
4.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是( )A.y＝－ B.y＝－ C.y＝－ D.y＝
5.函数y=m+（m-1）是一次函数，则m值（ ）A.m≠0 B.m=2 C.m=2或4 D.m＞2
二.填空题：
6.已知一个正比例函数y=kx(k≠0)且x=-2,y=4,则这个正比例函数的表达式是_____.
7.已知函数y=（m-2）+2是关于x的一次函数，则m=__.
8.某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金_____元.
9.等腰三角形的周长为10cm，底边长为ycm，腰长为xcm，用x表示y的函数关系式为_____.
10.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有__根，第n个图形中，火柴棒有_____根，若用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数，则y与x的函数关系式是_____，y是x的_____函数．
三.解答题：
11.已知y+a与x+b（a、b为常数）成正比例．y是x的一次函数吗？请说明理由.
解：
12.已知y=（k-3）x+-9是关于x的正比例函数，求当x=-4时，y的值.
解：
13.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付买本款y（元）与买本的个数x（个）之间的关系．
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系．
解：
14.小李从深圳通过某快递公司给在广州的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从深圳到广州快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x（kg）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？
解:
15.出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）8元，超出3km的部分1.6元/km．
（1）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元 （2）佳佳付车费16元，那么出租车行驶了多少km
（3）直接写出车费y(元)与行驶路程x(km)之间的关系式．(其中x≥3)
解:
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