广东省深圳市宝安实验学校2023-2024学年八年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023七下·南山期末）随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛.下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形，就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
2．（2023七下·南山期末）纳米是一种长度单位，为十亿分之一米.海思麒麟990处理器使用工艺制造，其中用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：∵1nm为十亿分之一米，
∴7nm为十亿分之七米，即为米.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般表示为的形式，其中1≤|a|＜10，n为原数左边第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面那个零，据此可得答案.
3．（2023七下·南山期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
B．同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6
D．用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、 车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故此选项不符合题意；
B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为只能为1个 ，故此选项的事件是不可能事件，此选项不符合题意；
C、 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能为1、2、3、4、5、6六种情况，所以掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6是必然事件，故此选项符合题意；
D、∵7+8=15，
∴用长度分别为8cm、7cm、15cm的三根小木棒不能摆成一个三角形，故此选项的事件是不可能事件，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件，就是随机事件；一定条件下，一定不会发生的事件，就是不可能事件，从而根据定义一一判断得出答案.
4．（2023七下·南山期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、2x与2y不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a2 a3=a5，故此选项结算错误，不符合题意；
C、（-3pq）2=9p2q2，故此选项结算错误，不符合题意；
D、4a2÷a=4a，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加减的实质就是合并同类项，所谓同类项，就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与系数及字母的顺序没有关系，合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的一定合并，据此可判断A选项；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，据此可判断B选项；积的乘方，等于把积中地每一个因式分别乘方，再把所得的幂想乘，据此可判断C选项；单项式除以单项式，把系数与相同的字母分别相除，据此可判断D选项.
5．（2023八上·宝安开学考）下列说法错误的是（ ）
A．的算术平方根是 B．是的平方根
C．的立方根是 D．是的平方根
【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、4的算术平方根是2，故选项A正确；
B、是2的一个平方根，故选项B正确；
C、-1的立方根是-1，故选项C正确；
D、，3的平方根是，故选项D错误．
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根：一般地，一个非负数x的平方等于a，则x叫作a的算术平方根；平方根：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根；立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，据此逐项分析即可解答．
6．（2023八上·宝安开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、 ，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式加减法：可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并； 二次根式乘除法：把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式，据此逐项分析计算即可得出答案．
7．（2023八上·宝安开学考）端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，
∴P（红豆粽）．
故答案为：B.
【分析】根据概率=所求情况数与总情况数之比即可求解.
8．（2023七下·坪山期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形任意两边之差小于第三边
B．三角形的一条角平分线将三角形分成两个面积相等的三角形
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高都在三角形内部
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：A、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，此说法正确，符合题意；
B、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形，故原说法错误，不符合题意；
C、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故原说法错误，不符合题意；
D、锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形一条高在三角形内部，两条鱼直角边重合；钝角三角形一条高在三角形内部，两条在三角形外部，故原说法错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系可判断A选项；根据三角形中线定义及等底同高三角形面积相等可判断B选项；根据全等三角形的判定定理SAS可判断C选项；过三角形一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，据此可判断D选项.
9．（2023八上·宝安开学考）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵3a÷9b=27，
∴3a÷32b=3a-2b=33，
则a-2b=3．
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算即可得出答案．
10．（2017八下·阳信期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、2能与合并，故A不符合题意；
B、=2能与合并，故B不符合题意；
C、=3不能与合并，故C符合题意；
D、=3能与合并，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．
11．（2023七下·南山期末）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=3cm，AD=CD，
∴AC=AE+CE=6cm，
∵△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=16cm.
故答案为：D.
【分析】由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=3cm，AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
12．（2016·青海）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
故选：B．
【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13．（2023八上·宝安开学考）一个角的余角的度数为，则这个角的补角的度数为 ．
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵一个角的余角的度数是30°，
∴这个角的补角的度数是90°+30°=120°，
故答案为：120°.
【分析】根据一个角的补角比这个角的余角大90°得出补角为90°+30°，求出即可．
14．（2023八上·宝安开学考）一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为 ．
【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论
①腰长为4时，三边为4、4、2，满足三角形的三边关系，该三角形周长为：4+4+2=10cm；
②腰长为2cm时，三边为4、2、2，
∵2+2=4，
∴不能构成三角形，
综上三角形周长为10cm.
故答案为：10.
【分析】根据等腰三角形两腰相等及三角形的任意两边之和大于第三边分类讨论，即可求解．
15．（2023八上·宝安开学考）若与是一个数的平方根，则这个数是 ．
【答案】16
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵x-1与x+7是一个数的平方根，
∴x-1+x+7=0，
解得：x=-3，
则这个数是：（x-1）2=（-3-1）2=16.
故答案为：16．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程可求出x的值，进而再根据平方根的定义即可确定出这个数．
16．（2023七下·南山期末）学校开设劳动课，规划围成如图所示的长方形ABCD的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为16米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x的关系式是 ；（不要求写出自变量的取值范围)
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得2y+x=16，
∴y=-x+8.
故答案为：y=-x+8.
【分析】由题意可得AB+BC+CD=16，即2y+x=16，进而用含x的式子表示出y即可.
17．（2023七下·深圳期末）如图，中，，是上任意一点，过作于，于，若，则 ．
【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
由图可得，
∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，S△ABC=12，
S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴AB×PE+AC×PD＝12，
×4×PE+×4×PD＝12，
∴PE+PD=6．
故答案为：6.
【分析】 由等面积法S△ABC=S△ABP+S△ACP，代入数值，解答即可．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（2023八上·宝安开学考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍，计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算从左到右进行计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算：先算乘除法，再合并同类二次根式即可．
19．（2023八上·宝安开学考）计算下列各题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式，进而约分化简，最后计算有理数的减法可得答案.
20．（2023七下·南山期末）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
当时，
原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将所给代数式先根据单项式乘以多项式的法则及完全平方公式分别计算，再合并同类项化简，进而代入x、y的值，按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算可得答案.
21．（2023七下·南山期末）阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据.
已知：如图，在中，，且于点交AD的延长线于点.求证：.
证明：
（已知）
（ ）
（已知）
▲ （两直线平行，内错角相等）
▲ （ ）
平分（ ）
▲ （已知）
（ ）
【答案】证明：，
(等边对等角)，
(已知)，
(两直线平行，内错角相等)，
(等量代换)，
平分(角平分线的定义），
(已知)，
(角分线上的点到角两边的距离相等).
故答案为：等边对等角，∠DCA=∠CAB，∠CAB，角平分线的定义，CB⊥AB，角分线上的点到角两边的距离相等.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】由等边对等角得∠DAC=∠DCA，由二直线平行，内错角相等，得∠DCA=∠CAB，从而利用等量代换可得∠DAC=∠CAB，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CE=CB.
22．（2023七下·深圳期末）如图表示甲步行与乙骑自行车在同一条直线路上同向行驶行走的路程，与时间的关系，观察图象并回答下列问题：
（1）乙出发时，乙与甲相距 千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时；
（3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇；
（4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？
【答案】（1）10
（2）1
（3）3
（4）解：不一样．理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度千米小时．
与修车后的速度千米小时．
所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解： （1）由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米．
故答案为：10；
（2）由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为=1.5-0.5=1（小时），
故答案为：1；
（3）由图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇．
故答案为：3；
（4）不一样．理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度千米小时．
与修车后的速度千米小时．
所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．
【分析】 （1）根据t=0时甲乙两人的路程差即为两人的距离；
（2）根据乙路程不变的时间即为修车时间；
（3）根据两人的函数图象的交点即为相遇；
（4）根据速度=路程÷时间．
23．（2023八上·宝安开学考）
（1）【初步感知】
如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点点不与点，点重合以为边向右侧作等边，连接．
求证：≌；
（2）【类比探究】
如图，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，猜想并证明：与的位置关系为： ；线段、、之间的数量关系为： ；
（3）【拓展应用】
如图，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
即
在和中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）平行；
（3）解：有最小值，
在BD延长线上截取，连接EM，
在和中，
，
∴，
，，
是等边三角形，
，
即点在角平分线上运动，
作点关于对称点，
连接与交于点，
此时点与点重合，
，
最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）和是等边三角形，
，，，
即
在和中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，
∵CE=BD，AC=BC，
∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；
故答案为：平行，EC=AC+CD；
（3）有最小值，
在BD延长线上截取点M，使得PC=DM，连接EM，如图：
∵△ABC和△EPD是等边三角形，
∴∠BCA=∠DEP=∠EPD=60°，PE=DE，
∵∠BCA=∠CPD+∠PDC=60°，
∴∠PDC=∠BCA-∠CPD=60°-∠CPD；
则∠EPC=∠EPD+∠CPD=60°+∠CPD，
∠EDM=180°-∠DEP-∠PDC=180°-60°-（60°-∠CPD）=60°+∠CPD，
∴∠EPC=∠EDM；
在△EPC和△EDM中，
，
∴△EPC≌△EDM（SAS），
∴EC=EM，∠CEP=∠MED，
又∵∠CEP+∠CED=∠DEP=60°，
∴∠MED+∠CED=60°=∠CEM，
∵∠CEM=60°，EC=EM，
∴△CEM是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠ECA=180°-∠BCA-∠ECD=180°-60°-60°=60°，
即CE是∠ACD的角平分线；
即点E在∠ACD角平分线上运动，
故当点E与点C重合时，BE取最小值为BC=3；
此时PE=PC=AC=AP=3-1=2；
故PE+BE的最小值为PC+BC=5.
【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，推得∠BAD=∠CAE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，推得∠BAD=∠CAE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠B=∠ACE=60°，CE=BD，推得∠BAC=∠ACE，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CE，即可求解；
（3） 根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度可得∠BCA=∠DEP=∠EPD=60°，PE=DE，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可求得∠PDC=60°-∠CPD；推得∠EPC=∠EDM根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得EC=EM， ∠CEP=∠MED，推得∠CEM=60°，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度可得∠ECD=60°，∠ECA=60°，根据平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得CE是∠ACD角平分线，即点E在∠ACD角平分线上运动，可推得故当点E与点C重合时，BE取最小值为3，此时PE=PC=2，即可求解．
1 / 1广东省深圳市宝安实验学校2023-2024学年八年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023七下·南山期末）随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛.下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·南山期末）纳米是一种长度单位，为十亿分之一米.海思麒麟990处理器使用工艺制造，其中用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·南山期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
B．同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6
D．用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形
4．（2023七下·南山期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八上·宝安开学考）下列说法错误的是（ ）
A．的算术平方根是 B．是的平方根
C．的立方根是 D．是的平方根
6．（2023八上·宝安开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·宝安开学考）端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·坪山期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形任意两边之差小于第三边
B．三角形的一条角平分线将三角形分成两个面积相等的三角形
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高都在三角形内部
9．（2023八上·宝安开学考）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2017八下·阳信期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．2 B． C． D．
11．（2023七下·南山期末）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2016·青海）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13．（2023八上·宝安开学考）一个角的余角的度数为，则这个角的补角的度数为 ．
14．（2023八上·宝安开学考）一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为 ．
15．（2023八上·宝安开学考）若与是一个数的平方根，则这个数是 ．
16．（2023七下·南山期末）学校开设劳动课，规划围成如图所示的长方形ABCD的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为16米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x的关系式是 ；（不要求写出自变量的取值范围)
17．（2023七下·深圳期末）如图，中，，是上任意一点，过作于，于，若，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（2023八上·宝安开学考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
19．（2023八上·宝安开学考）计算下列各题：
（1）；
（2）．
20．（2023七下·南山期末）先化简，再求值：，其中.
21．（2023七下·南山期末）阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据.
已知：如图，在中，，且于点交AD的延长线于点.求证：.
证明：
（已知）
（ ）
（已知）
▲ （两直线平行，内错角相等）
▲ （ ）
平分（ ）
▲ （已知）
（ ）
22．（2023七下·深圳期末）如图表示甲步行与乙骑自行车在同一条直线路上同向行驶行走的路程，与时间的关系，观察图象并回答下列问题：
（1）乙出发时，乙与甲相距 千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时；
（3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇；
（4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？
23．（2023八上·宝安开学考）
（1）【初步感知】
如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点点不与点，点重合以为边向右侧作等边，连接．
求证：≌；
（2）【类比探究】
如图，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，猜想并证明：与的位置关系为： ；线段、、之间的数量关系为： ；
（3）【拓展应用】
如图，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形，就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：∵1nm为十亿分之一米，
∴7nm为十亿分之七米，即为米.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般表示为的形式，其中1≤|a|＜10，n为原数左边第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面那个零，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、 车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故此选项不符合题意；
B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为只能为1个 ，故此选项的事件是不可能事件，此选项不符合题意；
C、 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能为1、2、3、4、5、6六种情况，所以掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6是必然事件，故此选项符合题意；
D、∵7+8=15，
∴用长度分别为8cm、7cm、15cm的三根小木棒不能摆成一个三角形，故此选项的事件是不可能事件，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件，就是随机事件；一定条件下，一定不会发生的事件，就是不可能事件，从而根据定义一一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、2x与2y不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a2 a3=a5，故此选项结算错误，不符合题意；
C、（-3pq）2=9p2q2，故此选项结算错误，不符合题意；
D、4a2÷a=4a，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加减的实质就是合并同类项，所谓同类项，就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与系数及字母的顺序没有关系，合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的一定合并，据此可判断A选项；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，据此可判断B选项；积的乘方，等于把积中地每一个因式分别乘方，再把所得的幂想乘，据此可判断C选项；单项式除以单项式，把系数与相同的字母分别相除，据此可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、4的算术平方根是2，故选项A正确；
B、是2的一个平方根，故选项B正确；
C、-1的立方根是-1，故选项C正确；
D、，3的平方根是，故选项D错误．
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根：一般地，一个非负数x的平方等于a，则x叫作a的算术平方根；平方根：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根；立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，据此逐项分析即可解答．
6．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、 ，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式加减法：可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并； 二次根式乘除法：把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式，据此逐项分析计算即可得出答案．
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，
∴P（红豆粽）．
故答案为：B.
【分析】根据概率=所求情况数与总情况数之比即可求解.
8．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：A、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，此说法正确，符合题意；
B、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形，故原说法错误，不符合题意；
C、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故原说法错误，不符合题意；
D、锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形一条高在三角形内部，两条鱼直角边重合；钝角三角形一条高在三角形内部，两条在三角形外部，故原说法错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系可判断A选项；根据三角形中线定义及等底同高三角形面积相等可判断B选项；根据全等三角形的判定定理SAS可判断C选项；过三角形一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，据此可判断D选项.
9．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵3a÷9b=27，
∴3a÷32b=3a-2b=33，
则a-2b=3．
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算即可得出答案．
10．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、2能与合并，故A不符合题意；
B、=2能与合并，故B不符合题意；
C、=3不能与合并，故C符合题意；
D、=3能与合并，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．
11．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=3cm，AD=CD，
∴AC=AE+CE=6cm，
∵△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=16cm.
故答案为：D.
【分析】由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=3cm，AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
12．【答案】B
【知识点】一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
故选：B．
【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键．
13．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵一个角的余角的度数是30°，
∴这个角的补角的度数是90°+30°=120°，
故答案为：120°.
【分析】根据一个角的补角比这个角的余角大90°得出补角为90°+30°，求出即可．
14．【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论
①腰长为4时，三边为4、4、2，满足三角形的三边关系，该三角形周长为：4+4+2=10cm；
②腰长为2cm时，三边为4、2、2，
∵2+2=4，
∴不能构成三角形，
综上三角形周长为10cm.
故答案为：10.
【分析】根据等腰三角形两腰相等及三角形的任意两边之和大于第三边分类讨论，即可求解．
15．【答案】16
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵x-1与x+7是一个数的平方根，
∴x-1+x+7=0，
解得：x=-3，
则这个数是：（x-1）2=（-3-1）2=16.
故答案为：16．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程可求出x的值，进而再根据平方根的定义即可确定出这个数．
16．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得2y+x=16，
∴y=-x+8.
故答案为：y=-x+8.
【分析】由题意可得AB+BC+CD=16，即2y+x=16，进而用含x的式子表示出y即可.
17．【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
由图可得，
∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，S△ABC=12，
S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴AB×PE+AC×PD＝12，
×4×PE+×4×PD＝12，
∴PE+PD=6．
故答案为：6.
【分析】 由等面积法S△ABC=S△ABP+S△ACP，代入数值，解答即可．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍，计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算从左到右进行计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算：先算乘除法，再合并同类二次根式即可．
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式，进而约分化简，最后计算有理数的减法可得答案.
20．【答案】解：原式
当时，
原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将所给代数式先根据单项式乘以多项式的法则及完全平方公式分别计算，再合并同类项化简，进而代入x、y的值，按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算可得答案.
21．【答案】证明：，
(等边对等角)，
(已知)，
(两直线平行，内错角相等)，
(等量代换)，
平分(角平分线的定义），
(已知)，
(角分线上的点到角两边的距离相等).
故答案为：等边对等角，∠DCA=∠CAB，∠CAB，角平分线的定义，CB⊥AB，角分线上的点到角两边的距离相等.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】由等边对等角得∠DAC=∠DCA，由二直线平行，内错角相等，得∠DCA=∠CAB，从而利用等量代换可得∠DAC=∠CAB，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CE=CB.
22．【答案】（1）10
（2）1
（3）3
（4）解：不一样．理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度千米小时．
与修车后的速度千米小时．
所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解： （1）由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米．
故答案为：10；
（2）由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为=1.5-0.5=1（小时），
故答案为：1；
（3）由图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇．
故答案为：3；
（4）不一样．理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度千米小时．
与修车后的速度千米小时．
所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．
【分析】 （1）根据t=0时甲乙两人的路程差即为两人的距离；
（2）根据乙路程不变的时间即为修车时间；
（3）根据两人的函数图象的交点即为相遇；
（4）根据速度=路程÷时间．
23．【答案】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
即
在和中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）平行；
（3）解：有最小值，
在BD延长线上截取，连接EM，
在和中，
，
∴，
，，
是等边三角形，
，
即点在角平分线上运动，
作点关于对称点，
连接与交于点，
此时点与点重合，
，
最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）和是等边三角形，
，，，
即
在和中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，
∵CE=BD，AC=BC，
∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；
故答案为：平行，EC=AC+CD；
（3）有最小值，
在BD延长线上截取点M，使得PC=DM，连接EM，如图：
∵△ABC和△EPD是等边三角形，
∴∠BCA=∠DEP=∠EPD=60°，PE=DE，
∵∠BCA=∠CPD+∠PDC=60°，
∴∠PDC=∠BCA-∠CPD=60°-∠CPD；
则∠EPC=∠EPD+∠CPD=60°+∠CPD，
∠EDM=180°-∠DEP-∠PDC=180°-60°-（60°-∠CPD）=60°+∠CPD，
∴∠EPC=∠EDM；
在△EPC和△EDM中，
，
∴△EPC≌△EDM（SAS），
∴EC=EM，∠CEP=∠MED，
又∵∠CEP+∠CED=∠DEP=60°，
∴∠MED+∠CED=60°=∠CEM，
∵∠CEM=60°，EC=EM，
∴△CEM是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠ECA=180°-∠BCA-∠ECD=180°-60°-60°=60°，
即CE是∠ACD的角平分线；
即点E在∠ACD角平分线上运动，
故当点E与点C重合时，BE取最小值为BC=3；
此时PE=PC=AC=AP=3-1=2；
故PE+BE的最小值为PC+BC=5.
【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，推得∠BAD=∠CAE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，推得∠BAD=∠CAE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠B=∠ACE=60°，CE=BD，推得∠BAC=∠ACE，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CE，即可求解；
（3） 根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度可得∠BCA=∠DEP=∠EPD=60°，PE=DE，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可求得∠PDC=60°-∠CPD；推得∠EPC=∠EDM根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得EC=EM， ∠CEP=∠MED，推得∠CEM=60°，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的三条边都相等，三个角都是60度可得∠ECD=60°，∠ECA=60°，根据平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得CE是∠ACD角平分线，即点E在∠ACD角平分线上运动，可推得故当点E与点C重合时，BE取最小值为3，此时PE=PC=2，即可求解．
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