2.3.3点到直线的距离公式 课件（共26张PPT）

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2.3.3 点到直线的距离公式
第 二 章 直线和圆的方程
人教A版2019选修第一册
学习目标
1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.
2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.
3. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
情景导入
知识回顾：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？
直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.
如图，点A到直线l的距离是AC.
思考：给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的方程，如何求点到直线的距离？
点到直线的距离公式
探究：已知点，直线 l ：Ax + By + C=0，如何求点P到直线 l 的距离？
x
y
l
Q
P
法一：坐标法求距离
分析：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q为垂足。求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|即可。
设，. 由 ,直线l 的斜率为，
可得l 的垂线段PQ的斜率为 ，
因此，PQ的方程为：
.
点到直线的距离公式
解方程组
x
y
l
Q
P
得到直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为
点到直线的距离公式
因此，点到直线 l ：Ax + By + C=0的距离
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
上述方法中，我们根据点到直线的距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量大。
因此，能否给出简化的运算方式？
点到直线的距离公式
探究：已知点，直线 l ：Ax + By + C=0，如何求点P到直线 l 的距离？
法二：向量法求距离
分析：点P到直线 l 的距离，就是向量的模.
设M（x, y）是直线 l 上的任意一点，是与直线 l 的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量
点到直线的距离公式
则是直线 l 的方向向量.
, 两式相减,
得 .
因为，向量（A，B）与向量垂直.
向量 是与直线l 的方程向量垂直的一个单位向量.
取 ,
设是直线l ：Ax + By + C=0上的任意两点，
点到直线的距离公式
=
=
因为点在直线l上所以代入上式，
得=
因此
=
点到直线的距离公式
思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
点到直线的距离公式
(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.
(2)图示:
注意：
(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式.
(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
点到直线的距离
（3）公式
点到直线的距离公式
2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　　)
×
C
点到直线的距离公式
点到直线距离的应用
点到直线距离的应用
点到直线距离的应用
2.求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是 的直线l的方程.
解　设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，
则由点到直线的距离公式知，
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
点到直线距离的应用
点到直线距离的应用
点到直线距离的应用
对称问题
对称问题
对称问题
1.已知A(1，2)，则
(1)点A关于x轴的对称点的坐标为________；
(2)点A关于y轴的对称点的坐标为________；
(3)点A关于直线y＝x的对称点的坐标为________；
(4)点A关于直线x＝2的对称点的坐标为________．
(1，－2)
(－1，2)
(2，1)
(3，2)
对称问题
对称问题
思路分析　根据光的反射定律，反射光线通过光源的像，光源A点的像A′与A关于已知直线l成轴对称，从而可得A′的坐标，利用两点式即得反射光线所在直线的方程．
对称问题
课堂小结
1.点到直线的距离公式
2.点到直线距离公式的应用
3.对称问题