分式方程的解法及应用
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第6讲 分式方程的解法及应用
◆考点链接
1．理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，了解分式方程增根的定义．
2．会列分式方程解应用题．
◆典例精析
【例题1】解方程：
（1）．
解：（1）[解法一]去分母得x2+x（x+1）=（2x+2）（x+1）．
解得：x=－．经检验，原方程的解是x=－．
[解法二]设y=，原方程化为y+y－2=0．
解得：y=－2或y=1．当y=－2时，=－2，解得x=－；当y=1时，=1无解．
经检验，原方程的解是x=－．
（2）由原方程得：
去分母得：（x－2）－（x2－4）=－4．
解得：x=3或x=－2．
经检验，x=－2是增根（舍去）．
原方程的解为：x=3．
评析：解分式方程的一般方法为化整法（先去分母），特殊方程用换元法，牢记解后检验．
【例题2】甲、乙两地间铁路长2 400km，经技术改造后列车实现了提速，提速后比提速前速度增加20km/h，列车从甲地到乙地行驶时间减少4h，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140km/h，请你用学过的数学知识，说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
解：设提速后列车的速度为x（km/h）．
则：=4，
解得：x1=120，x2=－100（舍去）．
经检验：x=120是原方程的解．
∵120<140，∴仍可再提速．
答：这条铁路在现有条件下仍可再次提速．
评析：能否再次提速就是比较提速后的速度与140km/h的大小关系．可见阅读理解是解决实际应用问题的关键．
◆探究实践
【问题1】某公司有100台机电设备，将其分配给批发部和零售部，分别以批发价和零售价出售，批发部和零售部所分到的台数不同，但按预算销售后所得的销售额（销售所得的贷款）恰好相等．
批发部的经理对零售部的经理说：“如果把你们分到的这批机电设备给我们卖可卖得160万元”，零售部的经理对批发部的经理说：“如果把你们分到的那批机电设备给我们卖，可卖得360万元．”
请问零售部分配到的机电设备是多少台？机电设备的零售单价是多少万元？
解：设零售部分配到的机电设备有x台．
由题意可得：x·
整理得：x2+160x－8 000=0．
解得：x1=40，x2=－200．
经检验：x1=40，x2=－200都是原方程的解，但机电设备台数不能为负数，x=－200应舍去．
∴x=40（台），零售单价为＝6万元．
答：零售部分配到40台机电设备，机电设备的零售单价为6万元．
评析：在应用问题中，方程的解还必须符合题意．也即是说满足、符合所有条件的解才是正确解．
【问题2】一城市出租车的收费标准如下表（x、N为正整数，里程数不足1km按1km记）．张叔乘出租车去公司办事，停车后，打出的电子收费单为“里程11km，应收29.1元，请付29元，谢谢！”
（1）求基本价N．
（2）张叔办完事后，再用了22元钱坐出租车回家，请求出停车后，电子收费单上的里程数．
里程x（km） 06
单价（元） N
解题思路：（1）由题意知出租车是分段记费，合成总费，根据这个实际情景，抓住各分段车费和为29.1元就可建立关于N的方程．（2）由29.1元车费只收29元这个信息说明付费22元是将应收车费按四舍五入精确到个位产生的，因此可由应收车费不小于21.5元且小于22.5元列出关于里程数x的不等式．
解：（1）由题意得：
N+3×+（11－6）×=29.1，
N2－29.1N+191=0，解得：N1=10，N2=19.1，
取整数N=10．
答：出租车基本价为每千米10元．
（2）设计费单上的里程数为x（km），由题意得
21.5≤10+3×<22.5，
解得：7，取整数x=8．
答：里程数为8km．
◆中考演练
一、选择题
1．在方程－y=1，（x－3）=x中，分式方程的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程=0的实数根是（ ）．
A．0 B．2 C．0或2 D．不存在
3．某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天可多加工10个，一共用5天完成了任务，若改进操作方法后每天加工x个零件，所列方程正确的是（ ）．
二、填空题
1．方程=1的解为_______．
2．当x=_______时，代数式的值相等．
3．学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是_______．
三、解答题
1．解方程：（1）．
2．为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学九年级二班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？
◆实战模拟
一、选择题
1．若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）．
A．－1或－2 B．－1或2 C．1或2 D．1或－2
2．下列分式方程中，有实数解的是（ ）．
3．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实施施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道？设原计划每天铺设x米管道，根据题意所列的方程为（ ）．
二、填空题
1．若关于x的方程无解，则m的值为_______．
2．已知x=3是方程=1的一个根，则此方程的另一个根是_______．
3．关于x的方程=m有实数根，则m的取值范围是______．
三、解答题:
1．（资阳）已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由．
3．（荆门）某校九年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位．
（1）求中巴车和大客车各有多少个座位？
（2）客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？
答案:
中考演练
一、1．B 2．A 3．A
二、1．x=3 2．7 3．30
三、1．（1）x= （2）x=5 2．30人
实战模拟
一、1．D 2．B 3．A
二、1．1 2．x=2 3．m≤且m≠0
三、1．（1）20天，30天 （2）选择甲工程队
2．（1）每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个．
（2）解法一：
①若单独租用中巴车，租车费用为×350=2100（元）
②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×400=2 000（元）
③设租用中巴车y辆，大客车（y+1）辆，则有
整数y=2
当y=2时，y+1=3，这时租车费用为350×2+400×3=1 900（元）．
故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费用少200元，比单独租用大客车的租车费少100元．
◆考点链接
1．理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，了解分式方程增根的定义．
2．会列分式方程解应用题．
◆典例精析
【例题1】解方程：
（1）．
解：（1）[解法一]去分母得x2+x（x+1）=（2x+2）（x+1）．
解得：x=－．经检验，原方程的解是x=－．
[解法二]设y=，原方程化为y+y－2=0．
解得：y=－2或y=1．当y=－2时，=－2，解得x=－；当y=1时，=1无解．
经检验，原方程的解是x=－．
（2）由原方程得：
去分母得：（x－2）－（x2－4）=－4．
解得：x=3或x=－2．
经检验，x=－2是增根（舍去）．
原方程的解为：x=3．
评析：解分式方程的一般方法为化整法（先去分母），特殊方程用换元法，牢记解后检验．
【例题2】甲、乙两地间铁路长2 400km，经技术改造后列车实现了提速，提速后比提速前速度增加20km/h，列车从甲地到乙地行驶时间减少4h，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140km/h，请你用学过的数学知识，说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
解：设提速后列车的速度为x（km/h）．
则：=4，
解得：x1=120，x2=－100（舍去）．
经检验：x=120是原方程的解．
∵120<140，∴仍可再提速．
答：这条铁路在现有条件下仍可再次提速．
评析：能否再次提速就是比较提速后的速度与140km/h的大小关系．可见阅读理解是解决实际应用问题的关键．
◆探究实践
【问题1】某公司有100台机电设备，将其分配给批发部和零售部，分别以批发价和零售价出售，批发部和零售部所分到的台数不同，但按预算销售后所得的销售额（销售所得的贷款）恰好相等．
批发部的经理对零售部的经理说：“如果把你们分到的这批机电设备给我们卖可卖得160万元”，零售部的经理对批发部的经理说：“如果把你们分到的那批机电设备给我们卖，可卖得360万元．”
请问零售部分配到的机电设备是多少台？机电设备的零售单价是多少万元？
解：设零售部分配到的机电设备有x台．
由题意可得：x·
整理得：x2+160x－8 000=0．
解得：x1=40，x2=－200．
经检验：x1=40，x2=－200都是原方程的解，但机电设备台数不能为负数，x=－200应舍去．
∴x=40（台），零售单价为＝6万元．
答：零售部分配到40台机电设备，机电设备的零售单价为6万元．
评析：在应用问题中，方程的解还必须符合题意．也即是说满足、符合所有条件的解才是正确解．
【问题2】一城市出租车的收费标准如下表（x、N为正整数，里程数不足1km按1km记）．张叔乘出租车去公司办事，停车后，打出的电子收费单为“里程11km，应收29.1元，请付29元，谢谢！”
（1）求基本价N．
（2）张叔办完事后，再用了22元钱坐出租车回家，请求出停车后，电子收费单上的里程数．
里程x（km） 0
单价（元） N
解题思路：（1）由题意知出租车是分段记费，合成总费，根据这个实际情景，抓住各分段车费和为29.1元就可建立关于N的方程．（2）由29.1元车费只收29元这个信息说明付费22元是将应收车费按四舍五入精确到个位产生的，因此可由应收车费不小于21.5元且小于22.5元列出关于里程数x的不等式．
解：（1）由题意得：
N+3×+（11－6）×=29.1，
N2－29.1N+191=0，解得：N1=10，N2=19.1，
取整数N=10．
答：出租车基本价为每千米10元．
（2）设计费单上的里程数为x（km），由题意得
21.5≤10+3×<22.5，
解得：7，取整数x=8．
答：里程数为8km．
◆中考演练
一、选择题
1．在方程－y=1，（x－3）=x中，分式方程的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程=0的实数根是（ ）．
A．0 B．2 C．0或2 D．不存在
3．某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天可多加工10个，一共用5天完成了任务，若改进操作方法后每天加工x个零件，所列方程正确的是（ ）．
二、填空题
1．方程=1的解为_______．
2．当x=_______时，代数式的值相等．
3．学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是_______．
三、解答题
1．解方程：（1）．
2．为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学九年级二班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？
◆实战模拟
一、选择题
1．若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）．
A．－1或－2 B．－1或2 C．1或2 D．1或－2
2．下列分式方程中，有实数解的是（ ）．
3．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实施施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道？设原计划每天铺设x米管道，根据题意所列的方程为（ ）．
二、填空题
1．若关于x的方程无解，则m的值为_______．
2．已知x=3是方程=1的一个根，则此方程的另一个根是_______．
3．关于x的方程=m有实数根，则m的取值范围是______．
三、解答题:
1．（资阳）已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由．
3．（荆门）某校九年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位．
（1）求中巴车和大客车各有多少个座位？
（2）客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？
答案:
中考演练
一、1．B 2．A 3．A
二、1．x=3 2．7 3．30
三、1．（1）x= （2）x=5 2．30人
实战模拟
一、1．D 2．B 3．A
二、1．1 2．x=2 3．m≤且m≠0
三、1．（1）20天，30天 （2）选择甲工程队
2．（1）每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个．
（2）解法一：
①若单独租用中巴车，租车费用为×350=2100（元）
②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×400=2 000（元）
③设租用中巴车y辆，大客车（y+1）辆，则有
整数y=2
当y=2时，y+1=3，这时租车费用为350×2+400×3=1 900（元）．
故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费用少200元，比单独租用大客车的租车费少100元．