32.九年级数学（下）第二十七章 相似专题卷B——核心思想方法归纳一点通（选用）（含答案）
文档属性
| 名称 | 32.九年级数学（下）第二十七章 相似专题卷B——核心思想方法归纳一点通（选用）（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 639.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-05 19:55:11 | ||
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文档简介
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32.九年级数学（下）第27章《相似》专题卷B——核心思想方法归纳一点通（选用）
一、核心解题方法归纳
核心解题方法1 巧证比例式或等积式
一、三点定型法
【方法技巧】要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形.
1.如图，在等边△ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB，AC于M，N两点.求证：BP·PC＝BM·CN.
二、等线段代换法
【方法技巧】从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形.
2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.
求证：AB2＝AE·AC.
三、等比代换法（找中间比）
【方法技巧】要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡.
3.如图，D，E，F分别为△ABC的边上的点，且EF∥AB，交CD于G.求证：＝.
四、等积代换（找中间积）
【方法技巧】常借助于射影定理的基本图形和结论找中间积.
4.如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H.求证：＝EG·EH.
核心解题方法2 作平行构造A，X型相似
【方法技巧】同一直线上有公共端点的两条线段的比，常过两线段的三个端点之一作平行线，构造A，X型基本图形解题.
5.如图，在△ABC中，AB＞AC，D，E分别在AB，AC上，且AD＝AE，DE，BC的延长线交于点P.
（1）若＝，求的值.
（2）若＝，DE＝PE，求的值.
核心解题方法3 作垂线构造直角三角形相似
【方法技巧】作垂线构造两个直角三角形相似.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F，G分别是BC，AB，AC上一点，∠FEG＝2∠B.
（1）求证：∠BFE＝∠AGE；
（2）若＝，求的值.
7.如图，P是等边△ABC的边BC上一点，且＝，AP的垂直平分线分别交AB，AC于M，N两点，AP和MN交于点Q，求的值.
二、核心数学思想归纳
核心数学思想1 分类讨论思想
8.如图，点P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点.过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9.在△ABC中，AB＝5，AC＝9，BC＝10，点D为AC上一点，AD＝3，在AB上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长.
10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD＝2，AB＝3，AD＝7，在AD上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似 若存在，请求出PD的长；若不存在，请说明理由.
核心数学思想2 方程思想
11.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的处，且D∥BC，求CD的长.
12.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E，F，G分别在△ABC的边上，四边形DEFG为正方形，求DE的长.
13.（课本P102第12题改）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2.
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝3，求⊙O的半径.
核心数学思想3 转化思想
（一）多边形问题转化为三角形问题
14.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于点E，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积.
（二）一般问题转化为特殊问题
15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F.若AC＝mBC，CE＝nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系.
（1）如图①，当m＝1，n＝1时，EF与EG的数量关系是 ；
（2）如图②，当m＝1，n为任意实数时，探究EF与EG之间的数量关系；
（3）如图③，当m，n为任意实数时，直接写出EF与EG的数量关系是 ；
32.九年级数学（下）第27章《相似》专题卷B——核心思想方法归纳一点通（选用）
一、核心解题方法归纳
核心解题方法1 巧证比例式或等积式
一、三点定型法
【方法技巧】要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形.
1.如图，在等边△ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB，AC于M，N两点.求证：BP·PC＝BM·CN.
解：证∠MPN＝∠BAC＝60°，∠BMP＝∠NPC，证△PBM∽△NCP即可.
二、等线段代换法
【方法技巧】从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形.
2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.求证：AB2＝AE·AC.
解：证∠AED＝∠ADC，可得△AED∽△ADC，得＝AE·AC，∵AD＝AB，∴＝AE·AC.
三、等比代换法（找中间比）
【方法技巧】要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡.
3.如图，D，E，F分别为△ABC的边上的点，且EF∥AB，交CD于G.求证：＝.
解：证＝，＝，∴＝，∴＝.
四、等积代换（找中间积）
【方法技巧】常借助于射影定理的基本图形和结论找中间积.
4.如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H.求证：＝EG·EH.
解：先证＝BE·AE，再证BE·AE＝EG·EH.
核心解题方法2 作平行构造A，X型相似
【方法技巧】同一直线上有公共端点的两条线段的比，常过两线段的三个端点之一作平行线，构造A，X型基本图形解题.
5.如图，在△ABC中，AB＞AC，D，E分别在AB，AC上，且AD＝AE，DE，BC的延长线交于点P.
（1）若＝，求的值.
思路一：作平行线构造“A”型相似
解法一：作CF∥BD交PE于F，∴＝＝，∵AD＝AE，AD∥CF，∴CE＝CF，∴＝.
解法二：过C作CF∥DE交BD于F，易证AF＝AC，CE＝DF，∴＝＝＝.
思路二：作平行线构造“X”型相似
解：过B作BF∥PE交EC的延长线于F，易证AB＝AF，BD＝EF，∴＝＝＝.
（2）若＝，DE＝PE，求的值.
思路：作平行线构造“A，X”型
解：过B作BF∥CE交PD的延长线于F，∵AD＝AE，∴BF＝BD，
∵＝＝，∴＝＝，∵PE＝DE，∴＝＝.
核心解题方法3 作垂线构造直角三角形相似
【方法技巧】作垂线构造两个直角三角形相似.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F，G分别是BC，AB，AC上一点，∠FEG＝2∠B.
（1）求证：∠BFE＝∠AGE；
（2）若＝，求的值.
解：（1）∵2∠B＋∠A＝180°，∴∠FEG＋∠A＝180°，∴∠BFE＝∠AGE；
（2）过E作EM⊥AB于M，作EN⊥AC于N，∴△EMF∽△ENG，∴＝，
易证△EBM∽△ECN，∴＝＝，∴＝.
7.如图，P是等边△ABC的边BC上一点，且＝，AP的垂直平分线分别交AB，AC于M，N两点，AP和MN交于点Q，求的值.
解：过点P分别向AB、AC作垂线PE、PF，E、F为垂足，
可得△AMQ∽△APE和△ANQ∽△APF，
∴＝①，＝②，由①÷②可得＝，
由＝可设BP＝2，CP＝3，
∴AB＝AC＝5，Rt△BPE中BE＝BP＝1，∴AE＝4，
Rt△PCF中，CF＝CP＝，∴AF＝，∴＝＝.
二、核心数学思想归纳
核心数学思想1 分类讨论思想
8.如图，点P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点.过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ C ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9.在△ABC中，AB＝5，AC＝9，BC＝10，点D为AC上一点，AD＝3，在AB上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长.
解：①当△ADE∽△ABC时，由＝，可得DE＝6；
②当△ADE∽△ACB时，由＝可得DE＝.
10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD＝2，AB＝3，AD＝7，在AD上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似 若存在，请求出PD的长；若不存在，请说明理由.
解：假设存在符合題意的点P，有如下两种情况：设PD＝x，则AP＝7－x.
①若△PDC∽△PAB，则＝，∵CD＝2，AB＝3，∴＝，解得x＝.
②若△PDC∽△BAP，则＝，∴＝，即－7x＋6＝0.解得x＝1或6.
当x＝或1或6时，均符合题意.
综上：PD长为或1或6.
核心数学思想2 方程思想
11.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的处，且D∥BC，求CD的长.
解：AC＝10，设CD＝D＝x，AD＝10－x，∵＝，∴＝，x＝，∴CD＝.
12.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E，F，G分别在△ABC的边上，四边形DEFG为正方形，求DE的长.
解：作CM⊥AB于M，交DE于N，∵AC·BC＝AB·CM，∴CM＝，设DE＝x，
∵＝，∴＝，∴x＝，∴DE的长为.
13.（课本P102第12题改）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2.
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝3，求⊙O的半径.
解：（1）连接OC，则OC∥AE，证∠EAC＝∠OCA＝∠OAC.
（2）证△PBC∽△PCA，∴＝PB·PA，∴4PB2＝PB·PA，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
（3）作OH⊥AD于H，则AH＝DH＝，四边形OHEC为矩形，
设⊙O的半径为R，则HE＝OC＝R，∴AE＝＋R，
∵△POC∽△PAE，∴＝，∵AB＝3PB，∴PB＝R，∴＝，∴R＝.
核心数学思想3 转化思想
（一）多边形问题转化为三角形问题
14.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于点E，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积.
解：如图，分别延长CB、DA交于点F.又∵CE平分∠BCD，CE⊥AD，
∴△FCD为等腰三角形，E为FD的中点，∴＝FD·CE＝×2ED·CE＝2＝2.
∵DE＝2AE，DE＝EF，∴EF＝2AE，∴FA＝AE＝FD.
又∵AB∥CD，∴△FBA∽△FCD，＝＝＝，
∴＝＝，∴＝－－＝2－1－＝.
（二）一般问题转化为特殊问题
15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F.若AC＝mBC，CE＝nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系.
（1）如图①，当m＝1，n＝1时，EF与EG的数量关系是 ；
（2）如图②，当m＝1，n为任意实数时，探究EF与EG之间的数量关系；
（3）如图③，当m，n为任意实数时，直接写出EF与EG的数量关系是 ；
解：（1）EF＝EG，证明△FEA≌△GED；
（2）EG＝nEF，证明：过E作EP⊥CD于P，EQ⊥AB于Q，
证明△CEP∽△AEQ，∴＝＝n，
∵∠FEG＝∠GEP＝90°，∴∠FEQ＝∠GEP，
又∠EQF＝∠EPG＝90°，∴△FEQ∽△GEP，∴＝＝n，∴EG＝nEF；
（3）EG＝mnEF.
提示：证＝＝n，∴CP＝n·EQ，
证＝＝m，∴EP＝m·CP＝mn·EQ，
证＝＝＝mn.
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32.九年级数学（下）第27章《相似》专题卷B——核心思想方法归纳一点通（选用）
一、核心解题方法归纳
核心解题方法1 巧证比例式或等积式
一、三点定型法
【方法技巧】要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形.
1.如图，在等边△ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB，AC于M，N两点.求证：BP·PC＝BM·CN.
二、等线段代换法
【方法技巧】从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形.
2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.
求证：AB2＝AE·AC.
三、等比代换法（找中间比）
【方法技巧】要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡.
3.如图，D，E，F分别为△ABC的边上的点，且EF∥AB，交CD于G.求证：＝.
四、等积代换（找中间积）
【方法技巧】常借助于射影定理的基本图形和结论找中间积.
4.如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H.求证：＝EG·EH.
核心解题方法2 作平行构造A，X型相似
【方法技巧】同一直线上有公共端点的两条线段的比，常过两线段的三个端点之一作平行线，构造A，X型基本图形解题.
5.如图，在△ABC中，AB＞AC，D，E分别在AB，AC上，且AD＝AE，DE，BC的延长线交于点P.
（1）若＝，求的值.
（2）若＝，DE＝PE，求的值.
核心解题方法3 作垂线构造直角三角形相似
【方法技巧】作垂线构造两个直角三角形相似.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F，G分别是BC，AB，AC上一点，∠FEG＝2∠B.
（1）求证：∠BFE＝∠AGE；
（2）若＝，求的值.
7.如图，P是等边△ABC的边BC上一点，且＝，AP的垂直平分线分别交AB，AC于M，N两点，AP和MN交于点Q，求的值.
二、核心数学思想归纳
核心数学思想1 分类讨论思想
8.如图，点P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点.过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9.在△ABC中，AB＝5，AC＝9，BC＝10，点D为AC上一点，AD＝3，在AB上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长.
10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD＝2，AB＝3，AD＝7，在AD上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似 若存在，请求出PD的长；若不存在，请说明理由.
核心数学思想2 方程思想
11.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的处，且D∥BC，求CD的长.
12.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E，F，G分别在△ABC的边上，四边形DEFG为正方形，求DE的长.
13.（课本P102第12题改）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2.
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝3，求⊙O的半径.
核心数学思想3 转化思想
（一）多边形问题转化为三角形问题
14.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于点E，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积.
（二）一般问题转化为特殊问题
15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F.若AC＝mBC，CE＝nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系.
（1）如图①，当m＝1，n＝1时，EF与EG的数量关系是 ；
（2）如图②，当m＝1，n为任意实数时，探究EF与EG之间的数量关系；
（3）如图③，当m，n为任意实数时，直接写出EF与EG的数量关系是 ；
32.九年级数学（下）第27章《相似》专题卷B——核心思想方法归纳一点通（选用）
一、核心解题方法归纳
核心解题方法1 巧证比例式或等积式
一、三点定型法
【方法技巧】要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形.
1.如图，在等边△ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB，AC于M，N两点.求证：BP·PC＝BM·CN.
解：证∠MPN＝∠BAC＝60°，∠BMP＝∠NPC，证△PBM∽△NCP即可.
二、等线段代换法
【方法技巧】从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形.
2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.求证：AB2＝AE·AC.
解：证∠AED＝∠ADC，可得△AED∽△ADC，得＝AE·AC，∵AD＝AB，∴＝AE·AC.
三、等比代换法（找中间比）
【方法技巧】要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡.
3.如图，D，E，F分别为△ABC的边上的点，且EF∥AB，交CD于G.求证：＝.
解：证＝，＝，∴＝，∴＝.
四、等积代换（找中间积）
【方法技巧】常借助于射影定理的基本图形和结论找中间积.
4.如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H.求证：＝EG·EH.
解：先证＝BE·AE，再证BE·AE＝EG·EH.
核心解题方法2 作平行构造A，X型相似
【方法技巧】同一直线上有公共端点的两条线段的比，常过两线段的三个端点之一作平行线，构造A，X型基本图形解题.
5.如图，在△ABC中，AB＞AC，D，E分别在AB，AC上，且AD＝AE，DE，BC的延长线交于点P.
（1）若＝，求的值.
思路一：作平行线构造“A”型相似
解法一：作CF∥BD交PE于F，∴＝＝，∵AD＝AE，AD∥CF，∴CE＝CF，∴＝.
解法二：过C作CF∥DE交BD于F，易证AF＝AC，CE＝DF，∴＝＝＝.
思路二：作平行线构造“X”型相似
解：过B作BF∥PE交EC的延长线于F，易证AB＝AF，BD＝EF，∴＝＝＝.
（2）若＝，DE＝PE，求的值.
思路：作平行线构造“A，X”型
解：过B作BF∥CE交PD的延长线于F，∵AD＝AE，∴BF＝BD，
∵＝＝，∴＝＝，∵PE＝DE，∴＝＝.
核心解题方法3 作垂线构造直角三角形相似
【方法技巧】作垂线构造两个直角三角形相似.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F，G分别是BC，AB，AC上一点，∠FEG＝2∠B.
（1）求证：∠BFE＝∠AGE；
（2）若＝，求的值.
解：（1）∵2∠B＋∠A＝180°，∴∠FEG＋∠A＝180°，∴∠BFE＝∠AGE；
（2）过E作EM⊥AB于M，作EN⊥AC于N，∴△EMF∽△ENG，∴＝，
易证△EBM∽△ECN，∴＝＝，∴＝.
7.如图，P是等边△ABC的边BC上一点，且＝，AP的垂直平分线分别交AB，AC于M，N两点，AP和MN交于点Q，求的值.
解：过点P分别向AB、AC作垂线PE、PF，E、F为垂足，
可得△AMQ∽△APE和△ANQ∽△APF，
∴＝①，＝②，由①÷②可得＝，
由＝可设BP＝2，CP＝3，
∴AB＝AC＝5，Rt△BPE中BE＝BP＝1，∴AE＝4，
Rt△PCF中，CF＝CP＝，∴AF＝，∴＝＝.
二、核心数学思想归纳
核心数学思想1 分类讨论思想
8.如图，点P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点.过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ C ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9.在△ABC中，AB＝5，AC＝9，BC＝10，点D为AC上一点，AD＝3，在AB上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长.
解：①当△ADE∽△ABC时，由＝，可得DE＝6；
②当△ADE∽△ACB时，由＝可得DE＝.
10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD＝2，AB＝3，AD＝7，在AD上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形和以点P，C，D为顶点的三角形相似 若存在，请求出PD的长；若不存在，请说明理由.
解：假设存在符合題意的点P，有如下两种情况：设PD＝x，则AP＝7－x.
①若△PDC∽△PAB，则＝，∵CD＝2，AB＝3，∴＝，解得x＝.
②若△PDC∽△BAP，则＝，∴＝，即－7x＋6＝0.解得x＝1或6.
当x＝或1或6时，均符合题意.
综上：PD长为或1或6.
核心数学思想2 方程思想
11.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的处，且D∥BC，求CD的长.
解：AC＝10，设CD＝D＝x，AD＝10－x，∵＝，∴＝，x＝，∴CD＝.
12.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E，F，G分别在△ABC的边上，四边形DEFG为正方形，求DE的长.
解：作CM⊥AB于M，交DE于N，∵AC·BC＝AB·CM，∴CM＝，设DE＝x，
∵＝，∴＝，∴x＝，∴DE的长为.
13.（课本P102第12题改）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2.
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD＝3，求⊙O的半径.
解：（1）连接OC，则OC∥AE，证∠EAC＝∠OCA＝∠OAC.
（2）证△PBC∽△PCA，∴＝PB·PA，∴4PB2＝PB·PA，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
（3）作OH⊥AD于H，则AH＝DH＝，四边形OHEC为矩形，
设⊙O的半径为R，则HE＝OC＝R，∴AE＝＋R，
∵△POC∽△PAE，∴＝，∵AB＝3PB，∴PB＝R，∴＝，∴R＝.
核心数学思想3 转化思想
（一）多边形问题转化为三角形问题
14.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于点E，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积.
解：如图，分别延长CB、DA交于点F.又∵CE平分∠BCD，CE⊥AD，
∴△FCD为等腰三角形，E为FD的中点，∴＝FD·CE＝×2ED·CE＝2＝2.
∵DE＝2AE，DE＝EF，∴EF＝2AE，∴FA＝AE＝FD.
又∵AB∥CD，∴△FBA∽△FCD，＝＝＝，
∴＝＝，∴＝－－＝2－1－＝.
（二）一般问题转化为特殊问题
15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F.若AC＝mBC，CE＝nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系.
（1）如图①，当m＝1，n＝1时，EF与EG的数量关系是 ；
（2）如图②，当m＝1，n为任意实数时，探究EF与EG之间的数量关系；
（3）如图③，当m，n为任意实数时，直接写出EF与EG的数量关系是 ；
解：（1）EF＝EG，证明△FEA≌△GED；
（2）EG＝nEF，证明：过E作EP⊥CD于P，EQ⊥AB于Q，
证明△CEP∽△AEQ，∴＝＝n，
∵∠FEG＝∠GEP＝90°，∴∠FEQ＝∠GEP，
又∠EQF＝∠EPG＝90°，∴△FEQ∽△GEP，∴＝＝n，∴EG＝nEF；
（3）EG＝mnEF.
提示：证＝＝n，∴CP＝n·EQ，
证＝＝m，∴EP＝m·CP＝mn·EQ，
证＝＝＝mn.
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