36.九年级数学（下）第二十八章 锐角三角函数专题卷A—核心考点归纳一点通（含答案）
文档属性
| 名称 | 36.九年级数学（下）第二十八章 锐角三角函数专题卷A—核心考点归纳一点通（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 485.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-05 19:57:41 | ||
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文档简介
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36.九年级（下）第28章《三角函数》专题卷A
核心考点归纳一点通
核心考点1 求锐角三角函数值
（一）根据锐角三角函数的定义求三角函数值
1.△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，求sinA、cosA、tanA的值.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求sinA、cosB的值.
（二）根据线段关系求三角函数值
3.如图，在在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝5，CD＝6.5，求sinA的值.
（三）根据点的坐标求三角函数值
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A.
（1）求tan∠BOA的值.
（2）将△OAB平移得到△，点A的对应点是，点B的对应点的坐标为（2，－4），在坐标系中作出△，并直接写出、的坐标及sin∠OB的值.
核心考点2 特殊角与三角函数值
（一）特殊角的三角函数值的计算
5. 计算：sin60°＝ ；cos30°＝ ；tan45°＝ ；
6.在△ABC中，∠B＝105°，∠C＝30°，则cosA＝ .
7.计算：tan30°·tan45°·tan60°＝ .
8.计算（1）45°＋tan60°·cos30°； （2）＋tan30°
（二）已知三角函数值求角度
9.若∠为锐角，且cos(－10°)＝，则∠的度数为 .
10.在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状.
核心考点3 解直角三角形
11.根据下列条件，求出Rt△ABC（∠C＝90°）中未知的边和锐角.
（1）∠B＝45°，AC＝；
（2）BC＝8，∠B＝30°；
12．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinB＝，AC＝16，D为线段BC上一点，且CD＝4.
（1）求BD的长；
（2）求tan∠ADC的值.
13.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB＝10米，求旗杆BC的高度.
14.如图，△ABC中，∠B＝45°，cos∠C＝，AC＝5，求△ABC的面积.
核心考点4 三角函数的应用
15.如图，在A处建筑物CD的顶端D的仰角为，且tan＝，向前行进2米到达B处，从B处看D仰角为45°（图中各点均在同一平面内高度.，A、B、C三点在同一条直线上，DC⊥AC），求建筑物CD的高度.
16.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进60海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD.
17.在国际马拉松比赛过程中，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离.
核心考点5 圆与三角函数
（一）利用线段长求三角函数值
18.如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，弦CD 交OA于点E，DE＝4，CE＝5，求tan∠B的值.
19.(课本102页12题改)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，若BC＝，CD＝2，求tan∠ADO的值.
（二）利用线段关系求三角函数值
20.如图，CD、CB分别与⊙O相切于点D、B，AB为⊙O的直径，AE∥CD交BD于E，若AB＝AC，求sin∠BAE的值.
21.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，∠AEF＝90°，＝，△ECF的外接圆与AD相切，求tan∠DAF的值.
（三）利用三角形函数值求三角函数值
22.如图，⊙O中，＝，D为上一点，且＝，若cos∠BDC＝，求tan∠ADC的值.
23.如图，以△ABC的一边AB为直径的⊙O与AC、BC分别交于D、E，且DE＝BE，若cos∠C＝，求cos∠AED的值.
36.九年级（下）第28章《三角函数》专题卷A
核心考点归纳一点通
核心考点1 求锐角三角函数值
（一）根据锐角三角函数的定义求三角函数值
（1）△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，求sinA、cosA、tanA的值.
解：，，.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求sinA、cosB的值.
解：都为.
（二）根据线段关系求三角函数值
3.如图，在在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝5，CD＝6.5，求sinA的值.
解：.
（三）根据点的坐标求三角函数值
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A.
（1）求tan∠BOA的值.
（2）将△OAB平移得到△，点A的对应点是，点B的对应点的坐标为（2，－4），在坐标系中作出△，并直接写出、的坐标及sin∠OB的值.
解：（1）（2）图略，（－2，－6），（2，－6），sin∠OB＝
核心考点2 特殊角与三角函数值
（1） 特殊角的三角函数值的计算
5. 计算：sin60°＝；cos30°＝；tan45°＝1；
6.在△ABC中，∠B＝105°，∠C＝30°，则cosA＝
7.计算：tan30°·tan45°·tan60°＝1
8.计算（1）45°＋tan60°·cos30°；
解：2.
（2）＋tan30°
解：
（二）已知三角函数值求角度
9.若∠为锐角，且cos(－10°)＝，则∠的度数为70°
10.在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状.
解：∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，△ABC为直角三角形.
核心考点3 解直角三角形
11.根据下列条件，求出Rt△ABC（∠C＝90°）中未知的边和锐角.
（1）∠B＝45°，AC＝；
（2）BC＝8，∠B＝30°；
解：（1）∠A＝45°，BC＝，AB＝.
（2）AC＝，AB＝，∠A＝60°.
12．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinB＝，AC＝16，D为线段BC上一点，且CD＝4.
（1）求BD的长；
（2）求tan∠ADC的值.
解（1）BD＝8；（2）4.
13.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB＝10米，求旗杆BC的高度.
解：5米.
14.如图，△ABC中，∠B＝45°，cos∠C＝，AC＝5，求△ABC的面积.
解：.
核心考点4 三角函数的应用
15.如图，在A处建筑物CD的顶端D的仰角为，且tan＝，向前行进2米到达B处，从B处看D仰角为45°（图中各点均在同一平面内高度.，A、B、C三点在同一条直线上，DC⊥AC），求建筑物CD的高度.
解：8米.
16.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进60海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD.
解：30海里.
17.在国际马拉松比赛过程中，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离.
解：（200＋200）米
核心考点5 圆与三角函数
（1） 利用线段长求三角函数值
18.如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，弦CD 交OA于点E，DE＝4，CE＝5，求tan∠B的值.
解：连接CO，过D作DH⊥AB于H，
∴＝，
设DH＝4x，CO＝5x，则AB＝10x，
易证，
∴AH＝2x，BH＝8x，∴tan∠B＝＝＝.
19.(课本102页12题改)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，若BC＝，CD＝2，求tan∠ADO的值.
解：设AD交⊙O于E，易证AC平分∠BAD，BC＝CE＝，
∴DE＝1，设OC交BE于M，则CM＝1，BM＝EM＝CD＝2，
设OB＝R，在△OMB中，，R＝，
∴tan∠ADO＝tan∠DOC＝＝
（2） 利用线段关系求三角函数值
20.如图，CD、CB分别与⊙O相切于点D、B，AB为⊙O的直径，AE∥CD交BD于E，若AB＝AC，求sin∠BAE的值.
解：延长AE交⊙O于F，连接BF并延长交CD于G，
∵∠AFB＝90°，∴BG⊥CD，
易证△ABF≌△BCG，设CG＝BF＝x，
设AB＝BC＝CD＝1，则DG＝1－x，
连接OD，易证AF＝2DG＝2(1－x)＝2－2x，
在△ABF中有，，
解得，＝1（舍），
∴sin∠BAE＝＝.
21.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，∠AEF＝90°，＝，△ECF的外接圆与AD相切，求tan∠DAF的值.
解：过O作GH∥AB，分别交AD、BC于G、H，
∵∠AEF＝90°，∴△ABE∽△ECF，
∵＝，∴设BE＝3a，AB＝3b，
则CF＝4a，EC＝4b，OH＝2a。OG＝3b－2a，
易证，∴，化简得，
∴tan∠DAF＝＝＝
（三）利用三角形函数值求三角函数值
22.如图，⊙O中，＝，D为上一点，且＝，若cos∠BDC＝，求tan∠ADC的值.
解：连接AB交CD于E，连接OB交CD于F，易证OB⊥CD，
∵cos∠BDC＝＝，故设CF＝3，BC＝4，∴BF＝，
∵∠BEC＝∠BAC＋∠ACD，∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＋∠BCD，且∠BCD＝∠BAC，
∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝EC，∴CE＝4，∴EF＝CE－CF＝1，
∵BC＝EC，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BEC
∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝＝＝
23.如图，以△ABC的一边AB为直径的⊙O与AC、BC分别交于D、E，且DE＝BE，若cos∠C＝，求cos∠AED的值.
解：∵DE＝BE，∴＝，∴∠DAE＝∠BAE，∴AE⊥BC，∴AC＝AB，∴CE＝BE，
∵cosC＝＝，∴设CE＝BE＝3x，AC＝5x＝AB，∴AE＝4x，连接BD，则∠ADB＝90°，
AC·BD＝BC·AE，∴BD＝＝，cos∠AED＝cos∠ABD＝＝.
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36.九年级（下）第28章《三角函数》专题卷A
核心考点归纳一点通
核心考点1 求锐角三角函数值
（一）根据锐角三角函数的定义求三角函数值
1.△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，求sinA、cosA、tanA的值.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求sinA、cosB的值.
（二）根据线段关系求三角函数值
3.如图，在在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝5，CD＝6.5，求sinA的值.
（三）根据点的坐标求三角函数值
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A.
（1）求tan∠BOA的值.
（2）将△OAB平移得到△，点A的对应点是，点B的对应点的坐标为（2，－4），在坐标系中作出△，并直接写出、的坐标及sin∠OB的值.
核心考点2 特殊角与三角函数值
（一）特殊角的三角函数值的计算
5. 计算：sin60°＝ ；cos30°＝ ；tan45°＝ ；
6.在△ABC中，∠B＝105°，∠C＝30°，则cosA＝ .
7.计算：tan30°·tan45°·tan60°＝ .
8.计算（1）45°＋tan60°·cos30°； （2）＋tan30°
（二）已知三角函数值求角度
9.若∠为锐角，且cos(－10°)＝，则∠的度数为 .
10.在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状.
核心考点3 解直角三角形
11.根据下列条件，求出Rt△ABC（∠C＝90°）中未知的边和锐角.
（1）∠B＝45°，AC＝；
（2）BC＝8，∠B＝30°；
12．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinB＝，AC＝16，D为线段BC上一点，且CD＝4.
（1）求BD的长；
（2）求tan∠ADC的值.
13.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB＝10米，求旗杆BC的高度.
14.如图，△ABC中，∠B＝45°，cos∠C＝，AC＝5，求△ABC的面积.
核心考点4 三角函数的应用
15.如图，在A处建筑物CD的顶端D的仰角为，且tan＝，向前行进2米到达B处，从B处看D仰角为45°（图中各点均在同一平面内高度.，A、B、C三点在同一条直线上，DC⊥AC），求建筑物CD的高度.
16.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进60海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD.
17.在国际马拉松比赛过程中，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离.
核心考点5 圆与三角函数
（一）利用线段长求三角函数值
18.如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，弦CD 交OA于点E，DE＝4，CE＝5，求tan∠B的值.
19.(课本102页12题改)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，若BC＝，CD＝2，求tan∠ADO的值.
（二）利用线段关系求三角函数值
20.如图，CD、CB分别与⊙O相切于点D、B，AB为⊙O的直径，AE∥CD交BD于E，若AB＝AC，求sin∠BAE的值.
21.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，∠AEF＝90°，＝，△ECF的外接圆与AD相切，求tan∠DAF的值.
（三）利用三角形函数值求三角函数值
22.如图，⊙O中，＝，D为上一点，且＝，若cos∠BDC＝，求tan∠ADC的值.
23.如图，以△ABC的一边AB为直径的⊙O与AC、BC分别交于D、E，且DE＝BE，若cos∠C＝，求cos∠AED的值.
36.九年级（下）第28章《三角函数》专题卷A
核心考点归纳一点通
核心考点1 求锐角三角函数值
（一）根据锐角三角函数的定义求三角函数值
（1）△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，求sinA、cosA、tanA的值.
解：，，.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求sinA、cosB的值.
解：都为.
（二）根据线段关系求三角函数值
3.如图，在在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝5，CD＝6.5，求sinA的值.
解：.
（三）根据点的坐标求三角函数值
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A.
（1）求tan∠BOA的值.
（2）将△OAB平移得到△，点A的对应点是，点B的对应点的坐标为（2，－4），在坐标系中作出△，并直接写出、的坐标及sin∠OB的值.
解：（1）（2）图略，（－2，－6），（2，－6），sin∠OB＝
核心考点2 特殊角与三角函数值
（1） 特殊角的三角函数值的计算
5. 计算：sin60°＝；cos30°＝；tan45°＝1；
6.在△ABC中，∠B＝105°，∠C＝30°，则cosA＝
7.计算：tan30°·tan45°·tan60°＝1
8.计算（1）45°＋tan60°·cos30°；
解：2.
（2）＋tan30°
解：
（二）已知三角函数值求角度
9.若∠为锐角，且cos(－10°)＝，则∠的度数为70°
10.在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状.
解：∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，△ABC为直角三角形.
核心考点3 解直角三角形
11.根据下列条件，求出Rt△ABC（∠C＝90°）中未知的边和锐角.
（1）∠B＝45°，AC＝；
（2）BC＝8，∠B＝30°；
解：（1）∠A＝45°，BC＝，AB＝.
（2）AC＝，AB＝，∠A＝60°.
12．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinB＝，AC＝16，D为线段BC上一点，且CD＝4.
（1）求BD的长；
（2）求tan∠ADC的值.
解（1）BD＝8；（2）4.
13.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB＝10米，求旗杆BC的高度.
解：5米.
14.如图，△ABC中，∠B＝45°，cos∠C＝，AC＝5，求△ABC的面积.
解：.
核心考点4 三角函数的应用
15.如图，在A处建筑物CD的顶端D的仰角为，且tan＝，向前行进2米到达B处，从B处看D仰角为45°（图中各点均在同一平面内高度.，A、B、C三点在同一条直线上，DC⊥AC），求建筑物CD的高度.
解：8米.
16.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进60海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD.
解：30海里.
17.在国际马拉松比赛过程中，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离.
解：（200＋200）米
核心考点5 圆与三角函数
（1） 利用线段长求三角函数值
18.如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，弦CD 交OA于点E，DE＝4，CE＝5，求tan∠B的值.
解：连接CO，过D作DH⊥AB于H，
∴＝，
设DH＝4x，CO＝5x，则AB＝10x，
易证，
∴AH＝2x，BH＝8x，∴tan∠B＝＝＝.
19.(课本102页12题改)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，若BC＝，CD＝2，求tan∠ADO的值.
解：设AD交⊙O于E，易证AC平分∠BAD，BC＝CE＝，
∴DE＝1，设OC交BE于M，则CM＝1，BM＝EM＝CD＝2，
设OB＝R，在△OMB中，，R＝，
∴tan∠ADO＝tan∠DOC＝＝
（2） 利用线段关系求三角函数值
20.如图，CD、CB分别与⊙O相切于点D、B，AB为⊙O的直径，AE∥CD交BD于E，若AB＝AC，求sin∠BAE的值.
解：延长AE交⊙O于F，连接BF并延长交CD于G，
∵∠AFB＝90°，∴BG⊥CD，
易证△ABF≌△BCG，设CG＝BF＝x，
设AB＝BC＝CD＝1，则DG＝1－x，
连接OD，易证AF＝2DG＝2(1－x)＝2－2x，
在△ABF中有，，
解得，＝1（舍），
∴sin∠BAE＝＝.
21.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，∠AEF＝90°，＝，△ECF的外接圆与AD相切，求tan∠DAF的值.
解：过O作GH∥AB，分别交AD、BC于G、H，
∵∠AEF＝90°，∴△ABE∽△ECF，
∵＝，∴设BE＝3a，AB＝3b，
则CF＝4a，EC＝4b，OH＝2a。OG＝3b－2a，
易证，∴，化简得，
∴tan∠DAF＝＝＝
（三）利用三角形函数值求三角函数值
22.如图，⊙O中，＝，D为上一点，且＝，若cos∠BDC＝，求tan∠ADC的值.
解：连接AB交CD于E，连接OB交CD于F，易证OB⊥CD，
∵cos∠BDC＝＝，故设CF＝3，BC＝4，∴BF＝，
∵∠BEC＝∠BAC＋∠ACD，∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＋∠BCD，且∠BCD＝∠BAC，
∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝EC，∴CE＝4，∴EF＝CE－CF＝1，
∵BC＝EC，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BEC
∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝＝＝
23.如图，以△ABC的一边AB为直径的⊙O与AC、BC分别交于D、E，且DE＝BE，若cos∠C＝，求cos∠AED的值.
解：∵DE＝BE，∴＝，∴∠DAE＝∠BAE，∴AE⊥BC，∴AC＝AB，∴CE＝BE，
∵cosC＝＝，∴设CE＝BE＝3x，AC＝5x＝AB，∴AE＝4x，连接BD，则∠ADB＝90°，
AC·BD＝BC·AE，∴BD＝＝，cos∠AED＝cos∠ABD＝＝.
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