1.3第1课时 正方形的性质 课件(共29张PPT) 2023-2024学年度北师大版数学九年级上册

(共29张PPT)
第一章 特殊平行四边形
第1课时 正方形的性质
3 正方形的性质与判定
学习目标
学习目标
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算.
新课导入
壹
新课导入
活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
讲授新知
贰
讲授新知
观察下面几个图形，它们是矩形或者是菱形吗？
正方形也是特殊的平行四边形，观察这些正方形，你能说一说正方形的定义吗？
正方形
正方形
正方形
探究一：矩形怎样变化后就成了正方形呢
矩形
正方形
【做一做】拿一张矩形纸片，通过折叠得到一个正方形。
当矩形的邻边相等时就成了正方形。
探究二：菱形怎样变化后就成了正方形呢
菱形
正方形
【做一做】拿一个菱形框架，通过变形得到正方形。
当菱形有一个角是直角时就成了正方形。
知识点1 正方形的定义
什么样的平行四边形是正方形
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是矩形或者是菱形吗？
正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
正方形的性质探究和证明
猜想：（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等.
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形有4条对称轴.
该如何证明呢？
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°, AB=AD
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∠A=90°,
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形
∴AB= BC=CD=AD，
即∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,AB= BC=CD=AD.
求证：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理证明
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°,AB=AD ，对角线AC、BD相交于点O.
求证：AO=CO=BO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=DO，
又∵AB=AD ，
∴四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，
即AO=CO=BO=DO，AC⊥BD.
定理证明
正方形的性质 定理： 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理： 正方形的对角线相等且互相垂直平分
A
B
C
D
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，AC=BD
OA=OB=OC=OD
归纳总结：
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
A
B
D
C
F
E
A
B
D
F
E
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
C
M
1.如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O，
(1)求证：△DAF≌△ABE；
(2)求∠AOD的度数；
D
A
C
B
F
E
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC =90° .
又∵ AF=BE
∴ △DAF≌△ABE(SAS).
变式训练
证明：(2)∵ △DAF≌△ABE，
∴ ∠ADF=∠BAE，
∵ ∠DAB =90° .
∴ ∠ADF+ AFD= 90°，
∴ ∠BAE + AFD= 90°，
∴DF ⊥AE，
∴ ∠AOE= 90°.
D
A
C
B
F
E
O
2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°.
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°.
在△ADE和△ABF中，
AB=AD，∠ABF=∠ADE，BF=DE，
∴△ADE≌△ABF（SAS）.
(2)解：∵BC=8，∴AD=8.
在Rt△ADE中，∴AE = =10.
∵ △ADE≌△ABF,
∴AE=AF， ∠FAB= ∠EAD，
∠EAF= ∠FAB + ∠BAE = ∠EAD +∠BAE =90°.
∴S△AEF的面积= AE2= ×100=50.
当堂训练
叁
1.已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加
一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以
是(　　)
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
D
2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED为(　　)
A．15° B．35° C．45° D．55°
C
3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则
图中与∠AEB相等的角的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C
4.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.
求证：CE＝DF.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，
∴∠DOF＋∠COF＝90°.
∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF.
∴△COE≌△DOF(ASA)．
∴CE＝DF.
5.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
求证：△AEM≌△ANM；
∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM
＝∠DAN＋∠BAM＝45°.
∴∠MAE＝∠MAN.
又∵MA＝MA，AE＝AN，
∴△AEM≌△ANM(SAS)．
课堂小结
肆
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成第4题。
谢
谢