1.3 第2课时 正方形的判定 课件(共29张PPT) 2023-2024学年度北师大版数学九年级上册

(共29张PPT)
第一章 特殊平行四边形
第2课时 正方形的判定
3 正方形的性质与判定
学习目标
学习目标
1．掌握正方形的判定方法．
2．掌握四边形的中点四边形的形状.
3.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
新课导入
壹
新课导入
想一想：什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
温故知新
讲授新知
贰
讲授新知
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
想一想：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
如何判断一个图形是正方形呢？
归纳：正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形.
想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？
知识点1 正方形判定方法
（1）
（2）
（3）
（4）
菱形
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
该如何证明呢？
证明对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
正方形判定方法的证明
正方形判定方法的证明
证明对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥DB，AO=CO,BO=DO,
∵ AC=DB,
∴ AO=CO=BO=DO， ∴∠ADO=DAO=45°
∴ ∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
总结归纳
通过矩形判定正方形：
判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AB=AD，
所以四边形ABCD是正方形。
判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AC⊥BD，
所以四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
总结归纳
通过菱形判定正方形：
判定方法1：有一个角是直角的菱形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∠ABC=90°，
所以四边形ABCD是正方形。
判定方法2：对角线相等的菱形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
AC=BD，
所以四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
定理
正方形判定的两条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
菱形条件
(1)
(2)
一个直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；
45°
45°
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
变式训练：
已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC , DE⊥BC ,
∴∠DFC=∠DEC=90°.
又∠C=90°,
∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.
∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB.
∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF.
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
C
E
B
A
F
D
G
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
A
B
C
D
矩 形
正方形
任意四边形
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
平行四边形
菱 形
正方形
知识点2 中点四边形的探究
讲授新知
讲授新知
归纳总结：
特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形
◆矩形的中点四边形是菱形
◆菱形的中点四边形是矩形
◆正方形的中点四边形是正方形
◆等腰梯形的中点四边形是菱形
◆直角梯形的中点四边形是平行四边形
◆梯形的中点四边形是平行四边形
例2：已知：如图点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的中点. 求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵正方形ABCD
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵ E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点
∴ AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∠1=∠2=45°
1
2
∴ EF=FG=GH=EH
∴菱形EFGH
∵ ∠1=∠2=45°
∴ ∠EHG=180－∠1－∠2=90°
∴矩形EFGH
∴正方形EFGH
（既是菱形又是矩形的四边形是正方形）
范例应用
1
2
当堂训练
叁
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
D
C
3.如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE,CE,BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
B
4.如图所示，四边形EFGH是菱形，要使四边形EFGH是正方形，则下列结论正确的是（　　）
A．BD＝AC B．BD⊥AC C．∠HEF＝90° D．AB＝CD
C
5.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
B
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
课堂小结
肆
课堂小结
壹
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成第4题。
谢
谢