2.3 第1课时 公式法 课件(共28张PPT) 2023-2024学年度北师大版数学九年级上册

(共28张PPT)
第二章 一元二次方程
第1课时 公式法
3 用公式法求解一元二次方程
学习目标
学习目录
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.会用根的判别式b2- 4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．
新课导入
壹
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗
复习引入
讲授新知
贰
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
想一想：
解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .
配方，得 x2 + x +（ ）2 -（ ）2 - = 0,
移项，得 （x + ）2 =
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
（x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根).
当 b2– 4ac ≥ 0 时,左右两边都是非负数.可以开方,得 x + =
x =
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时，
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.
归纳
归纳总结：
知识点1　公式法解一元二次方程
例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解：∵a=5,b=-4,c=-12，
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
例2 解方程：
化简为一般式：
解：
即 ：
这里的a、b、c的值是什么？
公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
变式训练：解方程
（1）x2 - 7x –18 = 0.
解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
∴
即 x1 = 9 x2 = -2.
范例应用
（2）4x2 + 1 = 4x
解：将原方程化为一般形式,得
4x2 -4x + 1 = 0 .
这里a = 4 , b = -4, c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 ,
∴
即 x1 = x2 =
范例应用
（3）4x2-3x+2=0
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
解：
想一想：你能说出公式法解一元二次方程的步骤吗？
范例应用
知识点2　一元二次方程根的判别式
问题：对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
例3 不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0;
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 ,
∴有两个不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 ,
∴无的实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0,
∴有两个相等的实数根.
当堂训练
叁
1.已知一元二次方程3x2+7x=3，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为3x2+7x-3=0.∵b2-4ac=49-4×3×（-3）=85＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
B
2.已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+2-m=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A.-2 B.1 C.1或0 D.1或-2
3.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________.
m≤1
解：(1)化为一般式
(2)解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
(2)去括号 ，得:x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式:3x2 - 7x + 8 = 0,
这里a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8
= 49–96 = - 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
5.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.
解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.
所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.
所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.
这里a=5,b=-8,c=1，
6.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)当方程有一个根为5时，求k的值.
证明：(1)Δ=b2-4ac=［-（2k+1）］2-4（k2+k）
=4k2+4k+1-4k2-4k=1＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵方程有一个根为5，
∴52-5(2k+1)+k2+k=0，即k2-9k+20=0.
解得k1=4，k2=5.
课堂小结
肆
课堂小结
壹
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3,4题。
谢
谢