2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共25张PPT) 2023-2024学年度北师大版数学九年级上册

(共25张PPT)
第二章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
学习目标
1.了解一元二次方程根与系数的关系；
2.利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题；
3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想.
新课导入
壹
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
温故知新
讲授新知
贰
探索根与系数的关系
1.解下列方程：
(1) x2-2x+1=0;
(3) 2x2 - 3x + 1 = 0
因式分解
配方法
公式法
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2
x2 - 2x + 1 = 0
2x2 - 3x + 1 = 0
1
1
2
-1
-1
1
两根之和、两根之积与一元二次方程的系数有关系吗？
你发现的关系对任何一个一元二次方程都成立吗？
我们知道对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）来说，
当b2-4ac≥0时，方程的两个根为：
下面我们来计算方程的两根之和与两根之积.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）当b2－4ac≥0时有两个根：
讲授新知
总结归纳:
一般的，一元二次方程的根与系数有如下关系：
如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个实数根x1，x2，那么
x1+x2= ，x1·x2=
【注意】能用这个结论的前提为b2－4ac≥0
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0 （2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：已知a=1 , b=7 , c=6.
Δ= b2 -4ac=72 -4×1×6
=25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2，那么x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
解：已知a=2,b=-3,c =-2.
Δ=b2 -4ac=(-3)2 - 4×2×(-2)
=25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2,
那么x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
不解方程，求下列方程的两个根x1，x2的和与积：
（1）x2－2x＝5；　　　　（2）3x2＋2x＝2(x＋1)．
解：原方程变形为
x2－2x－5＝0，
x1＋x2＝2，
x1x2＝－5.
解：原方程变形为
3x2－2＝0，
x1＋x2＝0，
x1x2＝ .
变式训练
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，
其中x1=2 .
∴ x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=-7.
答：方程的另一个根是 ，k=-7.
已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系你能求出两根差的平方(x1- x2)2及两根的平方和x12+x22的值吗？它们分别等于多少？
拓展延伸

总结常见的求值:
(2) (x1-x2)2
(3) (x1+1)(x2+1)
=x1x2+(x1+x2 )+1
= (x1+x2 )2-4x1x2
(1) x12 + x22
= (x1+x2 )2-2x1x2
已知x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根，
(1)求x12+x22的值
(2)求(x1-x2)2的值
解： 由题意，得
x1 + x2= 4 ，x1·x2=1
∴ x12+x22 = (x1+x2 )2- 2 x1x2 = 16 - 2×1 =14
∴ (x1-x2)2 = (x1+x2 )2-4x1x2 = 16 - 4×1 =12
变式训练
当堂训练
叁
1.若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是( )
A. -10 B. 10 C. -16 D. 16
A
2. 已知x1，x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，则ba的值是（ ）
A. 1/4 B. -1/4 C. 4 D. -1
A
3.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.
解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1.
Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0
∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 .
3.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（2）2x2 - 4x + 1 = 0.
解： (2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1.
Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0
∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .
4.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
∴x1 =
5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
（2）
课堂小结
肆
课堂小结
壹
根与系数的关系
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第4题。
谢
谢