第十五章 分式本章综合题（含解析）
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第十五章 分式本章综合题
一、单选题
1．若a＝－0.22，b＝－2－2，c＝(－ )－2，d＝(－ )0，则它们的大小关系是 （ ）
A．a2．下列运算正确的是（ ）
A． =±2 B． =﹣16
C．x6÷x3=x2 D．（2x2）3=8x6
3．若 ，那么a、b、c三数的大小为（ ）．
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（ab）3=a3b B．
C．a6÷a2=a3 D．（a+b）2=a2+b2
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x>﹣5
6．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
8．分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．分式有意义，x可取（ ）
A． B．1 C． D．2
10．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
11．若关于x的方程 ﹣=8有增根，那么k的值为（ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．7
12．若x=3是分式方程 的根，则a的值是（ ）.
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
13．为了维修某高速公路需开凿一条长为 米的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿 米，且甲工程队开凿 米所用的天数与乙工程队开凿 米所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿（ ）
A． 米、 米 B． 米， 米
C． 米， 米 D． 米， 米
二、填空题
14．若分式方程 有增根，则这个增根是 .
15．计算： = ．
三、计算题
16．解方程：．
17．先化简，再求值：（x﹣4+ ）÷（ ﹣1），其中x=2﹣ ．
四、解答题
18．小李将单价为m元/千克的茶叶a千克和单价为n元/千克的茶叶b千克混合，按 的价格（平均价）出售，若m=60，a=25，n=30，b=35时，混合茶叶出售的平均价是多少？
19．关于x的方程有且只有一个实数解，求k.
五、综合题
20．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用50天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前18天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
六、实践探究题
21．阅读材料：
关于x的方程：
x+ 的解为：x1=c，x2=
x﹣ （可变形为x+ ）的解为：x1=c，x2=
x+ 的解为：x1=c，x2=
x+ 的解为：x1=c，x2=
…
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程x+ 的解为 ；
②方程x﹣1+ =2+ 的解为 .
（2）解关于x方程：x﹣ （a≠2）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】计算可得a=-0.22=-0.04，b=-2-2= ，c=(- )-2=4，d=(- )0=1，由 ＜-0.04＜1＜4，可得b＜a＜d＜ c．故答案为：B．
【分析】首先将各式化简得：a=-0.22=-0.04，b=-2-2= ，c=(- )-2=4，d=(- )0=1，再根据有理数大小的比较方法比较即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、原式=2，故本选项错误；
B、原式=16，故本选项错误；
C、原式=x3，故本选项错误；
D、原式=8x6，故本选项正确；
故选：D．
【分析】通过化简二次根式，计算负整数指数幂以及同底数幂的除法等计算法则进行解答．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：a=0.32=0.09，b= -3-2= ，c=（-3）0=1，
∴c＞a＞b，
故答案为：B．
【分析】先求出a，b和c的值，再比较大小即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、（ab）3=a3b3，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、a6÷a2=a4，故此选项错误；
D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算可判断A选项；将分子利用添括号法则变形，再约分化简，据此计算可判断B选项；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断D选项.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：x+5≠0，
∴x≠-5；
故答案为：A.
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：，
原式=，
=，
=.
故答案为：C.
【分析】利用分式的减法计算方法计算即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：B．
【分析】利用分式的减法计算方法求解即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件，即可得到答案.
9．【答案】A
10．【答案】D
【解析】【解答】乙队用的天数为：，甲队用的天数为：．
则所列方程为：＝．
故选：D．
【分析】关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，那么等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．
11．【答案】B
【解析】【解答】解：方程变形得：=8，
去分母得：x﹣8+k=8（x﹣7），
由分式方程有增根，得到x﹣7=0，即x=7，
把x=7代入整式方程得：k=1，
故选B．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
12．【答案】A
【解析】【分析】首先根据题意，把x=3代入分式方程 ，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值是多少即可．
【解答】∵x=3是分式方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴a﹣2=3，
∴a=5，
即a的值是5．
故选：A．
13．【答案】B
【解析】【解答】设乙工程队每天能开凿 米，那么甲工程队每天能开凿 米，依题意得
，
解得： ，
经检验，x=20是原方程的根，
所以，x+10=20+10=30，
所以乙工程队每天能开凿20米，甲工程队每天能开凿30米．
故答案为：B．
【分析】抓住关键已知条件：甲工程队比乙工程队每天能多开凿10米，且甲工程队开凿300米所用的天数与乙工程队开凿200米所用的天数相同，再设未知数，列方程求出方程的解即可.
14．【答案】x=1
【解析】【解答】解：根据分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，
则方程的增根为x=1.
故答案为：x=1.
【分析】根据分式方程有增根，则分母=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到方程的增根。
15．【答案】
【解析】【解答】解：原式= ．
故答案为： ．
【分析】直接利用乘方的定义求出答案．
16．【答案】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴原方程的解为．
【解析】【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，再移相合并同类项求出x的值，最后经检验得到方程解.
17．【答案】解：原式= ÷
=
=2﹣x，
当x=2﹣ 时，原式=2﹣（2﹣ ）=
【解析】【分析】先将括号内通分，然后因式分解，再约分．
18．【答案】解：由题意，得
= =42.5（元/千克）．
答：混合茶叶出售的平均价是42.5元/千克
【解析】【分析】把m=60，a=25，n=30，b=35代入 即可求值．
19．【答案】解：当k=0时，方程变形为，整理，得4x+1=0，
方程只有一个实数解，符合题意，
当k≠0时，方程两边用时乘以x(x-1)，
整理，得，
当k=4时，方程变形为3x+1=0，
方程只有一个实数解，符合题意，
当k≠4时，方程只有一个实数根，
所以，
解得k=，
综上所述，当方程只有一个实数解，符合题意的k值为4或或0．
【解析】【分析】分类讨论，根据关于x的方程有且只有一个实数解，计算求解即可。
20．【答案】（1）解：设二号施工队单独施工需要x天，根据题意得
解得：x=75
经检验，x=75是原方程的解
答：由二号施工队单独施工，完成整个工期需要75天.
（2）解：设此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要y天,根据题意得
，
解得y=30（天）
经检验y=30是原方程的根，
∴此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要30天.
【解析】【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据一号施工队完成的工作量＋二号施工队完成的工作量＝总工程（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出结论.
21．【答案】（1）；
（2）解：两边同时减2变形为x﹣2﹣ =a﹣2﹣ ，
解得：x﹣2=a﹣2，x﹣2=
即x1=a，
【解析】【解答】（1）解：①方程x+
的解为：
；
②根据题意得；x﹣1=2，x﹣1=
，
解得：
故答案为：① ；② .
【分析】（1） ① 根据题目中所给的材料可知，x+
=c+
的解为x1=c，x2=
，所以当即可仿照题意得到x+
=2+
的两个解。 ② 根据材料即可得出两根，不过此时，根据材料可得原方程为x-1=2，
=
，继续求解x的值即可。
（2）根据材料内容，对方程进行化简，需要使得方程符合材料规定的形式，根据等式的基本性质，将式子两边同时减2，根据材料规定的方法求解即可。
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第十五章 分式本章综合题
一、单选题
1．若a＝－0.22，b＝－2－2，c＝(－ )－2，d＝(－ )0，则它们的大小关系是 （ ）
A．a
A． =±2 B． =﹣16
C．x6÷x3=x2 D．（2x2）3=8x6
3．若 ，那么a、b、c三数的大小为（ ）．
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（ab）3=a3b B．
C．a6÷a2=a3 D．（a+b）2=a2+b2
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x>﹣5
6．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
8．分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．分式有意义，x可取（ ）
A． B．1 C． D．2
10．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
11．若关于x的方程 ﹣=8有增根，那么k的值为（ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．7
12．若x=3是分式方程 的根，则a的值是（ ）.
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
13．为了维修某高速公路需开凿一条长为 米的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿 米，且甲工程队开凿 米所用的天数与乙工程队开凿 米所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿（ ）
A． 米、 米 B． 米， 米
C． 米， 米 D． 米， 米
二、填空题
14．若分式方程 有增根，则这个增根是 .
15．计算： = ．
三、计算题
16．解方程：．
17．先化简，再求值：（x﹣4+ ）÷（ ﹣1），其中x=2﹣ ．
四、解答题
18．小李将单价为m元/千克的茶叶a千克和单价为n元/千克的茶叶b千克混合，按 的价格（平均价）出售，若m=60，a=25，n=30，b=35时，混合茶叶出售的平均价是多少？
19．关于x的方程有且只有一个实数解，求k.
五、综合题
20．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用50天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前18天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
六、实践探究题
21．阅读材料：
关于x的方程：
x+ 的解为：x1=c，x2=
x﹣ （可变形为x+ ）的解为：x1=c，x2=
x+ 的解为：x1=c，x2=
x+ 的解为：x1=c，x2=
…
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程x+ 的解为 ；
②方程x﹣1+ =2+ 的解为 .
（2）解关于x方程：x﹣ （a≠2）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】计算可得a=-0.22=-0.04，b=-2-2= ，c=(- )-2=4，d=(- )0=1，由 ＜-0.04＜1＜4，可得b＜a＜d＜ c．故答案为：B．
【分析】首先将各式化简得：a=-0.22=-0.04，b=-2-2= ，c=(- )-2=4，d=(- )0=1，再根据有理数大小的比较方法比较即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、原式=2，故本选项错误；
B、原式=16，故本选项错误；
C、原式=x3，故本选项错误；
D、原式=8x6，故本选项正确；
故选：D．
【分析】通过化简二次根式，计算负整数指数幂以及同底数幂的除法等计算法则进行解答．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：a=0.32=0.09，b= -3-2= ，c=（-3）0=1，
∴c＞a＞b，
故答案为：B．
【分析】先求出a，b和c的值，再比较大小即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、（ab）3=a3b3，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、a6÷a2=a4，故此选项错误；
D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算可判断A选项；将分子利用添括号法则变形，再约分化简，据此计算可判断B选项；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断D选项.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：x+5≠0，
∴x≠-5；
故答案为：A.
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：，
原式=，
=，
=.
故答案为：C.
【分析】利用分式的减法计算方法计算即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：B．
【分析】利用分式的减法计算方法求解即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件，即可得到答案.
9．【答案】A
10．【答案】D
【解析】【解答】乙队用的天数为：，甲队用的天数为：．
则所列方程为：＝．
故选：D．
【分析】关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，那么等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．
11．【答案】B
【解析】【解答】解：方程变形得：=8，
去分母得：x﹣8+k=8（x﹣7），
由分式方程有增根，得到x﹣7=0，即x=7，
把x=7代入整式方程得：k=1，
故选B．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
12．【答案】A
【解析】【分析】首先根据题意，把x=3代入分式方程 ，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值是多少即可．
【解答】∵x=3是分式方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴a﹣2=3，
∴a=5，
即a的值是5．
故选：A．
13．【答案】B
【解析】【解答】设乙工程队每天能开凿 米，那么甲工程队每天能开凿 米，依题意得
，
解得： ，
经检验，x=20是原方程的根，
所以，x+10=20+10=30，
所以乙工程队每天能开凿20米，甲工程队每天能开凿30米．
故答案为：B．
【分析】抓住关键已知条件：甲工程队比乙工程队每天能多开凿10米，且甲工程队开凿300米所用的天数与乙工程队开凿200米所用的天数相同，再设未知数，列方程求出方程的解即可.
14．【答案】x=1
【解析】【解答】解：根据分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，
则方程的增根为x=1.
故答案为：x=1.
【分析】根据分式方程有增根，则分母=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到方程的增根。
15．【答案】
【解析】【解答】解：原式= ．
故答案为： ．
【分析】直接利用乘方的定义求出答案．
16．【答案】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴原方程的解为．
【解析】【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，再移相合并同类项求出x的值，最后经检验得到方程解.
17．【答案】解：原式= ÷
=
=2﹣x，
当x=2﹣ 时，原式=2﹣（2﹣ ）=
【解析】【分析】先将括号内通分，然后因式分解，再约分．
18．【答案】解：由题意，得
= =42.5（元/千克）．
答：混合茶叶出售的平均价是42.5元/千克
【解析】【分析】把m=60，a=25，n=30，b=35代入 即可求值．
19．【答案】解：当k=0时，方程变形为，整理，得4x+1=0，
方程只有一个实数解，符合题意，
当k≠0时，方程两边用时乘以x(x-1)，
整理，得，
当k=4时，方程变形为3x+1=0，
方程只有一个实数解，符合题意，
当k≠4时，方程只有一个实数根，
所以，
解得k=，
综上所述，当方程只有一个实数解，符合题意的k值为4或或0．
【解析】【分析】分类讨论，根据关于x的方程有且只有一个实数解，计算求解即可。
20．【答案】（1）解：设二号施工队单独施工需要x天，根据题意得
解得：x=75
经检验，x=75是原方程的解
答：由二号施工队单独施工，完成整个工期需要75天.
（2）解：设此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要y天,根据题意得
，
解得y=30（天）
经检验y=30是原方程的根，
∴此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要30天.
【解析】【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据一号施工队完成的工作量＋二号施工队完成的工作量＝总工程（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出结论.
21．【答案】（1）；
（2）解：两边同时减2变形为x﹣2﹣ =a﹣2﹣ ，
解得：x﹣2=a﹣2，x﹣2=
即x1=a，
【解析】【解答】（1）解：①方程x+
的解为：
；
②根据题意得；x﹣1=2，x﹣1=
，
解得：
故答案为：① ；② .
【分析】（1） ① 根据题目中所给的材料可知，x+
=c+
的解为x1=c，x2=
，所以当即可仿照题意得到x+
=2+
的两个解。 ② 根据材料即可得出两根，不过此时，根据材料可得原方程为x-1=2，
=
，继续求解x的值即可。
（2）根据材料内容，对方程进行化简，需要使得方程符合材料规定的形式，根据等式的基本性质，将式子两边同时减2，根据材料规定的方法求解即可。
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