26.1.2 反比例函数的图象和性质一课一练（含解析）
文档属性
| 名称 | 26.1.2 反比例函数的图象和性质一课一练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-05 22:58:45 | ||
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文档简介
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26.1.2 反比例函数的图象和性质一课一练
一、单选题
1．以下各点在反比例函数y=图象上的是（ ）
A．（5，1） B．（1，5） C．（5，-1） D．
2．如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（ ）
A．y=3x B．y=﹣3x C． D．
4．反比例函数图象上的两点为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
5．如图，△ABC和△DEF的各顶点分别在双曲线y= ，y= ，y= 在第一象限的图象上，若∠C=∠F=90°，AC∥DF∥x轴，BC∥EF∥y轴，则S△ABC﹣S△DEF=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．矩形面积为 ，长为 ，那么这个矩形的宽 与长 的函数关系为 ．
7．点P在反比例函数 (k≠0)的图象上，点Q（2,4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的表达式为 .
8．如图，点 在反比例函数图象 上，以 为直径的圆交该双曲线于点 ，交 轴于点 ，若 ，则该圆的直径长是 .
三、解答题
9．如图，P1是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上一点，点A1的坐标为（1，0）．
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为直角三角形，其中∠P1OA1=P2A1A2=60°，求此反比例函数的解析式及点A2的坐标．
四、作图题
10．重庆八中某数学兴趣小组同学探究函数 的图象与性质，根据学习函数的经验，该小组进行了系列探究.
下表给出了自变量 与函数 的一些对应值：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 3 4 1 …
（1）补全表格： ， ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，补全函数的图象并写出该函数的一条性质： ；
（3）若函数 ，直接写出不等式 的解集.
五、综合题
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图象上，点D的坐标为 .
（1）求k的值.
（2）设点M在反比例函数图象上，连接 ， ，若 的面积是菱形 面积的 ，求点M的坐标.
六、实践探究题
12．阅读材料：
对于两个正数a、b，则 （当且仅当a＝b时取等号）.
当 为定值时， 有最小值；当 为定值时， 有最大值.
例如：已知 ，若 ，求 的最小值.
解：由 ≥ ，得 ≥ ，当且仅当 即 时， 有最小值，最小值为 .
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知 ，若 ，则当 时， 有最小值，最小值为 ；
（2）已知 ，若 ，则 取何值时， 有最小值，最小值是多少？
（3）用长为 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】A、∵=-1≠1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵=-5≠5，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵=-1，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、∵=-25≠1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
2．【答案】B
【解析】【解答】反比例函数 ，当 时，图像分布在第一、三象限；当 时，图像分布在第二、四象限；所以选B；
【分析】此题考查反比例函数图象的性质；
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；
C、y= ，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；
D、y=﹣ ，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
故答案为：B．
【分析】对于正比例函数y=kx中k0，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大，k0时，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小；对于反比例函数k0，图像两支位于一、三象限，每一支上y随x的增大而减小，k0时，图像的两支位于二、四象限，每一支上y随x的增大而增大。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴（x1，y1）、（x2，y2）两点均位于第二象限，
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质求解即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：设点C（a， ），点F（b， ），则点A（ ， ）、B（a， ）、D（ ， ）、E（b， ），
∴AC= ，BC= ，DF= ，EF= ，
∴S△ABC﹣S△DEF= AC BC﹣ DF EF= ﹣ = ．
故选A．
【分析】设点C（a， ），点F（b， ），由AC∥DF∥x轴、BC∥EF∥y轴利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B、D、E的坐标，从而得出AC、BC、DF、EF的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S△ABC﹣S△DEF的值．
6．【答案】y=
【解析】【解答】有题意得：矩形的宽y（cm）与长x（cm）的函数关系为y= .
故答案为： .
【分析】由矩形面积xy=6可得函数解析式.
7．【答案】y=-
【解析】【解答】解：设点P（x,y），∵ 点P与点Q（2,4）关于y轴对称，则P（-2，4），
∴ k=xy=-2×4=-8.∴ y=- .
【分析】根据关于y轴对称的点，其横坐标互为相反数，纵坐标相同得出P点的坐标，然后将P点的坐标代入 反比例函数 即可算出k的值，从而求出反比例函数的解析式。
8．【答案】
【解析】【解答】解：连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：
∵OA是圆的直径
∴∠ABO=∠ACO=90°
∴
∴
∵
∴OC=OB
∵CD⊥y轴于点D
∴BD=OD
设点A的坐标为 ，则 ，
∵CD⊥y轴于点D，且点C在 的图象上，
∴点C的坐标为
∴
化简，得
解得 或 （舍去）
则A的坐标为
∴
故答案为： .
【分析】连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，由圆周角定理可得∠ABO=∠ACO=90°，根据勾股定理可得OC2+AC2=AB2+OB2，根据可得OC=OB，推出BD=OD，设A（m，），则B（0，），D（0，），C（2m，），然后根据OC2+AC2=AB2+OB2可求出m的值，得到点A的坐标，进而可求出OA的长.
9．【答案】解：（1）过P1作P1C⊥OA1，垂足为C，设P1（a，b），∵P1在第一象限，∴△P1OA1的面积=×0A1×b=b．又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．故当点P1的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则△P1OA1的面积将逐渐减小．（2）因为△P1OA1是直角三角形，所以OA1=1，P1A1=，所以P1（1，）．代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=．∵△P2A1A2为直角三角形，∠P2A1A2=60°，∴P2A2⊥x轴，设A1A2=a，则OA2=1+a，P2A2=a，所以P2（1+a，a）．∵P2（1+a，a）在反比例函数的图象上，∴代入y=，得（1+a） a=，化简得a2+2a﹣1=0解得：a=∵a＞0，∴a=∴A1A2=∴OA2=OA1+A1A2=所以点A2的坐标为（，0）．
【解析】【分析】（1）设P1（a，b），根据反比例函数的图象性质，可知y随x的增大而减小．又△P1OA1的面积=×0A1×b=b．故当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将逐渐减小；
（2）因为△P1OA1是直角三角形，所以OA1=1，P1A1=，所以P1（1，）．代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=，由于△P2A1A2为直角三角形，∠2A1A2=60°，设A1A2=a，则OA2=1+a，P2A2=a，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
10．【答案】（1）2；
（2）当 时，函数取得最大值4（或当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，答案不唯一）
（3）解：如图，作出 的图象，
令 ，解得 ，
令 ，解得 或2，
则 与 交点横坐标分别为-2，0，2，
由图像可得不等式 的解集为 或
【解析】【解答】解：（1）∵0和1都大于-1
∴将 和 分别代入 得
， ，
故答案为：2， ；
（ 2 ）如图所示：
性质：当 时，函数取得最大值4，
或当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小.（答案不唯一）
【分析】（1）将 和 代入 即可求出 和 的值；（2）根据表格数据，描点作图即可，从函数最值，增减性方面写出一条性质即可；（3）作出 的图象，并求出 与 的交点横坐标，结合图象即可得出答案.
11．【答案】（1）解：如图，延长AD交x轴于E，
∵菱形 的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
∴AE//OB，AD=OD，
∴AE⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OE=4，DE=3，
∴OD= =5，
∴AE=AD+DE=8，
∴点A坐标为（4，8），
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴8= ，
解得：k=32.
（2）解：∵OD=AD=5，OE=4，
∴S菱形ABCD=AD·OE=20，
∵k=32，点M在反比例函数图象上，
∴设M（a， ），
∵ 的面积是菱形 面积的 ，
∴S△MAD= AD· =20× ，即 =2，
解得：a=2或a=6，
∴点M坐标为（2，16）或（6， ）.
【解析】【分析】（1）延长AD交x轴于E，利用菱形的性质可证得AE∥OB，AD=OD，由此可证得AE⊥x轴，利用勾股定理求出OD的长，从而可求出AE的长 ，即可得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式，可求出k的值；
（2）利用菱形的面积公式求出菱形ABCD的面积，根据点M在反比例函数图象上，设M（a， ），根据△MAD的面积是菱形ABCD面积的 ， 由此建立关于a的方程解方程求出a的值，即可得到点M的坐标.
12．【答案】（1）；12
（2）解：
由 得
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为9
答： 时， 有最小值，最小值是9
（3）解：设这个长方形花园的长为 ，则宽为
则所围的长方形花园面积为
由题意得： ，即
由 得 ，即
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，最大值为
则当 ， 时， 有最大值，最大值为625
答：当长方形花园的长、宽均为 时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是
【解析】【解答】（1）由 得
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为12
故答案为： ，12；
【分析】（1）根据 化简求值即可得；
（2）先将y变形为 ，再根据 化简求值即可；
（3）设这个长方形花园的长为xm，则宽为 ，再根据长方形的面积公式可得 ，接下来利用 化简求值即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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26.1.2 反比例函数的图象和性质一课一练
一、单选题
1．以下各点在反比例函数y=图象上的是（ ）
A．（5，1） B．（1，5） C．（5，-1） D．
2．如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（ ）
A．y=3x B．y=﹣3x C． D．
4．反比例函数图象上的两点为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
5．如图，△ABC和△DEF的各顶点分别在双曲线y= ，y= ，y= 在第一象限的图象上，若∠C=∠F=90°，AC∥DF∥x轴，BC∥EF∥y轴，则S△ABC﹣S△DEF=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．矩形面积为 ，长为 ，那么这个矩形的宽 与长 的函数关系为 ．
7．点P在反比例函数 (k≠0)的图象上，点Q（2,4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的表达式为 .
8．如图，点 在反比例函数图象 上，以 为直径的圆交该双曲线于点 ，交 轴于点 ，若 ，则该圆的直径长是 .
三、解答题
9．如图，P1是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上一点，点A1的坐标为（1，0）．
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为直角三角形，其中∠P1OA1=P2A1A2=60°，求此反比例函数的解析式及点A2的坐标．
四、作图题
10．重庆八中某数学兴趣小组同学探究函数 的图象与性质，根据学习函数的经验，该小组进行了系列探究.
下表给出了自变量 与函数 的一些对应值：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 3 4 1 …
（1）补全表格： ， ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，补全函数的图象并写出该函数的一条性质： ；
（3）若函数 ，直接写出不等式 的解集.
五、综合题
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图象上，点D的坐标为 .
（1）求k的值.
（2）设点M在反比例函数图象上，连接 ， ，若 的面积是菱形 面积的 ，求点M的坐标.
六、实践探究题
12．阅读材料：
对于两个正数a、b，则 （当且仅当a＝b时取等号）.
当 为定值时， 有最小值；当 为定值时， 有最大值.
例如：已知 ，若 ，求 的最小值.
解：由 ≥ ，得 ≥ ，当且仅当 即 时， 有最小值，最小值为 .
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知 ，若 ，则当 时， 有最小值，最小值为 ；
（2）已知 ，若 ，则 取何值时， 有最小值，最小值是多少？
（3）用长为 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】A、∵=-1≠1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵=-5≠5，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵=-1，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、∵=-25≠1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
2．【答案】B
【解析】【解答】反比例函数 ，当 时，图像分布在第一、三象限；当 时，图像分布在第二、四象限；所以选B；
【分析】此题考查反比例函数图象的性质；
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；
C、y= ，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；
D、y=﹣ ，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
故答案为：B．
【分析】对于正比例函数y=kx中k0，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大，k0时，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小；对于反比例函数k0，图像两支位于一、三象限，每一支上y随x的增大而减小，k0时，图像的两支位于二、四象限，每一支上y随x的增大而增大。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴（x1，y1）、（x2，y2）两点均位于第二象限，
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质求解即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：设点C（a， ），点F（b， ），则点A（ ， ）、B（a， ）、D（ ， ）、E（b， ），
∴AC= ，BC= ，DF= ，EF= ，
∴S△ABC﹣S△DEF= AC BC﹣ DF EF= ﹣ = ．
故选A．
【分析】设点C（a， ），点F（b， ），由AC∥DF∥x轴、BC∥EF∥y轴利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B、D、E的坐标，从而得出AC、BC、DF、EF的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S△ABC﹣S△DEF的值．
6．【答案】y=
【解析】【解答】有题意得：矩形的宽y（cm）与长x（cm）的函数关系为y= .
故答案为： .
【分析】由矩形面积xy=6可得函数解析式.
7．【答案】y=-
【解析】【解答】解：设点P（x,y），∵ 点P与点Q（2,4）关于y轴对称，则P（-2，4），
∴ k=xy=-2×4=-8.∴ y=- .
【分析】根据关于y轴对称的点，其横坐标互为相反数，纵坐标相同得出P点的坐标，然后将P点的坐标代入 反比例函数 即可算出k的值，从而求出反比例函数的解析式。
8．【答案】
【解析】【解答】解：连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：
∵OA是圆的直径
∴∠ABO=∠ACO=90°
∴
∴
∵
∴OC=OB
∵CD⊥y轴于点D
∴BD=OD
设点A的坐标为 ，则 ，
∵CD⊥y轴于点D，且点C在 的图象上，
∴点C的坐标为
∴
化简，得
解得 或 （舍去）
则A的坐标为
∴
故答案为： .
【分析】连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，由圆周角定理可得∠ABO=∠ACO=90°，根据勾股定理可得OC2+AC2=AB2+OB2，根据可得OC=OB，推出BD=OD，设A（m，），则B（0，），D（0，），C（2m，），然后根据OC2+AC2=AB2+OB2可求出m的值，得到点A的坐标，进而可求出OA的长.
9．【答案】解：（1）过P1作P1C⊥OA1，垂足为C，设P1（a，b），∵P1在第一象限，∴△P1OA1的面积=×0A1×b=b．又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．故当点P1的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则△P1OA1的面积将逐渐减小．（2）因为△P1OA1是直角三角形，所以OA1=1，P1A1=，所以P1（1，）．代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=．∵△P2A1A2为直角三角形，∠P2A1A2=60°，∴P2A2⊥x轴，设A1A2=a，则OA2=1+a，P2A2=a，所以P2（1+a，a）．∵P2（1+a，a）在反比例函数的图象上，∴代入y=，得（1+a） a=，化简得a2+2a﹣1=0解得：a=∵a＞0，∴a=∴A1A2=∴OA2=OA1+A1A2=所以点A2的坐标为（，0）．
【解析】【分析】（1）设P1（a，b），根据反比例函数的图象性质，可知y随x的增大而减小．又△P1OA1的面积=×0A1×b=b．故当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将逐渐减小；
（2）因为△P1OA1是直角三角形，所以OA1=1，P1A1=，所以P1（1，）．代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=，由于△P2A1A2为直角三角形，∠2A1A2=60°，设A1A2=a，则OA2=1+a，P2A2=a，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
10．【答案】（1）2；
（2）当 时，函数取得最大值4（或当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，答案不唯一）
（3）解：如图，作出 的图象，
令 ，解得 ，
令 ，解得 或2，
则 与 交点横坐标分别为-2，0，2，
由图像可得不等式 的解集为 或
【解析】【解答】解：（1）∵0和1都大于-1
∴将 和 分别代入 得
， ，
故答案为：2， ；
（ 2 ）如图所示：
性质：当 时，函数取得最大值4，
或当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小.（答案不唯一）
【分析】（1）将 和 代入 即可求出 和 的值；（2）根据表格数据，描点作图即可，从函数最值，增减性方面写出一条性质即可；（3）作出 的图象，并求出 与 的交点横坐标，结合图象即可得出答案.
11．【答案】（1）解：如图，延长AD交x轴于E，
∵菱形 的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
∴AE//OB，AD=OD，
∴AE⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OE=4，DE=3，
∴OD= =5，
∴AE=AD+DE=8，
∴点A坐标为（4，8），
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴8= ，
解得：k=32.
（2）解：∵OD=AD=5，OE=4，
∴S菱形ABCD=AD·OE=20，
∵k=32，点M在反比例函数图象上，
∴设M（a， ），
∵ 的面积是菱形 面积的 ，
∴S△MAD= AD· =20× ，即 =2，
解得：a=2或a=6，
∴点M坐标为（2，16）或（6， ）.
【解析】【分析】（1）延长AD交x轴于E，利用菱形的性质可证得AE∥OB，AD=OD，由此可证得AE⊥x轴，利用勾股定理求出OD的长，从而可求出AE的长 ，即可得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式，可求出k的值；
（2）利用菱形的面积公式求出菱形ABCD的面积，根据点M在反比例函数图象上，设M（a， ），根据△MAD的面积是菱形ABCD面积的 ， 由此建立关于a的方程解方程求出a的值，即可得到点M的坐标.
12．【答案】（1）；12
（2）解：
由 得
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为9
答： 时， 有最小值，最小值是9
（3）解：设这个长方形花园的长为 ，则宽为
则所围的长方形花园面积为
由题意得： ，即
由 得 ，即
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，最大值为
则当 ， 时， 有最大值，最大值为625
答：当长方形花园的长、宽均为 时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是
【解析】【解答】（1）由 得
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为12
故答案为： ，12；
【分析】（1）根据 化简求值即可得；
（2）先将y变形为 ，再根据 化简求值即可；
（3）设这个长方形花园的长为xm，则宽为 ，再根据长方形的面积公式可得 ，接下来利用 化简求值即可.
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