2007年高考“平面向量”题
1.(全国Ⅰ) 已知向量,,则与( )
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
解:已知向量,,,则与垂直,选A。
2.(全国II) 在中,已知是边上一点,若,则( )
A. B. C. D.
解:在?ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=,则
?,∴??=,选A。
设为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若,则( )
A.9 B.6 C.4 D.3
解:设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若=0,
则F为△ABC的重心,∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍,
即等于3, ∴ |FA|+|FB|+|FC|=,选B。
3.(北京卷)已知是所在平面内一点,为边中点,且,
那么( )
A. B.
C. D.
解:是所在平面内一点,为边中点,∴ ,
且,∴ ,即,选A.
在中,若,,,则 .
解:在中,若,,∴ A 为锐角,,
,则根据正弦定理=。
4.(天津卷)设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
解:由可得,设代入方程组可得
消去化简得,再化简得再令代入上式得可得解不等式得
因而解得.故选A.
如图,在中,是边上一点,
则.
解:由余弦定理得
可得,又夹角大小为,,
所以.
【解析】根据向量的加减法法则有:
,此时
.
5.(上海卷) 直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角
三角形中,若,则的可能值个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:解法一:??
(1) 若A为直角,则;
(2) 若B为直角,则;
(3) 若C为直角,则。
所以 k 的可能值个数是2,选B
解法二:数形结合.如图,将A放在坐标原点,则B点坐标为(2,1),C点坐标为(3,k),所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角,C不可能为直角.所以 k 的可能值个数是2,选B
在中,分别是三个内角的对边.若,
,求的面积.
解: 由题意,得为锐角,,
,
由正弦定理得 , .
6.(重庆卷)在中,则BC =( )
A. B. C.2 D.
解:由正弦定理得:
选 A。
如图,在四边形ABCD中,
,则的值为( )
A.2 B. C.4 D.
解:
选C。
7.(辽宁卷)若向量与不共线,,且,
则向量与的夹角为( )
A.0 B. C. D.
解:因为,所以向量与垂直,选D。
若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,
则向量( )
A. B. C. D.
解: 函数为,令得平移公式,
所以向量,选A
8.(江苏卷)在平面直角坐标系中,已知的顶点和,
顶点在椭圆上,则 .
解: 设三角形三边为a,b,c,因为B在椭圆上,长半轴为5,所以,
设,则=
9.(广东卷) 若向量满足,的夹角为60°,则=______;
解:a﹒a+ a﹒b=12+1×1×(-)=。
已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)
若c=5,求sin∠A的值;
若∠A为钝角,求c的取值范围;
解:(1) , 。当c=5时,
,进而
(2)若A为钝角,则 AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 ,解得c>
显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[,+)
10.(福建卷) 对于向量和实数,下列命题中真命题是( )
A.若,则或 B.若,则或
C.若,则或 D.若,则
解: a⊥b时也有a·b=0,故A不正确;同理C不正确;由a·b=a·c
得不到b=c,如a为零向量或a与b、c垂直时,选B.
11.(安徽卷) 在四面体O-ABC中,D为BC的中点,E为AD
的中点,则= (用a,b,c表示).
解:在四面体O-ABC中,为BC的中点,E为AD的
中点,则=.
12.(湖南卷) 设是非零向量,若函数的图象是一条直线,则必有( )
A. B. C. D.
解: ,若函数的图象
是一条直线,即其二次项系数为0,0, 选A
在中,角所对的边分别为,若,b=,
,则 .
解:由正弦定理得,所以
13.(湖北卷)
14.(江西卷)如图,在中,点是的中点,过点的直线分别
交直线,于不同的两点,若,
,则的值为 .
解: 由MN的任意性可用特殊位置法:当MN与BC重合时知
m=1, n=1,故m+n=2,填2
15.(山东卷)在直角中,是斜边上的高,
则下列等式不成立的是( )
A.
B.
C.
D.
解: ,A是正确的,
同理B也正确,对于D答案可变形为,
通过等积变换判断为正确. 选C.
如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里.当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
解:解如图,连结,,,
是等边三角形,,
在中,由余弦定理得
,
因此乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行海里.
16.(陕西卷) 如图,平面内有三个向量、、,其中与与
的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,
|| =,若=λ+μ(λ,μ∈R),
则λ+μ的值为 .
解: 过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由角BOC=90°。
角AOC=30°,=得平行四边形的边长为2和4,2+4=6
17.(四川卷)设,,为坐标平面上三点,为坐标原点,
若与在方向上的投影相同,则与满足的关系式为( )
(A) (B) (C) (D)
解:由与在方向上的投影相同,可得:,
即 ,.选A.
18.(浙江卷)若非零向量满足,则( )
A. B.
C. D.
解:
由于是非零向量,则必有故上式中等号不成立 。
∴。故选C.
已知的周长为,且.
(I)求边的长;
(II)若的面积为,求角的度数.
解:(I)由题意及正弦定理,得,
,
两式相减,得.
(II)由的面积,得,
由余弦定理,得
,所以.
19.(宁夏、海南卷)已知平面向量,则向量( )
A. B.
C. D.
解:选 D
如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面
内的两个测点与.现测得,
并在点测得塔顶的仰角为,求塔高.
解:在中,.
由正弦定理得.
所以.
在中,
.
2007年高考“线性规划问题”题
1.(全国Ⅰ) 下面给出的四个点中,到直线的距离为,
且位于 表示的平面区域内的点是( )
A. B. C. D.
解:给出的四个点中,到直线的距离都为,位于
表示的平面区域内的点是(-1,-1),∵ ,选C。
2.(全国II)
3.(北京卷)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则的取值范围是
A. B. C. D.或
解:不等式组,将前三个不等式画出可行域,
三个顶点分别为(0,0),(1,0),(,),第四个
不等式,表示的是斜率为-1的直线的下方,
∴ 当0
当a≥时,表示的平面区域也是一个三角形,选D。
4.(天津卷)设变量满足约束条件
则目标函数的最大值为 ( )
A.4 B.11 C.12 D.14
解:易判断公共区域为三角形区域,求三个顶点坐标为、、,
将代入得到最大值为故选B.
5.(上海卷)
6.(重庆卷)已知x,y满足,
则函数z = x+3y的最大值是________.
解:画出可行域,当直线过点(1,2)时,
7.(辽宁卷)已知变量满足约束条件则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解: 画出可行域为一三角形,三顶点为(1,3)、(1,6)和(),表示
可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,当(x,y)=(1,6)
时取最大值6,当(x,y)=()时取最小值,选A.
8.(江苏卷)在平面直角坐标系,已知平面区域且,
则平面区域的面积为( )
A. B. C. D.
解:集合B转化为是不等式组的平面区域,
如右图,平面区域的面积为×2×1=1,故选(B)。
9.(广东卷)
10.(福建卷) 已知实数满足
则的取值范围是________.
解: 画出可行域知z=2x-y在(-1,3)
取得最小值-5,在(5,3)取得
最大值7,范围是[-5,7].
11.(安徽卷) 如果点在平面区域上,点在曲线上,
那么 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
解:点在平面区域上,画出可行域如图,
点在圆上,那么 的最小值为圆心
(0,-2)到直线x-2y+1=0的距离减去半径1,即为-1,选A。
12.(湖南卷) 设集合,.
(1)的取值范围是 ;
(2)若,且的最大值为9,则的值是 .
【答案】(1) (2)
解: (1)由图象可知的取值范围是
(2)若令t=,则在(0,b)处取得最大值,
所以0+2b=9,所以b=.
13.(湖北卷)设变量满足约束条件
则目标函数的最小值为 .
解:由约束条件得如图所示的三角形区域,
令,
显然当平行直线过点
时,取得最小值为.
14.(江西卷)
15.(山东卷)设是不等式组表示的平面区域,则中的点
到直线距离的最大值是 .
解:画图确定可行域,从而确定到直线直线距离的最大为
16.(陕西卷) 已知实数x、y满足条件,则z=x+2y的最大值为 .
解:画出可行域知Z在直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点(2,3)处取得最大值8.
17.(四川卷)某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元. 对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
(A)36万元 (B)31.2万元 (C)30.4万元 (D)24万元
解:对甲项目投资24万元,对乙项目投资36万元,可获最大利润31.2万元.因为对乙项目投资获利较大,故在投资规划要求内(对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍)尽可能多地安排资金投资于乙项目,即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润.这是最优解法.也可用线性规划的通法求解.选B.注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现.
18.(浙江卷)设为实数,若,
则的取值范围是 .
解:作图易知,设若不成立;
故当且斜率大于等于时方成立.
19.(宁夏、海南卷)
2007年高考“排列、组合、二项式”题
1.(全国Ⅰ) 的展开式中,常数项为,则( )
A. B. C. D.
解:的展开式中,由,常数项为15得,
所以n可以被3整除,当n=3时,,当n=6时,,选D。
从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,
其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答)
解:先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,
不同的选法共有种。
2.(全国II) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )
A.40种 B.60种 C.100种 D.120种
解:从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,
每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,
则不同的选派方法共有种,选B。
的展开式中常数项为 .(用数字作答)
解: (1+2x2)(x-)8的展开式中常数项为=-42。
3.(北京卷)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,
2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
解:5名志愿者先排成一排,有种方法,2位老人作一组插入其中,
且两位老人有左右顺序,共有=960种不同的排法,选B。
4.(天津卷)若的二项展开式中的系数为则.(用数字作答)
解:,当时得到项的系数.
如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色.要求最多使
用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种
(用数字作答).
解: 用2色涂格子有种方法,用3色涂格子有
种方法,故总共有种方法.
5.(上海卷)
6.(重庆卷))若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
解:
选B
某校要求每位学生从7门课程中选修4门,其中甲、乙两门课程不能都选,
则不同的选课方案有___________种。(以数字作答)
解:所有的选法数为,两门都选的方法为。
故共有选法数为
7.(辽宁卷)将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第个数为,若,,,,则不同的排列方法有 种(用数字作答).
解:分两步:(1)先排,=2,有2种;=3有2种;=4有1种,共有5种;(2)再排,共有种,故不同的排列方法种数为5×6=30,填30
8.(江苏卷)若对于任意实数,有,
则的值为( )
A. B. C. D.
解:将等式右边展开,含、的项为,
所以有,解得:=6,故选(B)。
某校开设9门课程供学生选修,其中三门由于上课时间相同,至多选一门,
学校规定,每位同学选修4门,共有 种不同选修方案。(用数值作答)
解:+=75
9.(广东卷)
10.(福建卷)
11.(安徽卷) 若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 .
解:为常数项,即=0,
当n=7,r=6时成立,最小的正整数n等于7.
12.(湖南卷) 将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的0-1三角数表.
从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 .
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………
图1
解:由不完全归纳法知,全行都为1的是第行;故第63行
共有64个1,逆推知第62行共有32个1,第61行共有32个1。填,32
13.(湖北卷)如果的展开式中含有非零常数项,则正整数的最小值为( )
A.3 B.5 C.6 D.10
解:由展开式通项有
由题意得,
故当时,正整数的最小值为5,故选B
14.(江西卷)已知展开式中,各项系数的和与其
各项二项式系数的和之比为,则等于( )
A. B. C. D.
解: 展开式中,各项系数的和为4n,各项二项式系数的和为2n,
由已知得2n=64,所以n=6,选C
15.(山东卷)
16.(陕西卷) 安排3名支教教师去6所学校任教,每校至多2人,
则不同的分配方案共有 种.(用数字作答)
解:分两类,(1)每校1人:;(2)1校1人,1校2人:,
不同的分配方案共有120+90=210
17.(四川卷)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,
并且比20000大的五位偶数共有( )
(A)288个 (B)240个 (C)144个 (D)126个
解:选B.对个位是0和个位不是0两类情形分类计数;对每一类情形按“个位-最高位-中间三位”分步计数:①个位是0并且比20000大的五位偶数有个;②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个;故共有个.本题考查两个基本原理,是典型的源于教材的题目.
已知一组抛物线,其中为2、4、6、8中任取的一个数,为1、3、5、7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
解:这一组抛物线共条,从中任意抽取两条,共有种不同的方法.它们在与直线交点处的切线的斜率.若,有两种情形,从中取出两条,有种取法;若,有三种情形,从中取出两条,有种取法;若,有四种情形,从中取出两条,有种取法;若,有三种情形,从中取出两条,有种取法;若,有两种情形,从中取出两条,有种取法.由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种,故所求概率为.选B.本题是把关题.
设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明>
(Ⅲ)是否存在,使得an<<恒成立?若存在,试证明你的结论
并求出a的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是
(Ⅱ)证法一:因
证法二:因
而, 故只需对和进行比较。
令,有 由,得
因为当时,,单调递减;当时,,
单调递增,所以在处有极小值
故当时,,
从而有,亦即 故有恒成立。
所以,原不等式成立。
(Ⅲ)对,且
有
又因,故
∵,从而有成立,
即存在,使得恒成立。
18.(浙江卷)某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种. 小张用10元钱买杂志(每种至多买一本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数是 (用数字作答).
解:根据题意,可有以下两种情况:①用10元钱买2元1本共有
②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有
故210+56=266.
19.(宁夏、海南卷)某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,
每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 种.(用数字作答)
解:由题意可知有一个工厂安排2个班,另外三个工厂每厂一个班,
共有种安排方法。
2007年高考“概率与统计”题
1.(全国Ⅰ) 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为
250元;分4期或5期付款,其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.
(Ⅰ)求事件:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率;
(Ⅱ)求的分布列及期望.
解:(Ⅰ)由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
,.
(Ⅱ)的可能取值为元,元,元.
,
,
.
的分布列为
(元).
2.(全国II) 在某项测量中,测量结果服从正态分布.若在
内取值的概率为0.4,则在内取值的概率为 .
解:在某项测量中,测量结果(服从正态分布N(1,(2)((>0),正态分布图象
的对称轴为x=1,(在(0,1)内取值的概率为0.4,可知,随机变量ξ在
(1,2)内取值的概率于(在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机
变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8。
从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件:
“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率;
(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,表示取出的2件产品中二等品的件数,求的分布列.
解:(1)记表示事件“取出的2件产品中无二等品”,
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.
则互斥,且,故
于是.解得(舍去).
(2)的可能取值为.
若该批产品共100件,由(1)知其二等品有件,故
...
所以的分布列为
0
1
2
3.(北京卷)某中学号召学生在今年春节期间至少
参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合
唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计
如图所示.
(I)求合唱团学生参加活动的人均次数;
(II)从合唱团中任意选两名学生,求他
们参加活动次数恰好相等的概率.
(III)从合唱团中任选两名学生,用表示
这两人参加活动次数之差的绝对值,
求随机变量的分布列及数学期望.
解:由图可知,参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40.
(I)该合唱团学生参加活动的人均次数为.
(II)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的
概率为.
(III)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”
为事件,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件,
“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件.易知
;
;
的分布列:
0
1
2
的数学期望:.
4.(天津卷)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个
红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(I)求取出的4个球均为黑色球的概率;
(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(III)设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望.
解:(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球为黑球”
为事件B.由于事件A,B相互独立,且.
故取出的4个球均为黑球的概率为.
(II)解:设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红红,1个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C,D互斥,且.
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为.
(III)解:可能的取值为.由(I),(II)得
又 从而.
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望.
5.(上海卷) 在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的
概率是 (结果用数值表示).
解: =
6.(重庆卷)从5张100元,3张200元,2张300元的奥运预赛门票中任取3张,
则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )
A. B. C. D.
解:可从对立面考虑,即三张价格均不相同, 选C
某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司
缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位获9000元
的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率
分别为且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:
(1)获赔的概率;(4分)
(2)获赔金额的分别列与期望。(9分)
解:设表示第辆车在一年内发生此种事故,.由题意知,,独立,
且,,.
(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为
.
(Ⅱ)的所有可能值为,,,.
,
,
,
.
综上知,的分布列为
求的期望有两种解法:
解法一:由的分布列得
(元).
解法二:设表示第辆车一年内的获赔金额,,
则有分布列
故.
同理得,.
综上有(元).
7.(辽宁卷)一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球
是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码
是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
解: 从中任取两个球共有种取法,其中取到的都是红球,且至少有1个球
的号码是偶数的取法有种取法,概率为,选D.
某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示:
市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.4
中
0.4
差
0.2
设分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量,表示当产量为
而市场前景无法确定的利润.
(I)分别求利润与产量的函数关系式;
(II)当产量确定时,求期望;
(III)试问产量取何值时,取得最大值.
(Ⅰ)解:由题意可得
L1= (q>0).
同理可得 (q>0)
(q>0) ………………………………4分
(Ⅱ) 解:由期望定义可知
………………………………8分
(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知是产量q的函数,设
得0解得(舍去).
由题意及问题的实际意义(或当0<q<10时,>0;当q>10时,
可知,当q=10时, f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10. ……………12分
8.(江苏卷)某气象站天气预报的准确率为,计算(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(4分)
(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(4分)
(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第次预报准确的概率;(4分)
解:(1)次预报中恰有次准确的概率为
.
(2)次预报中至少有次准确的概率为
.
(3)“次预报中恰有次准确,且其中第次预报准确”的概率为
.
9.(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球,乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球,则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)
解:P==
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)
与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
请画出上表数据的散点图;
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?
(参考数据: 3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
【命题意图】考查线性回归的应用
【参考答案】(1)如下图
(2)=32.5+43+54+64.5=66.5
==4.5 , ==3. 5
=+++=86
故线性回归方程为y=0.7x+0.35
(3)根据回归方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35
故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)
10.(福建卷) 如图,三行三列的方阵中有9个数,从中任取三个数,
则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
A. B.
C. D.
解: 从中任取三个数共有种取法,没有同行、同列的取法有,
至少有两个数位于同行或同列的概率是,选D.
两封信随机投入三个空邮箱,则邮箱的信件数的
数学期望 .
解:ξ的取值有0,1,2,
所以Eξ=
11.(安徽卷) 以表示标准正态总体在区间()内取值的概率,若随机变量
服从正态分布,则概率等于
(A)- (B)
(C) (D)
解:==-=,选B。
在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.
(Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程);
(Ⅱ)求数学期望Eξ;
(Ⅲ)求概率P(ξ≥Eξ).
解:(Ⅰ)的分布列为:
0
1
2
3
4
5
6
(Ⅱ)数学期望为.
(Ⅲ)所求的概率为.
12.(湖南卷) 设随机变量服从标准正态分布,已知,
则=( )
A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975
解:服从标准正态分布,
选C
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择
相互之间没有影响.
(I)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(II)任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列和期望.
解:任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件,“该人参加过计算机
培训”为事件,由题设知,事件与相互独立,且,.
(I)解法一:任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是.
解法二:任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是.
所以该人参加过培训的概率是.
(II)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数服从二项分布,,,即的分布列是
0
1
2
3
0.001
0.027
0. 243
0.729
的期望是.
(或的期望是)
13.(湖北卷)连掷两次骰子得到的点数分别为和,记向量与向量
的夹角为,则的概率是( )
A. B. C. D.
解: 由向量夹角的定义,图形直观可得,当点位于直线上及其下方时,
满足,点的总个数为个,而位于直线上及其下方
的点有个,故所求概率,选C
某篮球运动员在三分线投球的命中率是,他投球10次,
恰好投进3个球的概率为 .(用数值作答)
解:由题意知所求概率
分组
频数
合计
在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据,将数据分组如右表:
(I)在答题卡上完成频率分布表,并在给定的坐标系
中画出频率分布直方图;
(II)估计纤度落在中的概率及纤度
小于的概率是多少?
(III)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值
(例如区间的中点值是)作为代
表.据此,估计纤度的期望.
解:(Ⅰ)
分组
频数
频率
4
0.04
25
0.25
30
0.30
29
0.29
10
0.10
2
0.02
合计
100
1.00
(Ⅱ)纤度落在中的概率约为,
纤度小于1.40的概率约为.
(Ⅲ)总体数据的期望约为
.
14.(江西卷)将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A. B. C. D.
解: 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个,其中为等差数列有三类:
(1)公差为0的有6个;(2)公差为1或-1的有8个;(3)公差为2或-2的
有4个,共有18个,成等差数列的概率为,选B
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为,,,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为,,.
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为,求随机变量的期望.
解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件,,,
(1)设表示第一次烧制后恰好有一件合格,则
.
(2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为,
所以,故.
解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件,则
,
所以,
,
,
.于是,.
15.(山东卷)某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组,成绩大于等于14秒且小于15秒;第六组,成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为,则从频率分布直方图中可分析出和分别为( )
A.0.9,35 B.0.9,45
C.0.1,35 D.0.1,45
解:从频率分布直方图上可以
看出,. 选A.
位于坐标原点的一个质点按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的
方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是. 质点移动五次后位
于点的概率是( )
A. B. C. D.
解:质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次,因此质点P 移动5次后
位于点的概率为。选B.
设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程
实根的个数(重根按一个计).
(Ⅰ)求方程有实根的概率;
(Ⅱ)求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程有实根的概率.
解:(I)基本事件总数为,
若使方程有实根,则,即。
当时,;当时,;当时,;
当时,;当时,;当时,,
目标事件个数为
因此方程 有实根的概率为
(II)由题意知,,则
,,
故的分布列为
0
1
2
P
的数学期望
(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M,“方程 有实根”
为事件N,则,,.
16.(陕西卷) 某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;
(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望.
(注:本小题结果可用分数表示)
解法一:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,
则,,,
该选手被淘汰的概率
.
(Ⅱ)的可能值为,,
,
.
的分布列为
1
2
3
.
解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,
则,,.
该选手被淘汰的概率.
(Ⅱ)同解法一.
17.(四川卷)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,
商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.
求至少有1件是合格品的概率;
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格.按合同规定该商家从中任取2件,都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望,并求该商家拒收这批产品的概率.
解:(Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件A来算,有
(Ⅱ)可能的取值为
,,
记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率
;所以商家拒收这批产品的概率为。
18.(浙江卷)已知随机变量服从正态分布,,则
A. B. C. D,
解:由又
故选A.
随机变量的分布列如下:
其中成等差数列,若则的值是 .
解:成等差数列,有
联立三式得
19.(宁夏、海南卷)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,
三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )
A. B.
C. D.
解:
选B
如图,面积为的正方形中有一个不规则的图形,可按下面方法估计的面积:在正方形中随机投掷个点,若个点中有个点落入中,则的面积的估计值为. 假设正方形的边长为2,的面积为1,并向正方形中随机投掷个点,以表示落入中的点的数目.
(I)求的均值;
(II)求用以上方法估计的面积时,的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率.
附表:
解:
每个点落入中的概率均为.
依题意知.
(Ⅰ).
(Ⅱ)依题意所求概率为,
.
2007年高考“导数”题
1.(全国Ⅰ) 设函数.
(Ⅰ)证明:的导数;
(Ⅱ)若对所有都有,求的取值范围.
解:(Ⅰ)的导数.
由于,故.
(当且仅当时,等号成立).
(Ⅱ)令,则,
(ⅰ)若,当时,,
故在上为增函数,
所以,时,,即.
(ⅱ)若,方程的正根为,
此时,若,则,故在该区间为减函数.
所以,时,,即,与题设相矛盾.
综上,满足条件的的取值范围是.
2.(全国II) 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
A.3 B.2 C.1 D.
解:已知曲线的一条切线的斜率为,=,
解得x=3或x=-2,由选择项知,只能选A。
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.
解:(1)求函数的导数;.
曲线在点处的切线方程为:
,即 .
(2)如果有一条切线过点,则存在,使.
于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程
有三个相异的实数根.
记 ,则 .
当变化时,变化情况如下表:
0
0
0
极大值
极小值
由的单调性,当极大值或极小值时,
方程最多有一个实数根;
当时,解方程得,即方程
只有两个相异的实数根;
当时,解方程得,
即方程只有两个相异的实数根.
综上,如果过可作曲线三条切线,
即有三个相异的实数根,则
即 .
3.(北京卷)
4.(天津卷)已知函数R),其中R.
(I)当时,求曲线在点处的切线方程;
(II)当时,求函数的单调区间与极值.
解:(I)当时,又
所以,曲线在点处的切线方程为
即
(II)
由于以下分两种情况讨论.
当时,令得到当变化时,
的变化情况如下表:
0
0
极小值
极大值
所以在区间内为减函数,在区间内为增函数.
函数在处取得极小值且.
函数在处取得极大值且.
当时,令得到.当变化时,
的变化情况如下表:
0
0
极小值
极大值
所以在区间内为减函数,在区间内为增函数.
函数在处取得极大值且.
函数在处取得极小值且.
5.(上海卷)
6.(重庆卷)已知函数(x>0)在x = 1处
取得极值–3–c,其中a,b,c为常数。
(1)试确定a,b的值;(6分)
(2)讨论函数f(x)的单调区间;(4分)
(3)若对任意x>0,不等式恒成立,求c的取值范围。(3分)
解:(I)由题意知,因此,从而.
又对求导得.
由题意,因此,解得.
(II)由(I)知(),令,解得.
当时,,此时为减函数;
当时,,此时为增函数.
因此的单调递减区间为,而的单调递增区间为.
(III)由(II)知,在处取得极小值,此极小值也是最小值,
要使()恒成立,只需.
即,从而,解得或.
所以的取值范围为.
7.(辽宁卷)已知与是定义在上的连续函数,如果与仅当
时的函数值为0,且,那么下列情形不可能出现的是( )
A.0是的极大值,也是的极大值
B.0是的极小值,也是的极小值
C.0是的极大值,但不是的极值
D.0是的极小值,但不是的极值
解:根据题意和图形知当0是的极大值时,不是的极值是不可能的,选C
已知函数,.
(I)证明:当时,在上是增函数;
(II)对于给定的闭区间,试说明存在实数 ,当时,
在闭区间上是减函数;
(III)证明:.
(Ⅰ)证明:由题设得
又由≥,且t<得t<,即
>0.
由此可知,为R上的增函数. ………………………3分
(Ⅱ)证法一:因为<0是为减函数的充分条件,所以只要找到实数k,
使得t>k时,<0,即t>
在闭区间[a,b]上成立即可.
因此y=在闭区间[a,b]上连续,故在闭区[a,b]上有最大值,设其为k,
于是在t>k时, <0在闭区间[a,b]上恒成立,
即在闭区间[a,b]上为减函数. …………………………………………7分
证法二:因为<0是为减函数的充分条件,所以只要找到实数k,
使得t>k时,<0,在闭区间[a,b]上成立即可.
令则<0()当且仅当
<0().
而上式成立只需
即 成立.
取与中较大者记为k,易知当t>k时,<0在闭区间[a,b]
上恒成立,即在闭区间[a,b]上为减函数. ………………………7分
(Ⅲ)证法一:设
易得
≥. ………………………9分
令则易知.当x>0时, >0;
当x<0, <0.故当x=0时,取最小值,.所以
≥,
于是对任意x、t,有≥,即≥.………………………12分
证法二:设=
≥,当且仅当
≥0
只需证明
≤0,即
≥1………………………9分
以下同证法一. ………………………12分
证法三:设=,则
易得当t>时, >0; 当t<时, <0,
故当t =时,取最小值即
≥………………………9分
以下同证法一. ………………………12分
证法四:
设点A、B的坐标分别为,易知点B在直线y =x上,
令点A到直线y =x的距离为d ,则
≥………………………9分
以下同证法一. ………………………12分.
8.(江苏卷)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,
则 .
解:令=0,得:=2,=-2,=17,(3)=-1,
(-2)=24,(2)=-8,所以,M-=24-(-8)=32.
9.(广东卷) 已知函数,是方程f(x)=0的两个根,
是f(x)的导数.设,(n=1,2,……)
(1)求的值;
(2)证明:对任意的正整数n,都有>a;
(3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。
解:(1)解方程x2+x-1=0得x=
由?知?=,β=
(2) f’?(x)=2x+1
= - =
下面我们用数学归纳法来证明该结论成立
①当n=1时,a1=1<=?成立,
②假设n=k(k≥1, k∈N*)时,结论也成立,即ak<成立,
③那么当n=k+1时,
==-+<-+=+=
这就是说,当n=k+1时,结论也成立,故对于任意的正整数n,都有an<
(3)
= = =
=()2
由题意知an>,那么有an>β,于是对上式两边取对数得
ln=ln()2=2 ln()
即数列{bn}为首项为b1= ln()=2ln( ),公比为2的等比数列。
故其前n项和
Sn=2ln( ) =2ln( )(2n -1).
10.(福建卷) 已知对任意实数,有,
且时,,则时( )
A. B.
C. D.
解: 由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;
g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,
当x<0时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B.
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司
交元()的管理费,预计当每件产品的售价为元()
时,一年的销售量为万件.
(Ⅰ)求分公司一年的利润(万元)与每件产品的售价的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润最大,并求出的最大值.
解:(Ⅰ)分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为:
.
(Ⅱ)
.
令得或(不合题意,舍去).
,.
在两侧的值由正变负.
所以(1)当即时,
.
(2)当即时,
,
所以
答:若,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润最大,
最大值(万元);若,则当每件售价为
元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元).
已知函数
(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;
(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,求证:.
解:(Ⅰ)由得,所以.
由得,故的单调递增区间是,
由得,故的单调递减区间是.
(Ⅱ)由可知是偶函数.
于是对任意成立等价于对任意成立.
由得.
①当时,.
此时在上单调递增.
故,符合题意.
②当时,.
当变化时的变化情况如下表:
单调递减
极小值
单调递增
由此可得,在上,.
依题意,,又.
综合①,②得,实数的取值范围是.
(Ⅲ),
,
,
由此得,
故.
11.(安徽卷) 设a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0).
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2a ln x+1.
解:(Ⅰ)根据求导法则有,
故,于是,
列表如下:
2
0
极小值
故知在内是减函数,在内是增函数,
所以,在处取得极小值.
(Ⅱ)证明:由知,的极小值.
于是由上表知,对一切,恒有.
从而当时,恒有,故在内单调增加.
所以当时,,即.
故当时,恒有.
12.(湖南卷) 函数在区间上的最小值是 .
解:
13.(湖北卷)已知定义在正实数集上的函数,,
其中.设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用表示,并求的最大值;
(II)求证:().
解:(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同.
,,由题意,.
即由得:,或(舍去).
即有.
令,则.于是
当,即时,;
当,即时,.
故在为增函数,在为减函数,
于是在的最大值为.
(Ⅱ)设,
则.
故在为减函数,在为增函数,
于是函数在上的最小值是.
故当时,有,即当时,.
14.(江西卷)设函数是上以5为周期的可导偶函数,则曲线在
处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
解: 因为是可导偶函数,所以的图象关于y轴对称,所以在x=0
处取得极值,即,又的周期为5,所以,即曲线
在处的切线的斜率0,选B
15.(山东卷)设函数,其中.
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)求函数的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数,不等式都成立.
解:(I) 函数的定义域为.
,
令,则在上递增,在上递减,
. 当时,,
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
(II)分以下几种情形讨论:
(1)由(I)知当时函数无极值点.
(2)当时,,时,
时,
时,函数在上无极值点。
(3)当时,解得两个不同解,.
当时,,,
此时在上有唯一的极小值点.
当时,
在都大于0 ,在上小于0 ,
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知,时,在上有唯一的极小值点;
时,有一个极大值点和一个极小值点;
时,函数在上无极值点。
(III) 当时,
令则在上恒正,
在上单调递增,当时,恒有.
即当时,有,
对任意正整数,取得
16.(陕西卷) f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,
对任意正数a、b,若a<b,则必有
A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)
C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
解: 设F(x)=,则,故F(x)=为减函数,
由a<b有,选A
设函数f(x)=其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单减区间.
解:(Ⅰ)的定义域为,恒成立,,
,即当时的定义域为.
(Ⅱ),令,得.
由,得或,又,
时,由得;
当时,;当时,由得,
即当时,的单调减区间为;
当时,的单调减区间为.
17.(四川卷)
18.(浙江卷)设是函数的导函数,将和的图象
画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
解:检验易知A、B、C均适合,D中不管哪个为均不成立。选D
设,对任意实数,记.
(I)求函数的单调区间;
(II)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
(I)解:.由,得.
因为当时,,当时,,
当时,,故所求函数的单调递增区间是,,
单调递减区间是.
(II)证明:(i)方法一:
令,则,
当时,由,得,当时,,
所以在内的最小值是.
故当时,对任意正实数成立.
方法二:
对任意固定的,令,则,
由,得.当时,.当时,,
所以当时,取得最大值.
因此当时,对任意正实数成立.
(ii)方法一:.
由(i)得,对任意正实数成立.
即存在正实数,使得对任意正实数成立.
下面证明的唯一性:
当,,时,,,
由(i)得,,再取,得,
所以,
即时,不满足对任意都成立.
故有且仅有一个正实数,
使得对任意正实数成立.
方法二:对任意,,
因为关于的最大值是,所以要使
对任意正实数成立的充分必要条件是:
,即, ①
又因为,不等式①成立的充分必要条件是,
所以有且仅有一个正实数,
使得对任意正实数成立.
19.(宁夏、海南卷)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
解:曲线在点处的切线斜率为,因此切线方程
为则切线与坐标轴交点为所以:
选 D
设函数
(I)若当时,取得极值,求的值,并讨论的单调性;
(II)若存在极值,求的取值范围,并证明所有极值之和大于.
解:(Ⅰ),依题意有,故.
从而.
的定义域为,当时,;
当时,;当时,.
从而,分别在区间单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)的定义域为,.
方程的判别式.
(ⅰ)若,即,在的定义域内,故的极值.
(ⅱ)若,则或.
若,,.
当时,,
当时,
,所以无极值.
若,,,也无极值.
(ⅲ)若,即或,则有两个不同的实根
,.
当时,,从而有的定义域内没有零点,
故无极值.
当时,,,在的定义域内有两个不同的零点,
由根值判别方法知在取得极值.
综上,存在极值时,的取值范围为.
的极值之和为
.
2007年高考“集合与简易逻辑”题
1.(全国Ⅰ) 设,集合,则( )
A. B. C. D.
解:设,集合,∵ a≠0,∴ ,
∴ ,∴ ,则2,选C。
2.(全国II)
3.(北京卷)已知集合,.若,
则实数的取值范围是 .
解:集合={x| a-1≤x≤a+1},={x| x≥4或
x≤1 }.又,∴ ,解得2已知集合,其中,
由中的元素构成两个相应的集合:
,.
其中是有序数对,集合和中的元素个数分别为和.
若对于任意的,总有,则称集合具有性质.
(I)检验集合与是否具有性质, 并对其中具有性质的集合,
写出相应的集合和;
(II)对任何具有性质的集合,证明:;
(III)判断和的大小关系,并证明你的结论.
(I)解:集合不具有性质.集合具有性质,
其相应的集合和是,.
(II)证明:首先,由中元素构成的有序数对共有个.
因为,所以;
又因为当时,时,,所以当时,
.
从而,集合中元素的个数最多为,即.
(III)解:,证明如下:
(1)对于,根据定义,,,且,从而.
如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,
从而与中也至少有一个不成立.
故与也是的不同元素.
可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,
(2)对于,根据定义,,,且,从而.
如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,
从而与中也不至少有一个不成立,
故与也是的不同元素.
可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,
由(1)(2)可知,.
4.(天津卷)
5.(上海卷)
6.(重庆卷)命题“若,则”的逆否命题是( )
A.若,则或 B.若,则
C.若或,则 D.若或,则
解:其逆否命题是:若或,则。选D.
7.(辽宁卷)设集合,,,则( )
A. B. C. D.
解:选B
8.(江苏卷)已知全集,,则为( )
A. B. C. D.
解:B={0,1},UB是不含0,1的整数,A∩UB=,故选(A).
9.(广东卷) 已知函数的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=
(A) (B) (C) (D)
解:由解不等式1-x>0求得M=(-,1),由解不等式1+x>0求得N=(-1,+),
因而MN=(-1,1),故选C。
设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)。若对于任意的a,b∈S,有a*( b * a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不能成立的是
(A)( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a
(B)b*( b * b)=b (C)( a*b) * [ b*( a * b)] =b
解:用b代替题目给定的运算式中的a同时用a代替题目给定的运算式中的b,我们不难
知道B是正确的,用b代替题目给定的运算式中的a我们又可以导出选项C的结论,
而用代替题目给定的运算式中的a我们也能得到D是正确的。选A。
10.(福建卷) 已知集合,且,
则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
解:或,因为=R,所以a2,选C.
中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”、“平行关系”等等.
如果集合中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件:
(1)自反性:对于任意,都有;
(2)对称性:对于,若,则有;
(3)传递性:对于,若,,则有.
则称“~”是集合的一个等价关系.例如:“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立).请你再列出三个等价关系:______.
解:答案不唯一,如“图形的全等”、“图形的相似”、
“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.
11.(安徽卷) 若,,
则的元素个数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解: =,=,
∴ =,其中的元素个数为2,选C。
12.(湖南卷) 设是两个集合,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解:由韦恩图知;反之,选B。
设集合, 都是的含两个元素的子集,且满足:
对任意的,(,),都有
(表示两个数中的较小者),
则的最大值是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
解:含2个元素的子集有15个,但{1,2}、{2,4}、{3,6}只能取一个;
{1,3}、{2,6}只能取一个;{2,3}、{4,6}只能取一个,
故满足条件的两个元素的集合有11个。选B。
13.(湖北卷)设和是两个集合,定义集合,
如果,,那么等于( )
A. B.
C. D.
解:先解两个不等式得,。由定义,故选B
14.(江西卷)若集合,
,
则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
解:画出集合N所表示的可行域,知满足条件的N中的点只有
(0,0)、(1,0)、(1,1)和(2,1)四点,选C
设在内单调递增,,
则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解:P中f(x)单调递增,只需,即m≥0,故P是q的必要不充分条件,选B。
15.(山东卷)已知集合,,则( )
A. B. C. D.
解:求,选B。
命题“对任意的,”的否定是( )
A.不存在,
B.存在,
C.存在,
D.对任意的,
解:注意两点:1)全称命题变为特称命题;2)只对结论进行否定。选C。
下列各小题中,是的充要条件的是( )
①:或;:
有两个不同的零点.
②;是偶函数.
③;.
④; 。
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解:(2)由可得,但的定义域不一定关于原点对称;
(3)是的既不充分也不必要条件。选D.
16.(陕西卷) 已知全集U={1,2,3, 4,5},集合A=,
则集合CuA等于
(A) (B) (C) (D)
解:A={2,3,4},CuA={1,5},选C。
设集合S={A0,A1,A2,A3},在S上定义运算为:,其中k为i+j
被4除的余数,i,j=0,1,2,3. 则满足关系式(xx)A2=A0的x(x∈S)的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
解: 由定义A1 A1= A2,A2 A2= A0,x =A1能满足关系式,
同理x=A3满足关系式,选C
17.(四川卷)
18.(浙江卷)“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解:由可得,可得到,但得不到.故选A.
19.(宁夏、海南卷)已知命题,,则( )
A., B.,
C., D.,
解:是对的否定,故有: 选C.
2007年高考“函数”题
1.(全国Ⅰ) 设,函数在区间上的最大值与最小值之差为,
则( )
A. B. C. D.
解:设,函数在区间上的最大值与最小值分别为
,它们的差为, ∴ ,4,选D。
,是定义在上的函数,,
则“,均为偶函数”是“为偶函数”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
解:若“,均为偶函数”,
则“为偶函数”;而反之 “为偶函数”, 若设
显然与不是偶函数,所以选B。
函数的图像与函数的图像关于直线对称,
则 .
解:函数与函数互为反函数,。
2.(全国II) 把函数的图像按向量平移,得到的图像,
则( )
A. B. C. D.
解:把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移,即向右平移2个单位,
向上平移3个单位,平移后得到y=f(x)的图象,f(x)= ,选C。
3.(北京卷)函数的反函数的定义域为( )
A. B. C. D.
解:函数的反函数的定义域为原函数的值域,
原函数的值域为,∴ 选B。
对于函数①,②,③,
判断如下三个命题的真假:
命题甲:是偶函数;
命题乙:在上是减函数,在上是增函数;
命题丙:在上是增函数.
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( )
A.①③ B.①② C.③ D.②
解:函数①,函数=是偶函数;且在
上是减函数,在上是增函数;
但对命题丙:=
在x∈(-∞,0)时,为减函数,
排除函数①;对于函数③,函数
不是偶函数,排除函数③;只有函数②符合要求,选D。
已知函数,分别由下表给出
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
则的值为 ;满足的的值是 .
解:=;
当x=1时,,不满足条件,
当x=2时,,满足条件,
当x=3时,,不满足条件,
∴ 只有x=2时,符合条件。
4.(天津卷)函数的反函数是 ( )
A. B.
C. D.
解:原函数过,故反函数过,从而排除A、B、D,故选C.
在R上定义的函数是偶函数,且.
若在区间上是减函数,则( )
A.在区间上是增函数,在区间上是增函数
B.在区间上是增函数,在区间上是减函数
C.在区间上是减函数,在区间上是增函数
D.在区间上是减函数,在区间上是减函数
解:由可知图象关于对称,又因为为偶函数图象关于
对称,可得到为周期函数且最小正周期为2,结合在区间上是减函数,
可得如右草图.故选B.
5.(上海卷) 函数的定义域是 .
解: ?
函数的反函数 .
解:由
方程 的解是 .
解: (舍去),。
已知函数,常数.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数在上为增函数,求的取值范围.
解:(1)当时,,
对任意,, 为偶函数.
当时,,
取,得 ,
, 函数既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)解法一:设,
,
要使函数在上为增函数,必须恒成立.
,即恒成立.
又,. 的取值范围是.
解法二:当时,,显然在为增函数.
当时,反比例函数在为增函数,在为增函数.
当时,同解法一.
6.(重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数,
且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
解:y=f(x+8)为偶函数,即关于直线对称。
又f(x)在上为减函数,故在上为增函数, 检验知选D。
若函数f(x) = 的定义域为R,
则的取值范围为_______.
解:恒成立,恒成立,
【答案】:
7.(辽宁卷)若函数的反函数图象过点,
则函数的图象必过点( )
A. B. C. D.
解:根据反函数定义知反函数图像过(1,5),则原函数图像过点(5,1),选C.
8.(江苏卷)设是奇函数,则使的的取值范围是( )
A. B. C. D.
解:依题意,得=0,即=0,所以,=-1, ,
又,所以,,解得:-1<x<0,故选(A)。
已知二次函数的导数为,,
对于任意实数,都有,则的最小值为( )
A. B. C. D.
解: =,依题意,有:,可得,
==+1≥2+1≥2+1=2,故选(C)。
已知是不全为的实数,函数,
,方程有实根,且的实数根
都是的根;反之,的实数根都是的根。
(1)求的值;(3分)
(2)若,求的取值范围;(6分)
(3)若,求的取值范围。(7分)
本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识,考查综合运用分类讨论、
等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力.满分16分.
解(1)设是的根,那么,则是的根,
则即,所以。
(2)因为,所以,则
==0的根也是的根。
(a)若,则,此时的根为0,而的根也是0,所以,
(b)若,当时,的根为0,而的根也是0,当时,
的根为0和,而的根不可能为0和,所以
必无实数根,所以所以,从而
所以当时,;当时,。
(3),所以,即的根为0和1,
所以=0必无实数根,
(a)当时,==,即函数在,恒成立,又,所以,
即所以;
(b)当时,==,即函数在,恒成立,又,所以,
,而,所以,所以不可能小于0,
(c)则这时的根为一切实数,而,
所以符合要求。
所以.综上所述,所求的取值范围为.
9.(广东卷) 客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中,正确的是
解:由题意可知客车在整个过程中的路程函数S(t)的表达式为
0≤t≤1
S(t)= 1≤t≤3/2
3/2≤t≤5/2 对比各选项的曲线知应选B 。
已知a是实数,函数,如果函数在区间[-1,1]上有零点,
求实数a的取值范围。
解:当a=0时,函数为f?(x)=2x -3,其零点x=不在区间[-1,1]上。
当a≠0时,函数f?(x) 在区间[-1,1]分为两种情况:
①函数在区间[─1,1]上只有一个零点,此时
或, 解得1≤a≤5或a=
②函数在区间[─1,1]上有两个零点,此时
或解得a5或a<
综上所述,如果函数在区间[─1,1]上有零点,那么实数a的取值范围为
(-∞, ]∪[1, +∞)
10.(福建卷)
11.(安徽卷) 下列函数中,反函数是其自身的函数为
(A) (B)
(C) (D)
解:在下列函数中,反函数是其自身的函数为,选D。
定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.
若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
解:,,
∴,则可能为5,选D。
12.(湖南卷) 函数
的图象和函数的图象的交点个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解:由图像易知交点共有3个。选B.
13.(湖北卷)已知函数的反函数是,则 ; .
解:由互反函数点之间的对称关系,取特殊点求解。在上取点,得点 在上,故得;又上有点,则点在
上,故得
14.(江西卷)四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示,盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为,,,,则它们的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
解:观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为,最低为,选A
设函数,则其反函数的定义域为 .
解: 反函数的定义即为原函数的值域,由x≥3得x-1≥2,所以,
所以y≥5,反函数的定义域为[5,+∞),填[5,+∞)。
15.(山东卷)设,则使函数的定义域为
且为奇函数的所有值为( )
A., B., C., D.,,
解:观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项A。
给出下列三个等式:,,
,下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A. B. C. D.
解:依据指、对数函数的性质可以发现A,C满足其中的一个等式,
而D满足,B不满足其中任何一个等式.选B.
16.(陕西卷) 若函数f(x)的反函数为f,则函数f(x-1)与f的图象可能是
解:函数f(x-1)与f的图象是f(x)与f的图象向右平移一个单位得到。选A
17.(四川卷)函数与在同一直角坐标系下的图象大致是( )
解:。选C.
注意 的图象是由的图象右移1而得.
本题考查函数图象的平移法则.
若函数(是自然对数的底数)的最大值是,且是偶函数,
则________.
解:,,∴.
18.(浙江卷)设是二次函数,若的值域是,
则的值域是( )
A. B.
C. D.
解:要的值域是,则又是二次函数,
定义域连续,故不可能同时结合选项只能选C.
19.(宁夏、海南卷)设函数为奇函数,则 .
解:
2007年高考“数列”题
1.(全国Ⅰ) 等比数列的前项和为,已知,,成等差数列,
则的公比为 .
解:,即
解得的公比
已知数列中,,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若数列中,,,
证明:,.
解:(Ⅰ)由题设:
, .
所以,数列是首项为,公比为的等比数列,
,
即的通项公式为,.
(Ⅱ)用数学归纳法证明.
(ⅰ)当时,因,,所以,结论成立.
(ⅱ)假设当时,结论成立,即,
也即.
当时,
,
又,
所以
.
也就是说,当时,结论成立.
根据(ⅰ)和(ⅱ)知,.
2.(全国II) 已知数列的通项,其前项和为,则 .
解:已知数列的通项an=-5n+2,其前n项和为Sn,则=-。
设数列的首项.
(1)求的通项公式;
(2)设,证明,其中为正整数.
解:(1)由
整理得 .
又,所以是首项为,公比为的等比数列,
得
(2)方法一:
由(1)可知,故.
那么,
又由(1)知且,故,
因此 为正整数.
方法二:
由(1)可知,因为,
所以 .
由可得,即
两边开平方得 .即 为正整数.
3.(北京卷)若数列的前项和,则此数列的通项公式
为 ;数列中数值最小的项是第 项.
解:数列的前项和,数列为等差数列,数列的通项公式
为=,数列的通项公式为,其中数值最小
的项应是最靠近对称轴的项,即n=3,第3项是数列中数值最小的项。
数列中,,(是常数,),
且成公比不为的等比数列.
(I)求的值;
(II)求的通项公式.
解:(I),,,
因为,,成等比数列,
所以,解得或.
当时,,不符合题意舍去,故.
(II)当时,由于,,,
所以.
又,,故.
当时,上式也成立,所以.
4.(天津卷)设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项,
则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解:是与的等比中项可得(*),由为等差数列,及代入(*)式可得.故选B.
在数列中N其中.
(I)求数列的通项公式;
(II)求数列的前项和;
(III)证明存在N使得对任意N均成立.
【分析】(I)解法一:,
,
.
由此可猜想出数列的通项公式为.
以下用数学归纳法证明.
(1)当时等式成立.
(2)假设当时等式成立,即 那么,
这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何N都成立.
解法二:由N可得
所以为等数列,其公差为1,首项为0.故
所以数列的通项公式为
(II)解:设 ①
②
当时,①式减去②式,得
这时数列的前项和
当 时,这时数列的前项和
(III)证明:通过分析,推测数列的第一项最大.下面证明: ③
由知要使③式成立,只要因为
所以③式成立. 因此,存在使得对任意N均成立.
【考点】本小题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法,考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
5.(上海卷) 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%
(如,2003年的年生产量的增长率为36%).
(1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);
(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?
解:(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为
,,,.
则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦).
(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为,则.解得.
因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到.
如果有穷数列(为正整数)满足条件,,…,,即(),我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列就是“对称数列”.
(1)设是项数为7的“对称数列”,其中是等差数列,且,
.依次写出的每一项;
(2)设是项数为(正整数)的“对称数列”,其中
是首项为,公差为的等差数列.记各项的和为.当为
何值时,取得最大值?并求出的最大值;
(3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,
使得依次是该数列中连续的项;当时,
求其中一个“对称数列”前项的和.
解:(1)设的公差为,则,解得 ,
数列为.
(2),
,
当时,取得最大值.的最大值为626.
(3)所有可能的“对称数列”是:
① ;
② ;
③ ;
④ .
对于①,当时,.
当时,
.
对于②,当时,.
当时,.
对于③,当时,.
当时,.
对于④,当时,.
当时,.
6.(重庆卷)若等差数列{}的前三项和且,则等于( )
A.3 B.4 C. 5 D. 6
解:由可得 选 A
设{}为公比q>1的等比数列,若和是方程的两根,
则__________.
解:和是方程的两根,故有:
或(舍)。
已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足,且
(1)求{}的通项公式;(5分)
(2)设数列{}满足,并记为{}的前n项和,
求证:. (7分)
(I)解:由,解得或,
由假设,因此,
又由,
得,
即或,因,故不成立,舍去.
因此,从而是公差为,首项为的等差数列,
故的通项为.
(II)证法一:由可解得;
从而.
因此.
令,则.
因,故.
特别地,从而.
即.
证法二:同证法一求得及,
由二项式定理知,当时,不等式成立.
由此不等式有
.
证法三:同证法一求得及.
令,.
因.因此.
从而
.
证法四:同证法一求得及.
下面用数学归纳法证明:.
当时,,,
因此,结论成立.
假设结论当时成立,即.
则当时,
因.故.
从而.这就是说,当时结论也成立.
综上对任何成立.
7.(辽宁卷)设等差数列的前项和为,若,,则( )
A.63 B.45 C.36 D.27
解: 由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列,即9,27,S成等差,
所以S=45,选B
已知数列,与函数,,满足条件:
.
(I) 若,,,
且存在,求的取值范围,并求(用表示);
(II)若函数为上的增函数,,,,
证明对任意,.
(Ⅰ)解法一:由题设知得
又已知,可得………………………………………4分
由
是等比数列,其首项为.于是
又存在,可得0<<1,所以-2<t<2且
……………………………………………………………………8分
解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得
………………………………………4分
由可知,
所以是首项为,公比为的等比数列.
由 可知,若存在,则存在.于是可得0<<1,
所以-2<t<2且
=2………………………………………………8分
解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即
①
于是有
②
②-①得
………………………………………4分
由
所以是首项为,公比为的等比数列,于是
(b2-b1)+2b.
又存在,可得0<<1,所以-2<t<2且
………………………………………………8分
(Ⅱ)证明:因为.
下面用数学归纳法证明<.
(1)当n=1时,由f(x)为增函数,且<1,得
<1, <1, <,
即<,结论成立. ……………………………………………10分
(2)假设n=k时结论成立,即<.由f(x)为增函数,得
<f(),即<,进而得
<f(),即<.
这就是说当n=k+1时,结论也成立.
根据(1)和(2)可知,对任意的<.………………………12分
8.(江苏卷)已知 是等差数列,是公比为的等比数列,,记为数列的前项和,
(1)若是大于的正整数,求证:;(4分)
(2)若是某个正整数,求证:是整数,且数列中每一项
都是数列中的项;(8分)
(3)是否存在这样的正数,使等比数列中有三项成等差数列?若存在,
写出一个的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4分)
解:设的公差为,由,知,()
(1)因为,所以,
,
所以
(2),由,
所以解得,或,
但,所以,因为是正整数,所以是整数,即是整数,
设数列中任意一项为,
设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数,使得,即在方程
中有正整数解即可,,
所以,若,则,那么,
当时,因为,只要考虑的情况,因为,所以,
因此是正整数,所以是正整数,因此数列中任意一项为
与数列的第项相等,从而结论成立。
(3)设数列中有三项成等差数列,则有
2设,所以2,
令,则,因为,
所以,所以,即存在使得
中有三项成等差数列。
9.(广东卷) 已知数列{}的前n项和,第k项满足5<<8,则k=
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
解:a1=S1= -8,而当n≥2时,由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10,此式对于n=1也成立。
要满足510.(福建卷) 数列的前项和为,若,则等于( )
A.1 B. C. D.
解:=,所以
,选B.
等差数列的前项和为.
(Ⅰ)求数列的通项与前项和;
(Ⅱ)设,求证:数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
解:(Ⅰ)由已知得,,故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,
则.即.
,
.
与矛盾.
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.
11.(安徽卷) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
(Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列.
解: (Ⅰ)我们有.
(Ⅱ),对反复使用上述关系式,得
, ①
在①式两端同乘,得
②
②①,得
.
即.
如果记,,则.
其中是以为首项,以为公比的等比数列;
是以为首项,为公差的等差数列.
12.(湖南卷) 已知()是曲线上的点,,是数列 的前项和,且满足,,….
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)确定的取值集合,使时,数列是单调递增数列;
(III)证明:当时,弦()的斜率随单调递增.
解:(I)当时,由已知得.
因为,所以. …… ①
于是. ……②
由②-①得. …… ③
于是. …… ④
由④-③得, …… ⑤
所以,即数列是常数数列.
(II)由①有,所以.由③有,,
所以,.
而 ⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列,
所以,,,
数列是单调递增数列且对任意的成立.
且
.
即所求的取值集合是.
(III)解法一:弦的斜率为
任取,设函数,则
记,则,
当时,,在上为增函数,
当时,,在上为减函数,
所以时,,从而,
所以在和上都是增函数.
由(II)知,时,数列单调递增,
取,因为,所以.
取,因为,所以.
所以,即弦的斜率随单调递增.
解法二:设函数,同解法一得,
在和上都是增函数,
所以,.
故,即弦的斜率随单调递增.
13.(湖北卷)若数列满足(为正常数,),则称为“等方比
数列”.甲:数列是等方比数列; 乙:数列是等比数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解: 由等比数列的定义数列,若乙:是等比数列,公比为,即则甲命题成立;反之,若甲:数列是等方比数列,即
即公比不一定为, 则命题乙不成立,故选B
已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,
则使得为整数的正整数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解: 由等差数列的前项和及等差中项,可得
,
故时,为整数。故选D
14.(江西卷)已知数列对于任意,有,
若,则 .
解:由题意得
,填4
设正整数数列满足:,且对于任何,有.
(1)求,;
(3)求数列的通项.
解:(1)据条件得 ①
当时,由,即有,
解得.因为为正整数,故.
当时,由,
解得,所以.
(2)方法一:由,,,猜想:.
下面用数学归纳法证明.
1当,时,由(1)知均成立;
2假设成立,则,则时
由①得
因为时,,所以.
,所以.
又,所以.
故,即时,成立.
由1,2知,对任意,.
(2)方法二:
由,,,猜想:.
下面用数学归纳法证明.
1当,时,由(1)知均成立;
2假设成立,则,则时
由①得
即 ②
由②左式,得,即,因为两端为整数,
则.于是 ③
又由②右式,.
则.
因为两端为正整数,则,
所以.
又因时,为正整数,则 ④
据③④,即时,成立.
由1,2知,对任意,.
15.(山东卷)设数列满足,.
(Ⅰ)求数列的通项;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
解:(I)
验证时也满足上式,
(II) ,
,
16.(陕西卷) 各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,
则S40等于
(A)80 (B)30 (C)26 (D)16
解:选B
已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk=N*),其中a1=1.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足(k=1,2,…,n-1),b1=1.
求b1+b2+…+bn.
解:(Ⅰ)当,由及,得.
当时,由,得.
因为,所以.从而.
,.故.
(Ⅱ)因为,所以.
所以
.
故
.
17.(四川卷)已知函数f(x)=x2-4,设曲线在点(xn,f(xn))
处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N *),其中x1为正实数.
(Ⅰ)用xn表示xn+1;
(Ⅱ)求证:对一切正整数n,xn+1≤xn的充要条件是x1≥2;(Ⅲ)若x1=4,记an=lg,证明数列{an}成等比数列,并求数列{an}的通项公式.
解:(Ⅰ) 由题可得
所以过曲线上点的切线方程为,
即
令,得,即
显然 ∴
(Ⅱ)证明:(必要性)
若对一切正整数,则,即,而,∴,即有
(充分性)
若,由
用数学归纳法易得,从而,即
又 ∴
于是,
即对一切正整数成立
(Ⅲ)由,知,同理,
故
从而,即
所以,数列成等比数列,故,
即,从而,所以.
18.(浙江卷)已知数列中的相邻两项是关于的方程
的两个根,且.
(I)求, ,,;
(II)求数列的前项和;
(Ⅲ)记,
,
求证:.
(I)解:方程的两个根为,,
当时,,所以;
当时,,,所以;
当时,,,所以时;
当时,,,所以.
(II)解:
.
(III)证明:,
所以,
.当时,
,
,
同时,
.
综上,当时,.
19.(宁夏、海南卷)已知是等差数列,,其前10项和,
则其公差( )
A. B. C. D.
解: 选D
已知,,成等差数列,成等比数列,
则的最小值是( )
A. B. C. D.
解: 选D。
2007年高考“三角函数”题
1.(全国Ⅰ) 是第四象限角,,则( )
A. B. C. D.
解:是第四象限角,,则-,选D。
函数的一个单调增区间是( )
A. B. C. D.
解:函数=,从复合函数的角度看,原函数
看作,,对于,当时,
为减函数,当时,为增函数,当时,减函数,
且,∴ 原函数此时是单调增函数,选A。
设锐角三角形的内角的对边分别为,.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)求的取值范围.
解:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.
(Ⅱ)
.
由为锐角三角形知,
,.
,
所以.
由此有,
所以,的取值范围为.
2.(全国II) ( )
A. B. C. D.
解: sin2100 =,选D。
函数的一个单调增区间是( )
A. B. C. D.
解:函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(?,),选C。
在中,已知内角,边.设内角,周长为.
(1)求函数的解析式和定义域;
(2)求的最大值.
解:(1)的内角和,由
得.应用正弦定理,知
,
.
因为,
所以,
(2)因为
,
所以,当,即时,取得最大值.
3.(北京卷)已知,那么角是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
解:∵ ,∴ 当cosθ<0,tanθ>0时,θ∈第三象限;
当cosθ>0,tanθ<0时,θ∈第四象限,选C。
2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家
赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个
小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,
大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,
那么的值等于 .
解:图中小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,∴ 每一个直角三角形的面积是6,
设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,则,∴ 两条直角边的长
分别为3,4,直角三角形中较小的锐角为,cosθ=,cos2θ=2cos2θ-1=。
4.(天津卷)是的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解: 可知充分,
当时可知不必要.故选A.
已知函数R.
(I)求函数的最小正周期;
(II)求函数在区间上的最小值和最大值.
【分析】.
因此,函数的最小正周期为.
(II)解法一:因为在区间上为增函数,
在区间上为减函数,
又
故函数在区间上的最大值为最小值为.
解法二:作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下:
由图象得函数在区间上
的最大值为最小值为.
【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、
倍角公式、函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.
5.(上海卷) 函数的最小正周期 .
解:
。
6.(重庆卷)设f (x) =
(1)求f(x)的最大值及最小正周期; (9分)
(2)若锐角满足,求tan的值。(4分)
解:(Ⅰ)
.
故的最大值为;最小正周期.
(Ⅱ)由得,故.
又由得,故,解得.
从而.
7.(辽宁卷)若,则复数
在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解:取θ=π得=-1+i,第二象限,选B
已知函数(其中)
(I)求函数的值域;
(II)若对任意的,函数,的图象与直线有且仅有两个不同的交点,试确定的值(不必证明),并求函数的单调增区间.
(I)解:
. 5分
由,得,
可知函数的值域为. 7分
(II)解:由题设条件及三角函数图象和性质可知,的周期为,又由,
得,即得.………………………………………………………9分
于是有,再由,
解得 .
所以的单调增区间为………………12分
8.(江苏卷)下列函数中,周期为的是( )
A. B. C. D.
解:由T=,得正确答案为(D)。
函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
解: ,当-<<时,函数单调递增,
即-<<,令=0,且,可知选(D)。
若,.则 .
解: ,,
解得:,,故=。
某时钟的秒针端点到中心点的距离为,秒针均匀地绕点旋转,
当时间时,点与钟面上标的点重合,将两点的距离
表示成的函数,则 ,其中。
解: t秒后转过的弧度为,过O作AB作高,三角形OAB为等腰三角形,
所以d=2×5sin=.
9.(广东卷) 若函数,则f(x)是
(A)最小正周期为的奇函数; (B)最小正周期为的奇函数;
(C)最小正周期为2的偶函数; (D)最小正周期为的偶函数;
解:通过二倍角公式可将f(x)等价转化为f(x)=cos2x,有余弦函数的性质知
f(x)为最小正周期为的偶函数,选D。
10.(福建卷) 已知函数的最小正周期为,则该函数的图象
A.关于点对称 B.关于直线对称
C.关于点对称 D.关于直线对称
解: 由函数f(x)=sin()()的最小正周期为得,
由2x+=kπ得x=,对称点为(,0)(),
当k=1时为(,0),选A.
在中,,.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若最大边的边长为,求最小边的边长.
解:(Ⅰ),.
又,.
(Ⅱ),边最大,即.
又,角最小,边为最小边.
由且,得.由得:
. 所以,最小边.
11.(安徽卷) 函数的图象为,
①图象关于直线对称;
②函数在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
以上三个论断中,正确的论断的个数是
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解: ①图象关于直线对称,当k=1时,图象C关于对称;①正确;②x∈时,∈(-,),∴ 函数在区间内是增函数;②正确;③由的图象向右平移个单位长度可以得到,得不到图象,③错误;∴ 正确的结论有2个,选C。
已知0<<的最小正周期,a=(tan(+),-1),
b=(cos,2),且a·b=m,求.
解: 因为为的最小正周期,故.
因,又.故.
由于,所以
.
12.(湖南卷) 已知函数,.
(I)设是函数图象的一条对称轴,求的值.
(II)求函数的单调递增区间.
解:(I)由题设知.
因为是函数图象的一条对称轴,所以,
即().
所以.
当为偶数时,,
当为奇数时,.
(II)
.
当,即()时,
函数是增函数,
故函数的单调递增区间是().
13.(湖北卷)将的图象按向量平移,
则平移后所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
解: 法一 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点,,则,
带入到已知解析式中可得选A
法二 由平移的意义可知,先向左平移个单位,再向下平移2个单位。
已知的面积为,且满足,设和的夹角为.
(I)求的取值范围;
(II)求函数
的最大值与最小值.
本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、
三角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力.
解:(Ⅰ)设中角的对边分别为,
则由,,可得,.
(Ⅱ)
.
,,.
即当时,;当时,.
14.(江西卷)若,则等于( )
A. B. C. D.
解:由得,所以= ,选A
如图,函数的图象与轴交于点,
且在该点处切线的斜率为.
(1)求和的值;
(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当,时,求的值.
解:(1)将,代入函数得,
因为,所以.
又因为,,,所以,
因此.
(2)因为点,是的中点,,
所以点的坐标为.
又因为点在的图象上,所以.
因为,所以,
从而得或.
即或.
15.(山东卷)函数的最小正周期和最大值分别为( )
A., B., C., D.,
解:化成的形式进行判断即,选A。
16.(陕西卷) .已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为
(A)- (B)- (C) (D)
解:sin4α-cos4α===-,选B
设函数其中向量=(m,cos2x),=(1+sin2x,1),x∈R,
且函数y=f(x)的图象经过点,
(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合.
解:(Ⅰ),
由已知,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
当时,的最小值为,
由,得值的集合为.
17.(四川卷)、下面有5个命题:
①函数的最小正周期是.
②终边在轴上的角的集合是.
③在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有三个公共点.
④把函数的图象向右平移得到的图象.
⑤函数在上是减函数.
其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号)
解:①,正确;②错误;③,
和在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.
已知<<<,
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)求.
本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,
已知三角函数值求角以及计算能力。
解:(Ⅰ)由,得
∴,于是
(Ⅱ)由,得
又∵,∴
由得:
所以.
18.(浙江卷)若函数,(其中,)
的最小正周期是,且,则( )
A. B.
C. D.
解:由由
故选D.
已知,且,则的值是 .
解:本题只需将已知式两边平方即可。∵ ∴两边平方得:
,即,∴
.
19.(宁夏、海南卷)函数在区间的简图是( )
解: 排除B、D,排除C。
也可由五点法作图验证。选A。
若,则的值为( )
A. B. C. D.
解:
选C.
2007年高考“不等式”题
1.(全国Ⅰ)
2.(全国II) 下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
解:∵ ,∴ ln(ln2)<0,(ln2)2< ln2,而ln=ln2∴ 最大的数是ln2,选D。
不等式的解集是( )
A. B. C. D.
解:不等式:>0,∴ ,
原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞),选C。
3.(北京卷)如果正数满足,那么( )
A.,且等号成立时的取值唯一
B.,且等号成立时的取值唯一
C.,且等号成立时的取值不唯一
D.,且等号成立时的取值不唯一
解:正数满足,∴ 4=,即,当且仅当
a=b=2时,“=”成立;又4=,∴ c+d≥4,当且仅当c=d=2时,
“=”成立;综上得,且等号成立时的取值都为2,选A。
4.(天津卷)设均为正数,且则( )
A. B. C. D.
解:由可知,由可知,由可知,从而.故选A.
5.(上海卷) 已知,且,则的最大值是 .
解: ,当且仅当x=4y=时取等号.
设是非零实数,若,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
解:若a?b??(a2?b2,A不成立;若B不成立;
若a=1,b=2,则,所以D不成立 ,故选C。
设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时,
总可推出成立”.那么,下列命题总成立的是( )
A.若成立,则当时,均有成立
B.若成立,则当时,均有成立
C.若成立,则当时,均有成立
D.若成立,则当时,均有成立
解: 对A,当k=1或2时,不一定有成立;对B,应有成立;
对C,只能得出:对于任意的,均有成立,不能得出:任意的,
均有成立;对D,对于任意的,
均有成立。故选D。
6.(重庆卷)若a是1+2b与1-2b的等比中项,则的最大值为( )
A. B. C. D.
解:a是1+2b与1-2b的等比中项,则
选B
7.(辽宁卷)设是两个命题:,
则是的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解: p:或,q:,
结合数轴知是的充分而不必要条件,选A
8.(江苏卷)设函数定义在实数集上,它的图像关于直线对称,且当时,,则有( )
A. B.
C. D.
解: 依题意,有,所以,,
即,当x<1时,-x>-1,即2-x>1,所以,,故(x<1),,,
所以,选(B)。
9.(广东卷) (不等式选讲选做题)设函数则=_____;
若,则x的取值范围是________;
解:将函数去绝对值化为分段函数,再在各段上解不等式f(x)5取其并集。
= 6,[-1,1]
10.(福建卷) 已知为上的减函数,则满足
的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
解:由已知得解得或011.(安徽卷) 若对任意R,不等式≥ax恒成立,则实数a的取值范围是
(A)a<-1 (B)≤1 (C) <1 (D)a≥1
解: 当x≥0时,x≥ax,a≤1,当x<0时,-x≥ax,∴a≥-1,综上得,
即实数a的取值范围是≤1,选B。
12.(湖南卷) .不等式的解集是( )
A. B. C. D.
解:由得,所以解集为. 选D
如图4,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点和居民区的公路,点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为(),且,点到平面的距离(km).沿山脚原有一段笔直的公路可供利用.从点到山脚修路的造价为万元/km,原有公路改建费用为万元/km.当山坡上公路长度为km()时,其造价为万元.已知,,,.
(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;
(II) 对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线
修建公路的总造价最小.
(III)在上是否存在两个不同的点,,使沿折线修建公路的
总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.
解:(I)如图,,,,
由三垂线定理逆定理知,,所以是
山坡与所成二面角的平面角,则,
.
设,.则
.
记总造价为万元,
据题设有
当,即时,总造价最小.
(II)设,,总造价为万元,根据题设有
.
则,由,得.
当时,,在内是减函数;
当时,,在内是增函数.
故当,即(km)时总造价最小,且最小总造价为万元.
(III)解法一:不存在这样的点,.
事实上,在上任取不同的两点,.为使总造价最小,显然不能位于 与
之间.故可设位于与之间,且=,,,总造价为万元,则.类似于(I)、(II)讨论知,,,当且仅当,同时成立时,上述两个不等式等号同时成立,此时,,取得最小值,点
分别与点重合,所以不存在这样的点 ,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价.
解法二:同解法一得
.当且仅当且,即
同时成立时,取得最小值,以上同解法一.
13.(湖北卷)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.
已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量
(毫克)与时间(小时)成正比;药物释放完毕后,
与的函数关系式为(为常数),如图
所示.据图中提供的信息,回答下列问题:
(I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量(毫克)
与时间(小时)之间的函数关系式为 ;
(II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时,学生方可进教室,
那么药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.
答案:(I)(II)
解析:(I)由题意和图示,当时,可设(为待定系数),由于点在直线上,;同理,当时,可得
(II)由题意可得,即得或
或 ,由题意至少需要经过小时后,学生才能回到教室.
已知为正整数,
(I)用数学归纳法证明:当时,;
(II)对于,已知,求证,
求证,;
(III)求出满足等式的所有正整数.
解法1:(Ⅰ)证:用数学归纳法证明:
(ⅰ)当时,原不等式成立;当时,左边,右边,
因为,所以左边右边,原不等式成立;
(ⅱ)假设当时,不等式成立,即,则当时,
,,于是在不等式两边同乘以得
,
所以.即当时,不等式也成立.
综合(ⅰ)(ⅱ)知,对一切正整数,不等式都成立.
(Ⅱ)证:当时,由(Ⅰ)得,
于是,.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,当时,
,
.
即.即当时,不存在满足该等式的正整数.
故只需要讨论的情形:
当时,,等式不成立;
当时,,等式成立;
当时,,等式成立;
当时,为偶数,而为奇数,故,等式不成立;
当时,同的情形可分析出,等式不成立.
综上,所求的只有.
解法2:(Ⅰ)证:当或时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:
当,且时,,. ①
(ⅰ)当时,左边,右边,
因为,所以,即左边右边,不等式①成立;
(ⅱ)假设当时,不等式①成立,即,则当时,
因为,所以.又因为,所以.
于是在不等式两边同乘以得
,
所以.即当时,不等式①也成立.
综上所述,所证不等式成立.
(Ⅱ)证:当,时,,,
而由(Ⅰ),,
.
(Ⅲ)解:假设存在正整数使等式成立,
即有. ②
又由(Ⅱ)可得
,与②式矛盾.
故当时,不存在满足该等式的正整数.下同解法1.
14.(江西卷)若,则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
解:用特殊值法,取x=可排除B、C,取x=可排除A,选D
已知函数在区间内连续,且.
(1)求实数和的值;
(2)解不等式.
解:(1)因为,所以,
由,即,.
又因为在处连续,
所以,即.
(2)由(1)得:
由得,当时,解得.
当时,解得,
所以的解集为.
15.(山东卷)函数的图象恒过定点,若点
在直线上,其中,则的最小值为 .
解:函数的图象恒过定点,,,,
16.(陕西卷) 给出如下三个命题:
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;
②设a,b∈R,则ab≠0,若<1,则>1;
③若f(x)=logx, 则f(|x|)是偶函数.
其中不正确命题的序号是
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
解:①ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列,如取a=d=-1,b=c=1;
②a、b异号时不正确,选B
17.(四川卷)
18.(浙江卷)不等式的解集是 .
解:
19.(宁夏、海南卷)C(本小题满分10分)选修;不等式选讲
设函数.
(I)解不等式;
(II)求函数的最小值.
解:
(Ⅰ)令,则
...............3分
作出函数的图象,它与直线的交点为和.
所以的解集为.
(Ⅱ)由函数的图像可知,
当时,取得最小值.
2007年高考“直线与圆”题
1.(全国Ⅰ)
2.(全国II) 在直角坐标系中,以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,
求的取值范围.
解:(1)依题设,圆的半径等于原点到直线的距离,
即 .得圆的方程为.
(2)不妨设.由即得
.
设,由成等比数列,得
,
即 .
由于点在圆内,故 由此得.
所以的取值范围为.
3.(北京卷)矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的
方程为,点在边所在直线上.
(I)求边所在直线的方程;
(II)求矩形外接圆的方程;
(III)若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,
求动圆的圆心的轨迹方程.
解:(I)因为边所在直线的方程为,且与垂直,
所以直线的斜率为.
又因为点在直线上,
所以边所在直线的方程为.即.
(II)由解得点的坐标为,
因为矩形两条对角线的交点为.
所以为矩形外接圆的圆心.
又.
从而矩形外接圆的方程为.
(III)因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,
所以,即.
故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的左支.
因为实半轴长,半焦距.
所以虚半轴长.
从而动圆的圆心的轨迹方程为.
4.(天津卷)已知两圆和相交于两点,
则直线的方程是.
解:两圆方程作差得
5.(上海卷) 若直线与直线平行,
则 .
解:
11.已知为圆上任意
一点(原点除外),直线
的倾斜角为弧度,记.
在右侧的坐标系中,画出以
为坐标的点的轨迹的大致图形为
【答案】
解:
6.(重庆卷)
7.(辽宁卷)已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,
设圆是的外接圆(点为圆心)
(I)求圆的方程;
(II)设圆的方程为,过圆上任意一点
分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值.
(I)解法一:设两点坐标分别为,,由题设知
.
解得,
所以,或,.
设圆心的坐标为,则,所以圆的方程为
. 4分
解法二:设两点坐标分别为,,由题设知
.
又因为,,可得.即
.
由,,可知,故两点关于轴对称,所以圆心在轴上.
设点的坐标为,则点坐标为,于是有,解得,所以圆的方程为. 4分
(II)解:设,则
. 8分
在中,,由圆的几何性质得
,,
所以,由此可得.
则的最大值为,最小值为.……………………………………………14分
8.(江苏卷)
9.(广东卷) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数),
则圆C的圆心坐标为_______,圆心到直线l的距离为______.
解:将参数方程一般化我们得到直线的方程x+y-6=0,圆的方程x2+(y-2)2=4,
从而有圆心坐标为(0,2),圆心到直线的距离d==2。
(几何证明选讲选做题)如图所示,圆的直径,为
圆周上一点,.过作圆的切线,过作的垂线,
分别与直线、圆交于点、,则∠= ,
线段的长为 。
解:由RtACB知∠CAB= 30, 而弦切角∠BC=∠CAB= 30。那么在RtADC中
∠ACD=60,故∠DAC=30。注意到OC⊥,从而有EAOC为菱形,故AE=3。
10.(福建卷) 如图,曲线G的方程为y2=2x(y≥0).以原点为圆心,以t(t >0)为半径
的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.
(Ⅰ)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;
(Ⅱ)设曲线G上点D的横坐标为a+2,求证:
直线CD的斜率为定值.
【考点】本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力.
解:(Ⅰ)由题意知,.因为,所以.
由于,故有. (1)由点的坐标知,
直线的方程为.
又因点在直线上,故有,将(1)代入上式,得,
解得.
(Ⅱ)因为,所以直线的斜率为
.
所以直线的斜率为定值.
圆心为且与直线相切的圆的方程是 .
解:半径R=,所以圆的方程为
11.(安徽卷) 已知直线(是非零常数)与圆有公共点,
且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( )
A.60条 B.66条 C.72条 D.78条
解: 可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点,而圆
上的整数点共有12个,分别为,
,前8个点中,过任意一点的圆的切线满足,有8条;
12个点中过任意两点,构成条直线,其中有4条直线垂直轴,有4条直线垂直轴,还有6条过原点(圆上点的对称性),故满足题设的直线有52条。
综上可知满足题设的直线共有条,选A
12.(湖南卷)
13.(湖北卷)
14.(江西卷)设有一组圆.下列四个命题:
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 .(写出所有真命题的代号)
解: 圆心为(k-1,3k)半径为,圆心在直线y=3(x+1)上,所以直线y=3(x+1)
必与所有的圆相交,B正确;由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确;若存在圆过
原点(0,0),则有(因为
左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆不过原点。填B、D.
15.(山东卷)与直线和曲线都相切的
半径最小的圆的标准方程是 .
解:曲线化为,其圆心到直线的距离
为所求的最小圆的圆心在直线上,其到直线
的距离为,圆心坐标为标准方程为。
【高考考点】:直线与圆的方程
【易错提醒】: 在确定圆心的大致位置后不能准确运算出圆心坐标。
【学科网备考提示】:这是直线与圆的方程内容中的常见问题,还要注意如何求与直线和曲线都相切的半径最大的圆的标准方程。
16.(陕西卷)
17.(四川卷)如图,、、是同一平面内的三条平行直线,与
间的距离是1,与间的距离是2,正三角形的三顶点分别
在、、上,则⊿的边长是( )
(A) (B)
(C) (D)
解:过点C作的垂线,以、为轴、轴建立平面直角坐标系.
设、、,
由知,检验A:
,无解;检验B:
,无解;
检验D:,正确.选D.
本题是把关题.在基础中考能力,在综合中考能力,在应用中考能力,
在新型题中考能力全占全了.是一道精彩的好题.可惜区分度太小.
已知的方程是,的方程是,由动点向
和所引的切线长相等,则动点的轨迹方程是__________________
解::圆心,半径;:圆心,半径.设,
由切线长相等得,.
18.(浙江卷)直线关于直线对称的直线方程是( )
A. B.
C. D.
解:解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x,y)
在直线上,化简得故选答案D.
解法二根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线选答案D.
要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪
都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米
的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是( )
A. B. C. D.
解: 因为龙头的喷洒面积为36π,
正方形面积为256,故至少三个龙头。
由于,故三个龙头肯定不能
保证整个草坪能喷洒到水。当用四个
龙头时,可将正方形均分四个小正方形,
同时将四个龙头分别放在它们的中心,
由于,故可以保证
整个草坪能喷洒到水。选B
19.(宁夏、海南卷)A选修4-1:几何证明选讲
如图,已知是的切线,为切点,是
的割线,与交于两点,圆心在
的内部,点是的中点.
(Ⅰ)证明四点共圆;
(Ⅱ)求的大小.
(Ⅰ)证明:连结.
因为与相切于点,所以.
因为是的弦的中点,所以.
于是.
由圆心在的内部,可知四边形的对角互补,所以四点共圆.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得四点共圆,所以.
由(Ⅰ)得.
由圆心在的内部,可知.
所以.
B 选修4-4:坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为.
(Ⅰ)把和的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求经过,交点的直线的直角坐标方程.
解:以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立平面直角坐标系,
两坐标系中取相同的长度单位.
(Ⅰ),,由得.
所以.
即为的直角坐标方程.
同理为的直角坐标方程.
(Ⅱ)由解得.
即,交于点和.过交点的直线的直角坐标方程为.
2007年高考“圆锥曲线”题
1.(全国Ⅰ) 已知双曲线的离心率为,焦点是,,则双曲线方程为( )
A. B. C. D.
解:已知双曲线的离心率为2,焦点是,,则c=4,a=2,,
双曲线方程为,选A。
抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在
轴上方的部分相交于点,,垂足为,则的面积是( )
A. B. C. D.
解:抛物线的焦点F(1,0),准线为l:,经过F且斜率为的
直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),,
垂足为K(-1,2),∴ 正△AKF的面积是4,选C。
已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点,
过的直线交椭圆于两点,且,垂足为.
(Ⅰ)设点的坐标为,证明:;
(Ⅱ)求四边形的面积的最小值.
证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,
由知点在以线段为直径的圆上,故,
所以,.
(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,
代入椭圆方程,并化简得.
设,,则 ,
;
因为与相交于点,且的斜率为,
所以,.
四边形的面积
.
当时,上式取等号.
(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积.
综上,四边形的面积的最小值为.
2.(全国II) 设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,
使 且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解:设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A,
使∠F1AF2=90o,且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中
,,
∴ 离心率,选B。
3.(北京卷)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为,短半轴长为.
计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的
短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为.
(I)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域;
(II)求面积的最大值.
解:(I)依题意,以的中点为原点建立直角坐标系
(如图),则点的横坐标为.
点的纵坐标满足方程,
解得
,
其定义域为.
(II)记,
则.令,得.
因为当时,;当时,,
所以是的最大值.
因此,当时,也取得最大值,最大值为.
即梯形面积的最大值为.
4.(天津卷)设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为 ( )
A. B. C. D.
解:由可得故选D.
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点
原点到直线的距离为.
(I)证明:;
(II)设为椭圆上的两个动点过原点作直线的垂线
垂足为求点的轨迹方程.
解:(I)证法一:由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上,有即 解得从而得到
直线的方程为整理得
由题设,原点到直线的距离为即
将代入上式并化简得即
证法二:同证法一,得到点的坐标为
过点作垂足为易知~故
由椭圆定义得又所以
解得而而得即
(II)解法一:设点的坐标为当时,由知,
直线的斜率为
所以直线的方程为或其中
点的坐标满足方程组
将①式代入②式,得
整理得于是
③
由①式得
④
由知将③式和④式代入得
将代入上式,整理得
当时,直线的方程为点的坐标满足方程组
所以
由知即解得
这时,点的坐标仍满足
综上,点的轨迹方程为
解法二:设点的坐标为直线的方程为由垂足为 可知直线的方程为记(显然点的坐标满足方程组
由①式得 ③
由②式得 ④ 将③式代入④式得
整理得于是 ⑤
由①式得 ⑥
由②式得 ⑦
将⑥式代入⑦式得
整理得于是 ⑧
由知将⑤式和⑧式代入得
将代入上式,得
所以,点的轨迹方程为
5.(上海卷) 以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的
抛物线方程是 .
解:双曲线的中心为O(0,0),该双曲线的左焦点为F(-3,0),则抛物线的顶点为(-3,0),焦点为(0,0),所以p=6,所以抛物线方程是)
我们把由半椭圆 与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”,其中,,.
如图,点,,是相应椭圆的焦点,,和,分别是“果圆”
与,轴的交点.
若是边长为1的等边三角形,
求“果圆”的方程;
(2)当时,求的取值范围;
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.
试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,
求出所有可能的值;若不存在,说明理由.
解:(1) ,
,
于是,所求“果圆”方程为
,
(2)由题意,得 ,即.
,,得.
又. .
(3)设“果圆”的方程为,.
记平行弦的斜率为.
当时,直线与半椭圆的交点是
,与半椭圆的交点是.
的中点满足 得 .
, .
综上所述,当时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
当时,以为斜率过的直线与半椭圆
的交点是.
由此,在直线右侧,以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,
即不在某一椭圆上.
当时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.
6.(重庆卷)过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线,
交双曲线于P、Q两点,则|FP||FQ|的值为__________.
解:
代入得:
设
又
如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x = 12。
(1)求椭圆的方程;(4分)
(2)在椭圆上任取三个不同点,使,
证明: 为定值,并求此定值。(8分)
解:(I)设椭圆方程为.
因焦点为,故半焦距.
又右准线的方程为,从而由已知
,
因此,.故所求椭圆方程为.
(II)记椭圆的右顶点为,并设(1,2,3),不失一般性,
假设,且,.
又设点在上的射影为,因椭圆的离心率,从而有
.
解得 .
因此
,
而
,
故为定值.
7.(辽宁卷)设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,
若,则的面积为( )
A. B. C. D.
解: 因为,设,根据双曲线定义得
,所以,
,为直角三角形,其面积为,选B
设椭圆上一点到左准线的距离为10,是该椭圆的左焦点,
若点满足,则= .
解: 椭圆左准线为,左焦点为(-3,0),P(,由已知
M为PF中点,M(,所以
8.(江苏卷)在平面直角坐标系中,双曲线的中心在原点,焦点在轴上,
一条渐近线的方程为,则它的离心率为( )
A. B. C. D.
解: 由,得,所以,设,,
则,,故选(A)。
如图,在平面直角坐标系中,
过轴正方向上一点任作一直线,与抛物线
相交于两点,一条垂直于轴的直线,
分别与线段和直线交于,
(1)若,求的值;(5分)
(2)若为线段的中点,求证:
为此抛物线的切线;(5分)
试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4分)
解:(1)设过C点的直线为,所以,即,
设A,=,,
因为,所以,
即,
所以,即
所以
(2)设过Q的切线为,,所以,
即,它与的交点为M,
又,所以Q,因为,
所以,所以M,所以点M和点Q重合,
也就是QA为此抛物线的切线。
(3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知Q,因为PQ轴,
所以因为,所以P为AB的中点。
9.(广东卷) 在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1)。若线段OA的垂直平分线过抛物线
的焦点,则该抛物线的准线方程是______;
解:依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y-5=0,把焦点坐标(,0)
代入可求得焦参数p=,从而得到准线方程x= -。
在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于
坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
(1)求圆C的方程;
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段
OF的长,若存在求出Q的坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8
已知该圆与直线y=x相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则
=2 即=4 ①
又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5,∴a2=25,则椭圆的方程为 + =1
其焦距c==4,右焦点为(4,0),那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q,使得该点到右焦点F的距离等于的长度4,
我们可以转化为探求以右焦点F为顶点,半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=,y=
即存在异于原点的点Q(,),使得该点到右焦点F的距离等于的长。
10.(福建卷) 以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
解: 右焦点即圆心为(5,0),一渐近线方程为,即,,圆方程为,即A ,选A.
已知正方形,则以为焦点,且过两点的椭圆的离心率为______.
解:设c=1,则.
如图,已知点,直线,为平面上的动点,
过作直线的垂线,垂足为点,且.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点的直线交轨迹于两点,交直线
于点,已知,,求的值.
解法一:(Ⅰ)设点,则,由得:
,化简得.
(Ⅱ)设直线的方程为:.
设,,又,
联立方程组,消去得:
,,故
由,得:
,,整理得:,,
.
解法二:(Ⅰ)由得:,
,,.
所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.
(Ⅱ)由已知,,得.
则:.…………①
过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,
则有:.…………②
由①②得:,即.
11.(安徽卷) 如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
解:如图,连接AF1,∠AF2F1=30°,|AF1|=c,|AF2|=c,∴ ,
双曲线的离心率为,选D。
12.(湖南卷) .设分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
解:由已知P,所以的中点Q的坐标为,由
当时,不存在,此时为中点,
综上得选D
另解:根据题意及中垂线性质知,P点满足
其中Q为右准线与x轴的交点,
已知双曲线的左、右焦点分别为,,
过点的动直线与双曲线相交于两点.
(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;
(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
解:由条件知,,设,.
解法一:(I)设,则则,,
,由得
即 于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
(II)假设在轴上存在定点,使为常数.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根,所以,,
于是
.
因为是与无关的常数,所以,即,此时=.
当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,,
此时.
故在轴上存在定点,使为常数.
解法二:(I)同解法一的(I)有
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根,所以.
.
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
当时,,由④⑤得,,将其代入⑤有
.整理得.
当时,点的坐标为,满足上述方程.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
故点的轨迹方程是.
(II)假设在轴上存在定点点,使为常数,
当不与轴垂直时,由(I)有,.
以上同解法一的(II).
13.(湖北卷)双曲线的左准线为,左焦点和右焦点分别
为和;抛物线的准线为,焦点为与的一个交点为,
则等于( )
A. B. C. D.
解:由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义,
且在双曲线右支上,故 由定义可得
故原式 ,选A
在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线()
相交于两点.
(I)若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值;
(II)是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?
若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.
(此题不要求在答题卡上画图)
解法1:(Ⅰ)依题意,点的坐标为,可设,
直线的方程为,与联立得
消去得.
由韦达定理得,.
于是.
,
当时,.
(Ⅱ)假设满足条件的直线存在,其方程为,
的中点为,与为直径的圆相交于点,的中点为,
则,点的坐标为.
,
,
,
.
令,得,此时为定值,故满足条件的直线存在,
其方程为,即抛物线的通径所在的直线.
解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得
, 又由点到直线的距离公式得.
从而,
当时,.
(Ⅱ)假设满足条件的直线存在,其方程为,
则以为直径的圆的方程为,
将直线方程代入得,
则.
设直线与以为直径的圆的交点为,
则有.
令,得,此时为定值,故满足条件的直线存在,其方程为,
即抛物线的通径所在的直线.
14.(江西卷)设椭圆的离心率为,右焦点为,
方程的两个实根分别为和,则点( )
A.必在圆内 B.必在圆上
C.必在圆外 D.以上三种情形都有可能
解: 由=得a=2c,b=,所以,
所以点到圆心(0,0)的距离为
,
所以点P在圆内,选A
设动点到点和的距离分别为和,,且存在常数,使得.
(1)证明:动点的轨迹为双曲线,并求出的方程;
(2)过点作直线交双曲线的右支于两点,
试确定的范围,使,其中点为坐标原点.
解法一:(1)在中,,即,
,即(常数),
点的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线.
方程为:.
(2)设,
①当垂直于轴时,的方程为,,在双曲线上.
即,因为,所以.
②当不垂直于轴时,设的方程为.
由得:,
由题意知:,
所以,.
于是:.
因为,且在双曲线右支上,所以
.
由①②知,.
解法二:(1)同解法一
(2)设,,的中点为.
①当时,,
因为,所以;
②当时,.
又.所以;
由得,由第二定义得
.
所以.
于是由得
因为,所以,又,
解得:.由①②知.
15.(山东卷)设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上
的一点,与轴正向的夹角为,则为 .
解:过A 作轴于D,令,则,,。
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离
的最大值为,最小值为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
解:(I)由题意设椭圆的标准方程为
,
(II)设,由得 ,
,.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,
,,
,,解得
,且满足.
当时,,直线过定点与已知矛盾;
当时,,直线过定点
综上可知,直线过定点,定点坐标为
16.(陕西卷) 抛物线y=x2的准线方程是
(A)4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0
解:P=,准线方程为y=,即,选A
已知双曲线C:(a>0,b>0),以C的右焦点为圆心
且与C的浙近线相切的圆的半径是
A. B. C.a D.b
解:圆的半径是(C,0)到渐近线的距离,R=,选D.
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,
求△AOB面积的最大值.
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意
,所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设,.
(1)当轴时,.(2)当与轴不垂直时,
设直线的方程为.由已知,得.
把代入椭圆方程,整理得,
,.
.
当且仅当,即时等号成立.当时,,
综上所述.
当最大时,面积取最大值.
17.(四川卷)如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2,
那么点到轴的距离是( )
(A) (B) (C) (D)
解:由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上.又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是,双曲线的右准线方程是,
故点到轴的距离是.选A.
已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、,
则等于( )
(A)3 (B)4 (C) (D)
解:设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,∴,由弦长公式可求出
.选C.
设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角
(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
解:(Ⅰ)解法一: 易知
所以,设,则
因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值
当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值
解法二:易知,所以,设,则
(以下同解法一)
(Ⅱ)显然直线不满足题设条件,可设直线,
联立,消去,整理得:
∴
由得:或
又
∴
又
∵,即 ∴
故由①、②得或
18.(浙江卷)已知双曲线的左、右焦点分别为,,
是准线上一点,且,,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
解:设准线与x轴交于A点. 在中, ,
又 ,
化简得 , 故选答案B
如图,直线与椭圆
交于两点,记的面积为.
(I)求在,的条件下,的最大值;
(II)当,时,求直线的方程.
(Ⅰ)解:设点的坐标为,点的坐标为,
由,解得,
所以.
当且仅当时,取到最大值.
(Ⅱ)解:由
得,,
. ②
设到的距离为,则,
又因为,
所以,代入②式并整理,得
,
解得,,代入①式检验,,
故直线的方程是
或或,或.
19.(宁夏、海南卷)已知抛物线的焦点为,点,
在抛物线上,且, 则有( )
A. B.
C. D.
解:由抛物线定义,即:.选C
已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线
的距离为6,则该双曲线的离心率为 .
解:如图,过双曲线的顶点A、焦点F分别
向其渐近线作垂线,垂足分别为B、C,
则:
在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆
有两个不同的交点和.
(I)求的取值范围;
(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,
使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)由已知条件,直线的方程为,
代入椭圆方程得.
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,
解得或.即的取值范围为.
(Ⅱ)设,则,
由方程①,. ②
又. ③
而.
所以与共线等价于,
将②③代入上式,解得.
由(Ⅰ)知或,故没有符合题意的常数.
2007年高考“立体几何”题
1.(全国Ⅰ) 如图,正四棱柱中,,
则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解:如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线与
所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴ A1B=C1B=a,
A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,选D。
一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知
正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 .
解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在
正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知
正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形
的斜边EF上的中线DG=.
∴ 斜边EF的长为2。
四棱锥中,底面为平行四边形,
侧面底面.已知,
,,.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
解法一:
(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,
得底面.
因为,所以,
又,故为等腰直角三角形,,
由三垂线定理,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题设,
故,由,,,
得,.
的面积.
连结,得的面积
设到平面的距离为,由于,
得,解得.
设与平面所成角为,则.
所以,直线与平面所成的我为.
解法二:
(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,
得平面.
因为,所以.
又,为等腰直角三角形,.
如图,以为坐标原点,为轴正向,建立直角坐标系,
,,,,,
,,所以.
(Ⅱ)取中点,,
连结,取中点,连结,.
,,.
,,与平面内两条相交直线,垂直.
所以平面,与的夹角记为,与平面所成的角记为,
则与互余.
,.
,,
所以,直线与平面所成的角为.
2.(全国II) 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,
则与侧面所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
解:已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,取A1C1的中点D1,
连接BD1,AD1,∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角,
,选A。
一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱
的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm.
解:一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的
长为球的直径,现正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h,
∴ 2R=2=,解得h=,那么该棱柱的表面积为2+4cm2.
如图,在四棱锥中,底面为正方形,
侧棱底面分别为的中点.
(1)证明平面;
(2)设,求二面角的大小.
解法一:
(1)作交于点,则为的中点.
连结,又,
故为平行四边形.
,又平面平面.
所以平面.
(2)不妨设,则为等腰直角三角形.
取中点,连结,则.
又平面,所以,而,
所以面.
取中点,连结,则.
连结,则.
故为二面角的平面角
.
所以二面角的大小为.
解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系.
设,则
,
.
取的中点,则.
平面平面,
所以平面.
(2)不妨设,则.
中点
又,,
所以向量和的夹角等于二面角的平面角.
.
所以二面角的大小为.
3.(北京卷)平面平面的一个充分条件是( )
A.存在一条直线
B.存在一条直线
C.存在两条平行直线
D.存在两条异面直线
解:平面平面的一个充分条件是“存在两条异面直线
”,选D。
如图,在中,,斜边.
可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角
是直二面角.动点的斜边上.
(I)求证:平面平面;
(II)当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;
(III)求与平面所成角的最大值.
解:(I)由题意,,,
是二面角是直二面角,
又二面角是直二面角,
,又,
平面,
又平面.
平面平面.
(II)作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在中,,,
.
又.
在中,.
异面直线与所成角的大小为.
(III)由(I)知,平面,
是与平面所成的角,且.
当最小时,最大,
这时,,垂足为,,,
与平面所成角的最大值为.
4.(天津卷)设为两条直线,为两个平面.下列四个命题中,正确的命题是 ( )
A.若与所成的角相等,则 B.若,则
C.若则 D.若则
解:对于A当与均成时就不一定;对于B只需找个,且
即可满足题设但不一定平行;对于C可参考直三棱柱模型排除,故选D.
一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为,
则此球的表面积为.
解:长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即,
故.
如图,在四棱锥中, 底面
是的中点.
(I)证明;
(II)证明平面;
(III)求二面角的大小.
【分析】(I)证明:在四棱锥中,
因底面平面故.
平面.
而平面.
(II)证明:由可得.是的中点,.
由(I)知,且所以平面.
而平面.
底面在底面内射影是.
又综上得平面.
(III)解法一:过点作垂足为连结.由(II)知,平面
在平面内的射影是则.因此是二面角的平面角.
由已知,得.设可得
在中,.则
在中,
所以二面角的大小是
解法二:由题设底面平面则平面平面交线为
过点作垂足为故平面过点作垂足为
连结故因此是二面角的平面角.
由已知,可得.设可得
∽
于是,
在中,
所以二面角的大小是
5.(上海卷) 在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知是两个相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是
直线.用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异
面直线的充分条件: .
解: 作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“,并且与相交”
或“,并且与相交”。
如图,在体积为1的直三棱柱中,
. 求直线与
平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
解:法一: 由题意,可得体积,
.连接. ,
平面,是直线与平面所成的角.
,,
则 =.即直线与平面所成角的大小为.
法二: 由题意,可得
体积,
,
如图,建立空间直角坐标系. 得点,
,. 则,
平面的法向量为.
设直线与平面所成的角为,与的夹角为,
则, ,
6.(重庆卷)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,
则这三个平面把空间分成( )
A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
解:可用三线表示三个平面,如图,将空间分成7个部分。
选C
如图,在直三棱柱ABC—中, AB = 1,
;点D、E分别在上,且,
四棱锥与直三棱柱的体积之比为3:5。
(1)求异面直线DE与的距离;(8分)
(2)若BC =,求二面角的平面角的正切值。(5分)
解:
(Ⅰ)如答(19)图2,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,,,则,.
设,则,
又设,则,
从而,即.
又,所以是异面直线与的公垂线.
下面求点的坐标.
设,则.
因四棱锥的体积为
.
而直三棱柱的体积为.
由已知条件,故,解得,即.
从而,,.
接下来再求点的坐标.
由,有,即 (1)
又由得. (2)
联立(1),(2),解得,,即,得.
故.
(Ⅱ)由已知,则,从而,过作,
垂足为,连接,
设,则,因为,故
……………………………………①
因且得,即
……………………………………②
联立①②解得,,即.
则,.
.
又,故,
因此为所求二面角的平面角.又,从而,
故,为直角三角形,所以.
7.(辽宁卷)若是两条不同的直线,是三个不同的平面,
则下列命题中的真命题是( )
A.若,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
解:由有关性质排除A、B、D,选C
若一个底面边长为,棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,
则此球的体积为 .
解: 根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,由
得R=,球体积为
如图,在直三棱柱中,,,分别为
棱的中点,为棱上的点,二面角为.
(I)证明:;
(II)求的长,并求点到平面的距离.
(I)证明:连结, 三棱柱是直三棱柱,
平面,为在平面内的射影.
中,,为中点,
, .
,.………………………………4分
(II)解法一:过点作的平行线,
交的延长线于,连结.
分别为的中点,
.
又,.
.
平面,
为在平面内的射影.
.
为二面角的平面角,.
在中,,,
. ………………………………8分
作,垂足为,
,,平面,
平面平面,平面.
在中,,,
,即到平面的距离为.
, 平面,
到平面的距离与到平面的距离相等,为.……………………12分
解法二:过点作的平行线,交的延长线于,连接.
分别为的中点,.
又, .
平面,是在平面内的射影,.
为二面角的平面角,.
在中,,,
. 8分
设到平面的距离为,
.
,,,
,,即到平面的距离为. …12分
8.(江苏卷)已知两条直线,两个平面,给出下面四个命题:
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是( )
A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、③
解:②中,有可能是异面直线;③中,有可能在上,都不对,故选(C)。
正三棱锥的高为2,侧棱与底面ABC所成角为,
则点到侧面的距离是 .
解:如图,∠PBO=45°,PO=OB=2,OD=1,BD=,
PB=2,PD=,AD=3,,
得AE=.
如图,已知是棱长为3的正方体,
点在上,点在上,
且,
(1)求证:四点共面;(4分)
(2)若点在上,,点在上,
,垂足为,求证:面;(4分)
(3)用表示截面和面所成锐二面角大小,求。(4分)
解:(1)建立如图所示的坐标系,则,,,
所以,故,,共面.
又它们有公共点,所以四点共面.
(2)如图,设,则,
而,由题设得,
得.
因为,,有,
又,,所以,,
从而,. 故平面.
(3)设向量截面,于是,.
而,,得,,
解得,,所以.
又平面,所以和的夹角等于或(为锐角).
于是. 故.
9.(广东卷) 如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点
所确定的直线共有_____条,这些直线中共有对异面
直线,则;f(n)=______
(答案用数字或n的解析式表示)
【参考答案】,12,
解: 当多面体的棱数由n增加到n+1时,所确定的直线的条数将增加n+1,由递推关系f(n+1) -f(n)=n+1我们能够求出答案。从图中我们明显看出四棱锥中异面直线的对数为12对。能与棱锥每棱构成异面关系的直线的条数为,进而得到f(n)的表达式。
如图6所示,等腰三角形△ABC的底边AB=,高CD=3.点E是线段BD上异于B、D的动点.点F在BC边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积。
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线
AC与PF所成角的余弦值。
解:(1)已知EFAB,那么翻折后,显然有PEEF,又PEAE,从而PE面ABC,
即PE为四棱锥的高。四棱锥的底面积S=-
而△BEF与△BDC相似,那么
===
则S=-=(1-)63=9(1-)
故四棱锥的体积V(x)=SH=9(1-)=3(1-)(0(2) V’(x)= 3-x2(0当x∈(0,6)时,V’(x)>0,V(x)单调递增;x∈(6,3)时V’(x)><0,V(x)单调递减;
因此x=6时, V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12
(3)过P作PQ∥AC交AB于点Q
那么△PQF中PF=FQ=,而PQ=6 ,进而求得cos∠PFQ=
故异面直线AC与PF所成角的余弦值为 .
10.(福建卷) 已知为两条不同的直线,为两个不同的平面,
则下列命题中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解:A中m、n少相交条件,不正确;B中分别在两个平行平面的两条
直线不一定平行,不正确;C中n可以在内,不正确,选D.
顶点在同一球面上的正四棱柱中,,
则两点间的球面距离为( )
A. B. C. D.
解: 正四棱柱的对角线为球的直径,由4R2=1+1+2=4得R=1,AC=,
所以∠AOC=(其中O为球心)A、C两点间的球面距离为,选B.
如图,正三棱柱的所有棱长
都为,为中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
解法一:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
平面.
连结,在正方形中,分别为
的中点,,.
在正方形中,,平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,
连结,由(Ⅰ)得平面.
,为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又,.
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由得,.
点到平面的距离为.
解法二:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立
空间直角坐标系,则,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为.
,.
,,
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面,为平面的法向量.
,.
二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,.
点到平面的距离.
11.(安徽卷) 设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,“l”是“lm且ln”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解:若“l”,则“lm且ln”,反之若“lm且ln”,当m//n时,推不出“l”,∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件,选A。
半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点,
则与两点间的球面距离为
(A) (B) (C)(D)
解:设AB=a,P为△BCD的中心,O为球心,则OB=1,OP=,BP=a,
由解得,∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(-),
∴ 与两点间的球面距离为,选C。
在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,
这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号).
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解: 在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是①矩形如ACC1A1;. ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,如A-A1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如ACB1D1;⑤每个面都是直角三角形的四面体,如AA1DC,所以填①③④⑤。
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;
(Ⅱ)求证:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;
(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函数值表示).
【解析】法1(向量法):
以为原点,以所在直线分别为轴,轴,
轴建立空间直角坐标系如图,
则有.
(Ⅰ)证明:
.
.与平行,与平行,
于是与共面,与共面.
(Ⅱ)证明:,,
,.与是平面内的两条相交直线.
平面.又平面过.平面平面.
(Ⅲ)解:.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,..
二面角的大小为.
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:平面,平面.
,,平面平面.
于是,.
设分别为的中点,连结,
有.
,于是.
由,得,
故,与共面.过点作平面于点,
则,连结,于是,,.
,.,.
所以点在上,故与共面.
(Ⅱ)证明:平面,,
又(正方形的对角线互相垂直),与是平面内的两条相交直线,
平面.又平面过,平面平面.
(Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,,
根据三垂线定理,有.过点在平面内作于,
连结,则平面,于是,
所以,是二面角的一个平面角.
根据勾股定理,有.
,有,,,.
,,
二面角的大小为.
12.(湖南卷) 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,
分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为( )
A. B. C. D.
解:正方体对角线为球直径,所以,在过点E、F、O的球的大圆中,
由已知得d=,,所以EF=2r=。选D.
如图2,分别是矩形的边的中点,是上的一点,将,分别沿翻折成,,并连结,使得平面
平面,,且.连结,如图3.
图2 图3
(I)证明:平面平面;
(II)当,,时,求直线和平面所成的角.
解:解法一:(I)因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,又平面,
所以平面平面.
(II)过点作于点,连结.
由(I)的结论可知,平面,
所以是和平面所成的角.
因为平面平面,平面平面,,
平面,所以平面,故.
因为,,所以可在上取一点,使,
又因为,所以四边形是矩形.
由题设,,,则.所以,
,,.
因为平面,,所以平面,从而.
故,.
又,由得.
故.
即直线与平面所成的角是.
解法二:(I)因为平面平面,平面平面,,
平面,所以平面,从而.又,
所以平面.因为平面,所以平面平面.
(II)由(I)可知,平面.故可以为原点,分别以直线
为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图),
由题设,,,则,
,,相关各点的坐标分别是,
,,.
所以,.
设是平面的一个法向量,
由得故可取.
过点作平面于点,因为,所以,
于是点在轴上.
因为,所以,.
设(),由,解得,
所以.
设和平面所成的角是,则
.
故直线与平面所成的角是.
13.(湖北卷)平面外有两条直线和,如果和在平面内的射影分别是和,
给出下列四个命题:
①;
②;
③与相交与相交或重合;
④与平行与平行或重合.
其中不正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法,
可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体:
但不垂直,故①错;
但在底面上的射影都是故②错;相交,但异面,
故③错;但异面,故④错,选D
如图,在三棱锥中,底面,,是的中点,
且,.
(I)求证:平面;
(II)当角变化时,求直线与平面所成的角的取值范围.
解:(Ⅰ)以所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
于是,,,.
从而,即.
同理,
即.又,平面.
又平面.
平面平面.
(Ⅱ)设直线与平面所成的角为,平面的一个法向量为,
则由.
得
可取,又,
于是,
,,.
又,.即直线与平面所成角的取值范围为.
14.(江西卷)如图,正方体的棱长为,过点作平面的垂线,垂足为点,
则以下命题中,错误的命题是( )
A.点是的垂心
B.垂直平面
C.的延长线经过点
D.直线和所成角为
解: 因为三棱锥A—是正三棱锥,故顶点A在底面的射映是底面中心,A正确;面∥面,而AH垂直平面,所以AH垂直平面,B正确;
根据对称性知C正确。选D
右图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为.
已知,,,,.
(1)设点是的中点,证明:平面;
(2)求二面角的大小;
(3)求此几何体的体积.
解法一:
(1)证明:作交于,连.
则.因为是的中点,
所以.
则是平行四边形,因此有.
平面且平面,则面.
(2)如图,过作截面面,分别交,于,.
作于,连.
因为面,所以,则平面.
又因为,,.
所以,根据三垂线定理知,所以就是所求二面角的平面角.
因为,所以,故,
即:所求二面角的大小为.
(3)因为,所以.
.
所求几何体体积为.
解法二:
(1)如图,以为原点建立空间直角坐标系,
则,,,因为是的中点,所以,
.
易知,是平面的一个法向量.
因为,平面,所以平面.
(2),,
设是平面的一个法向量,则
则,得:
取,.
显然,为平面的一个法向量.
则,结合图形可知所求二面角为锐角.
所以二面角的大小是.
(3)同解法一.
15.(山东卷)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
解:从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案D。
如图,在直四棱柱中,已知
,,.
(Ⅰ)设是的中点,求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
解:(I)连结,则四边形为正方形,
,且,
为平行四边形,
.
(II) 以D为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则
设为平面的一个法向量,
由得,取,则.
设为平面的一个法向量,
由得,取,则.
由于该二面角为锐角,
所以所求的二面角的余弦值为
16.(陕西卷) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是
(A) (B) (C) (D)
解: 正三棱锥的高为1,由平面几何知识知底面边长为,
体积为,选C
已知平面α∥平面β,直线mα,直线nβ,点A∈m,点B∈n,记点A、B
之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则
A.b≤a≤c B.a≤c≤b C. c≤a≤b D. c≤b≤a
解:由图知c最小,a最大,选D
如图,在底面为直角梯形的四棱锥
ABCD,,BC=6.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的大小.
解法一:(Ⅰ)平面,平面..
又,.
,,,即.
又.平面.
(Ⅱ)过作,垂足为,连接.
平面,是在平面上的射影,由三垂线定理知,
为二面角的平面角.
又,
,
,
又,,.
由得.
在中,,.
二面角的大小为.
解法二:(Ⅰ)如图,建立坐标系,
则,,,,,
,,,
,.,,
又,平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为,
则,,
又,,
解得
。 平面的法向量取为,
,.
二面角的大小为.
17.(四川卷)如图,为正方体,下面结论错误的是( )
(A)平面
(B)
(C)平面
(D)异面直线与所成的角为
解:显然异面直线与所成的角为.选D.
设球的半径是1,、、是球面上三点,已知到、两点的
球面距离都是,且二面角的大小是,则从点沿球面经
、两点再回到点的最短距离是( )
(A) (B) (C) (D)
解:选C..本题考查球面距离.
如图,在正三棱柱中,侧棱长为,
底面三角形的边长为1,则与侧面
所成的角是____________
解:,点到平面的距离为,
∴,.
如图,是直角梯形,∠=90°,∥,=1,=2,
又=1,∠=120°,⊥,直线与直线所成的角为60°.
(Ⅰ)求证:平面⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
解法一:
(Ⅰ)∵
∴,
又∵
∴
(Ⅱ)取的中点,则,连结,
∵,∴,从而
作,交的延长线于,连结,则由三垂线定理知,,
从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为 ∴
在中,由余弦定理得
在中,
在中,
在中,
故二面角的平面角大小为
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,为正方形
∴
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在平面内,过作,建立空间直角坐标系(如图)
由题意有,设,
则
由直线与直线所成的解为,得
,即,解得
∴,设平面的一个法向量为,
则,取,得
平面的法向量取为
设与所成的角为,则
显然,二面角的平面角为锐角,
故二面角的平面角大小为
(Ⅲ)取平面的法向量取为,则点A到平面的距离
∵,∴
18.(浙江卷)若两条异面直线外的任意一点,则( )
A.过点有且仅有一条直线与都平行
B.过点有且仅有一条直线与都垂直
C.过点有且仅有一条直线与都相交
D.过点有且仅有一条直线与都异面
解:设过点P的直线为,若与l、m都平行,则l、m平行,与已知矛盾,故选项A错误。
由于l、m只有惟一的公垂线,而过点P与公垂线平行的直线只有一条,故B正确。
对于选项C、D可参考右图的正方体,设AD为直线l,为直线m;若点P在P1点,
则显然无法作出直线与两直线都相交,故选项C错误。若P在P2点,则由图中可知
直线均与l、m异面,故选项D错误。选B
已知点在二面角的棱上,点在内,且.若对于内异于
的任意一点,都有,则二面角的大小是 .
解:设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只
有作于H, 则面,故为.
在如图所示的几何体中,平面,
平面,,
且,是的中点.
(I)求证:;
(II)求与平面所成的角.
方法一:
(I)证明:因为,是的中点,
所以.
又平面,
所以.
(II)解:过点作平面,垂足是,连结交延长交于点,
连结,.是直线和平面所成的角.
因为平面,所以,
又因为平面,
所以,
则平面,因此.
设,,
在直角梯形中,
,是的中点,
所以,,,
得是直角三角形,其中,
所以.
在中,,
所以,故与平面所成的角是.
方法二:
如图,以点为坐标原点,以,分别为轴和轴,过点作与平面垂直的
直线为轴,建立直角坐标系,设,则,,
.,.
(I)证明:因为,,
所以,故.
(II)解:设向量与平面垂直,则,,
即,.
因为,,
所以,,
即,
,
直线与平面所成的角是与夹角的余角,
所以,因此直线与平面所成的角是.
19.(宁夏、海南卷)8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中
标出 的尺寸(单位:cm),可得这个几
何体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
解:如图,
选B
一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,
且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、
三棱锥、三棱柱的高分别为,,,则( )
A. B. C. D.
解:如图,设正三棱锥的各棱长为,
则四棱锥的各棱长也为,
于是
选B
如图,在三棱锥中,侧面与侧面
均为等边三角形,,为中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
证明:(Ⅰ)由题设,
连结,为等腰直角三角形,
所以,且,
又为等腰三角形,故,
且,从而.
所以为直角三角形,.
又.所以平面.
(Ⅱ)解法一:
取中点,连结,
由(Ⅰ)知,
得.
为二面角的平面角.
由得平面.
所以,又,故.
所以二面角的余弦值为.
解法二:建立空间直角坐标系.设,则.
的中点,.
.
故等于
二面角的平面角.
,
所以二面角的余弦值为.
2007年高考“算法”题
1.(全国Ⅰ)
2.(全国II)
3.(北京卷)
4.(天津卷)
5.(上海卷)
6.(重庆卷)
7.(辽宁卷)
8.(江苏卷)
9.(广东卷) 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形图
表示学生人数依次记为A1、A2、…A10(如A2表示身高(单位:cm)在[150,155 内的人数。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
(A)i<6 (B) i<7 (C) i<8 (D) i<9
解: 现要统计的是身高在160-180cm之间的学生的人数,即是要计算A4、A5、A6、A7的和,故流程图中空白框应是i<8,当i<8时就会返回进行叠加运算,当i8将数据直接输出,不再进行任何的返回叠加运算,此时已把数据A4、A5、A6、A7叠加起来送到S中输出,故选C。
图3是某汽车维修公司的维修点分布图,公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的某种配件各50件,在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么完成上述调整,最少的调动件次(n个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为
(A)15 (B)16
(C)17 (D)18
解:若按原定的分配,A点余10件,B点余5件,C点却4件,D点却11件。要使调动件次最少,须考虑从最近的点调到最多的缺件到所缺处,而D却的最多,与之相邻的点C也是剩余最多的,应优先考虑由C点的余货全数补给D点,再考虑由B点的填补临近点C的不足再
去填补经C补给后D点的不足,这就能使得调动件次
最少。选B
10.(福建卷)
11.(安徽卷)
12.(湖南卷)
13.(湖北卷)
14.(江西卷)
15.(山东卷)阅读右边的程序框图,若输入的是100,
则输出的变量和的值依次是( )
A.2500,2500 B.2550,2550
C.2500,2550 D.2550,2500`
【标准答案】:D.
【试题分析】:依据框图可得
。
【高考考点】:程序框图、数列的简单求和
【易错提醒】:对控制变量没有“控制”好,
而导致运算次数多或少。
【学科网备考提示】:程序框图作为新课标中的一种新的
题目类型,在今后高考试题中应该多有体现,
结合数列、不等式、函数等知识会有更多的
命题空间。.
16.(陕西卷)
17.(四川卷)
18.(浙江卷)
19.(宁夏、海南卷)如果执行右面的程序框图,那么输出的( )
A.2450 B.2500
C.2550 D.2652
【答案】:C
【分析】:由程序知,
2007年高考“复数”题
1.(全国Ⅰ) 设是实数,且是实数,则( )
A. B. C. D.
解:设a是实数,=是实数,则1,选B。
2.(全国II) 设复数满足,则( )
A. B. C. D.
解:设复数z=, (a,b∈R)满足=i,∴ ,,
∴ z =,选C。
3.(北京卷) .
解:。
4.(天津卷)是虚数单位( )
A. B. C. D.
解:,故选C.
5.(上海卷) 对于非零实数,以下四个命题都成立:
① ; ② ;
③ 若,则; ④ 若,则.
那么,对于非零复数,仍然成立的命题的所有序号是 .
解: 对于①:解方程得 a?? i,所以非零复数 a ??? i??使得,
不成立;②显然成立;对于③:在复数集C中,|1|=|i|,则?(,
所以③不成立;④显然成立。则对于任意非零复数,
上述命题仍然成立的所有序号是②④
已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程
的两个根,那么的值分别是( )
A. B.
C. D.
解: 因为2? a?i,b?i( i 是虚数单位)是实系数一元二次方程
的两个根,所以a=-1,b=2,所以实系数一元二次方程的两个
根是?所以选A
6.(重庆卷)复数的虚部为________.
解:【答案】:
7.(辽宁卷)
8.(江苏卷)
9.(广东卷) .若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b为实数),则b=
(A) 2 (B) (C) - (D) -2
解:(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i,而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数,那么由2-b=0
且1+2b≠0得b=2,故选A。
10.(福建卷) 复数等于( )
A. B. C. D.
解:=,选D.
11.(安徽卷) 若a为实数,=-i,则a等于
(A) (B)- (C)2 (D)-2
解:若a为实数,=-i,则,a=-,选B。
12.(湖南卷) 复数等于( )
A. B. C. D.
解:选C
13.(湖北卷)复数,且,若是实数,
则有序实数对可以是 .(写出一个有序实数对即可)
解:由复数运算法则可知,由题意得
,答案众多,如也可。
14.(江西卷)化简的结果是( )
A. B. C. D.
解:=,选C
15.(山东卷)若(i为虚数单位),则使的值可能是( )
A. B. C. D.
解:把代入验证即得D。
16.(陕西卷) 在复平面内,复数z=对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第在象限 (D)第四象限
解:Z=,选D
17.(四川卷)复数的值是( )
(A)0 (B)1 (C) (D)
解: .选A.
18.(浙江卷)已知复数,,则复数 .
解:
19.(宁夏、海南卷).是虚数单位, .
(用的形式表示,)
解:
2007年高考“极限”题
1.(全国Ⅰ)
2.(全国II)
3.(北京卷)
4.(天津卷)设等差数列的公差是2,前项的和为则.
解:根据题意知
代入极限式得.
5.(上海卷)
6.(重庆卷)设正数a,b满足, 则( )
A.0 B. C. D.1
解:
选B
7.(辽宁卷)已知函数在点处连续,则 .
解: 因为在点处连续,
所以,填-1
8.(江苏卷)
9.(广东卷)
10.(福建卷) 把展开成关于的多项式,
其各项系数和为,则等于( )
A. B. C. D.2
解:令x=1得an=1+2+22+……+2n=,
,选D.
11.(安徽卷) 如图,抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于
点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为
P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线,与
抛物线的交点依次为Q1,Q2,…,Qn-1,从而得
到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…,
Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时,这些三角形的面积
之和的极限为 .
解:如图,抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A(1,0),将线段OA的n等分点从
左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次
为Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…,
Qn-1Pn-2Pn-1, ∴ ,,,
当n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为.
整理得=。
12.(湖南卷) 下列四个命题中,不正确的是( )
A.若函数在处连续,则
B.函数的不连续点是和
C.若函数、满足,则
D.
解:的前提是必须都存在!选C.
13.(湖北卷)已知和是两个不相等的正整数,且,则( )
A.0 B.1 C. D.
解:法一 特殊值法,由题意取,
则,可见应选C
法二
令,分别取和,则原式化为
所以原式=(分子、分母1的个数分别为个、个)
14.(江西卷)( )
A.等于 B.等于 C.等于 D.不存在
解:=,选B
15.(山东卷)
16.(陕西卷) .
解:
17.(四川卷)( )
(A)0 (B)1 (C) (D)
解:原式或原式.选D.
18.(浙江卷)
19.(宁夏、海南卷)