3.1字母表示数讲义2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含答案）

3.1字母表示数讲义北师大版七年级数学上册
基础知识展示
知识点一 用字母表示数
内容 叙述 讲解 举例
用字母表示数就是用字母表示问题中的数或数量关系。 现实生活中存在一些数量关系或规律，不可能一一用具体的数表示出来，所以用字母来代替数，就能够揭示出它们的关系或规律。 如：在行程问题中，求路程的公式；路程=速度×时间，可用字母表示为s=vt.
知识详解 用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，从具体的数抽象到用字母表示数，是认识上的一个重大飞跃，用字母表示数是从实际问题中提炼出来的，具有简明、普遍的优越性。用字母表示数的特点：
（1）任意性 字母可以表示任意的数或式子
（2）限制性 字母的取值应使具体式子有意义
（3）确定性 字母的取值一旦确定，式子的值也随之确定
（4）一般性 用字母表示数能更准确地反映事物的规律，更具有一般性
特别提醒 ⑴同一问题中，相同字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同字母表示。 ⑵不同问题中，不同数量可以是相同字母，但字母所表示的含义不同。 ⑶用字母表示实际问题中的某个数量时，字母的取值应使具体式子有意义且符合实际情况。
出题角度 字母表示数的引入
例1.用含字母的式子填空：
（1）比a大1的数：　 　；（2）m的四分之三：　　 ；
（3）x的一半减y的差： 　；（4）比a的三分之一小2的数：　　 ．
分析：（1）求大数，用加法；
（2）求部分，让整体×部分所占的比值即可；
（3）被减数是x的一半，减数是y，列出式子即可；
（4）求小数，用减法即可．
解：（1）a+1；（2）m；（3）﹣y；（4）﹣2．
思维点拨：根据关键词找到相应的等量关系是解决本题的关键．
针对训练1.用含字母的式子填空：
（1）x的2倍与y的差：　 　（2）x的倒数与y的和： 　
（3）m与n的平方和：　 　（4）三个连续奇数，中间一个是2n+1，则最小的一个奇数是　 　．
知识点二 用字母表示规律
内容 叙述 根据图形或数列提供的信息探索规律，解决这类问题，首先要从简单图形或已知数量关系入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，图形或数列在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，进而用字母表示出这个一般性的结论。
知识详解 用字母表示图形规律的步骤：（1）观察图形特征，特别是图形的共同特征；（2)根据图形的共同特征，猜测图形规律；（3）用字母表示出所猜测的规律。
特别提醒 利用字母表示图形规律时，当规律表示出来后，要再次利用已知图形进行验证，若不成立，则需要重新探索。
出题角度一 用字母表示图形规律
例2.如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n行有　 　个点．
解析：∵2=3 21﹣1﹣1，5=3 22﹣1﹣1，11=3 23﹣1﹣1，23=3 24﹣1﹣1，…，
∴第n行有3 2n﹣1﹣1个点．
答案：3 2n﹣1﹣1
思路归纳： 图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．　　
针对训练2.如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC分成　 　个互不重叠的小三角形．
知识点三 用字母表示运算律、公式
内容 叙述 用字母表示运算律和公式，可使运算律和公式体现的数量关系更加简明易懂，且具有代表性。
知识详解 （1）用字母表示运算律：表示三个数。 ①加法交换律：；②加法结合律：；③乘法结合律：；④乘法结合律：；⑤乘法对加法的分配率：. （2）常见平面图形的周长和面积及几何体的相关公式（用C表示周长，S表示面积，V表示体积） ①三角形的周长和面积公式分别为，，其中三角形的三边长，h表示边上高。②长方形的周长和面积公式分别为,,其中m表示长方形的长，n表示长方形的宽。③圆的周长和面积公式分别为，，其中r表示圆的半径。④长方体的表面积和体积公式分别为，，其中分别表示长方体的长、宽、高。⑤圆柱的侧面积、表面积、体积公式分别为，，，其中r,h分别表示圆柱的底面圆的半径和高。
特别提醒 用字母表示运算律、公式时，式子中的字母的取值并不是任意的，首先要使式子本身有意义，其次要使实际问题有意义，特定的字母表示特定的数，如用表示圆周率等。
出题角度1 用字母表示图形周长、面积或几何体的体积
例3.一个长方形的周长是30cm，若长方形的一边长为a cm，用代数式表示该长方形的面积是　 　．
解析：首先求得长方形的另一边长为（15﹣a）cm，进一步利用长方形的面积计算公式列出算式即可．
长方形的面积是（﹣a）a=15a﹣a2（cm2）．
答案：（15a﹣a2）cm2．
思维点拨：此题是用字母表示图形周长、面积或几何体的体积，掌握长方形的周长和面积计算公式是解决问题的关键．
针对训练3.如图是一个长方形的铝合金窗框，其长为a（m），高为b（m），装有同样大的塑钢玻璃，当第②块向右拉到与第③块重叠，再把第①块向右拉到与第②块重叠时，用含a与b的式子表示这时窗子的通风面积是（　　）m2．
A． B． C． D．
出题角度2 用字母表示阴影部分的面积
例4.“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分），设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，y．用式子表示“囧”的面积S；（用含a、x、y的式子表示）
分析：根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可；
解：S=a2﹣xy×2﹣xy=a2﹣2xy；
思维点拨：解决本题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．关系为：“囧”的面积=正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积．
针对训练4.如图所示，正方形的边长为a，试用字母a表示阴影部分的面积．
误区诊断展示
误区 不能准确理解题意
例 某市出租车的收费标准为：起步价5元，3千米以后每千米1.4元，则乘出租车走x（x＞3，且x是正整数）千米应付 元。
错解：(5+1.4x） 正解：
错因分析：本题产生错解的原因是没有准确理解题意，不能恰当、合理地用字母表示数。因为x＞3，所以应付费分为两部分，一部分是起步价5元，另一部分为走（x-3)千米应付1.4（x-3）元。
能力拓展展示
能力拓展一 用字母表示数量关系
例1． 某农场第一车间有x人，第二车间比第一车间人数的少30人，那么：
（1）两个车间共有　 　人？
（2）如果从第二车间调出10人到第一车间，调动后，第一车间的人数为　 　人，第二车间的人数
为　　 人．
（3）求调动后，第一车间的人数比第二车间的人数多几人？
分析：（1）由题意可知：第一车间有x人，第二车间人数为x﹣30，相加即可得出答案；（2）第一车间加10，第二车间减10得出答案；（3）把（2）中的代数式相减即可．
解：（1）x+x﹣30=x﹣30；
（2）第一车间的人数为（x+10）人，第二车间的人数为x﹣30﹣10=（x﹣40）人；
（3）x+10﹣（x﹣40）=（x+50）人．
答：调动后，第一车间的人数比第二车的人数（x+50）人．
思维点拨：用字母表示的式子如果是用加减形式表示的，并且后面带有单位时，应将式子用括号括起来．
能力拓展二 用字母表示图形的面积
例2．四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，连接BD，BF和DF后得到三角形BDF，请用含字母a和b的代数式表示三角形BDF（阴影部分）的面积．
分析：
解：如图，S△BFD=S△BCD+S梯形CEFD﹣S△BEF=a2+（a+b）×b﹣（a+b）b．
思路归纳；解决本题的关键是根据题意将所求图形的面积分割，从而利用面积和进行解答．
能力拓展三 用字母表示数的探究题
例3．小张在某月的日历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为33，这三个数在日历中的排布不可能是（　　）
A． B． C． D．
解析：
分类讨论．日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．
A. 设最小的数是x．x+x+1+x+2=33，x=10 故本选项正确
B. 设最小的数是x．x+x+6+x+7=33，x= 故本选项错误
C. 设最小的数是x．x+x+7+x+8=33，x=6 故本选项正确
D. 设最小的数是x．x+x+7+x+14=33，x=4 故本选项正确
答案：B
思维点拨：解决本题的关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．锻炼了学生理解题意能力，关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．
能力拓展四 用字母表示数的实际应用
例4．某科技馆对学生参观实行优惠，个人票为每张6元，另有团体票可售，票价45元，每票最多限10人入馆参观．
（1）如果参观的学生人数36人，至少应付多少元？
（2）如果参观的学生人数为48人，至少应付多少元？
（3）如果参观的学生人数为一个两位数（a表示十位上的数字，b表示个位上的数字），用含a、b的代数式表示至少应付给科技馆的总金额．
分析：（1）若参观的学生人数36人，则应买3张团体票，买6张个人票．
（2）参观的学生人数为48人，分两种情况进行计算，买5张团体票应付225元，买4张团体票，8张个人票应付228元，故至少应付225元．
（3）应分类讨论，当0≤b≤7，且为整数时，至少应付（45a+6b）元；当8≤b≤9，且为整数时，至少应付（45a+45）元．
解：（1）若参观的学生人数36人，则应付费用：3×45+6×6=171（元）
（2）参观的学生人数为48人，如买4张团体，8张个人票，应付：4×45+6×8=228（元），
若买5张团体票，应付：5×45=225＜228，∴至少付225元．
（3）当0≤b≤7，且为整数时，至少应付（45a+6b）元；
当8≤b≤9，且为整数时，至少应付（45a+45）元．
思维点拨：解决用字母表示数的实际应用问题时，要注意两点：一是腰理解日常生活中一些实际问题的数量关系，如行程问题、销售问题、增长率问题等；二是要明确常见的图形的周长、面积、体积公式．
知识要点展示