第二十二章 专题01二次函数的图像与性质（30题）（含解析）2023-2024学年九年级数学上册人教版

专题第01讲 二次函数的图像与性质（30题）
（2023 怀集县一模）
1．已知抛物线，点，是抛物线上两点，若，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
（2023 南湖区校级开学）
2．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
（2022秋 华容区期末）
3．若点、、三点在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2023 宝鸡一模）
4．已知二次函数y=x2 2x 3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当 13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 法库县期末）
5．已知抛物线（）过两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023 温州模拟）
6．若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
（2023 西安二模）
7．已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（2023 上城区模拟）
8．已知二次函数上的两点满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2023春 灌云县期中）
9．已知，当且x为整数时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
（2023 西湖区校级二模）
10．已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图像经过点，两点，则的值可能是（　　）
A．0 B． C． D．
（2023春 鼓楼区校级期末）
11．已知抛物线经过点，，，，那么的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．t
（2023 全椒县一模）
12．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 青秀区校级期末）
13．在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( )
A． B． C． D．
（2022秋 滨城区校级期末）
14．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
（2023 濉溪县模拟）
15．已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
（2023春 鼓楼区校级期末）
16．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 惠民县期末）
17．如图所示，二次函数和一次函数在同一坐标系中图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2023 盘龙区校级开学）
18．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③为任意实数；④；其中正确的结论有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
（2022秋 玉泉区校级期末）
19．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
（2023春 青秀区校级期末）
20．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022秋 丰都县期末）
21．二次函数的图象如图所示，下列结论
①②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022秋 建昌县期末）
22．已知二次函数的图象大致如图所示．下列说法正确的是（ ）

A．
B．当时，
C．
D．若在函数图象上，当时，
（2022秋 新抚区期末）
23．如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2022秋 莲池区校级期末）
24．已知二次函数，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示．下列结论：①；②当时，；③；④关于x的一元二次方程的解是．其中正确的有（ ）
x … 1 …
y … 0 …
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023 扎兰屯市一模）
25．如图，函数的图像的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图像上，则；⑤
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
（2023 深圳模拟）
26．二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ）
①；②；③；④（为任意实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023 镜湖区校级二模）
27．如图所示，点A，B，C是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)(x为任意实数)上三点，则下列结论：① ②函数y=ax2+bx+c最大值大于4 ③，其中正确的有（ ）
A．① B．②③ C．①③ D．①②
（2023 丰顺县一模）
28．如图是二次函数的图象，有如下结论：①；②；③：④．其中正确的结论有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
（2022秋 合川区期末）
29．如图是二次函数图象的一部分，下列结论：①：②；③；④；⑤若，是该函数图象上两点，则．正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2023春 惠民县期末）
30．已知二次函数的图象如图所示，有如下6个结论：①；②；③；④：⑤（的实数）；⑥其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
试卷第2页，共9页
试卷第9页，共9页
参考答案：
1．B
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，得出，得出抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，
∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
又∵，
∴点到对称轴的距离近．
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求出抛物线的对称轴，熟练掌握抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大．
2．A
【分析】根据抛物线的对称轴和开口方向，再由A，B，C三个点离对称轴的远近，即可解决问题．
【详解】解：由题知，
抛物线的开口向上，且对称轴是直线，
所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小．
又，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键．
3．D
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：点、、三点在二次函数的图象上，
，，．
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，，的值是解题的关键．
4．B
【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．
【详解】解：y=x2 2x 3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2 2x 3的图象如图：
由图象知．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．
5．C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，可知时，抛物线开口向上，对称轴为y轴，再根据点A、B的横坐标离对称轴的距离即可求解．．
【详解】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为轴，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，
点A离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，
．
故选:C．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要熟练其相关的性质并能运用数形结合的思想解题．
6．B
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，在直线上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
7．D
【分析】先确定对称轴，根据把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据抛物线开口向上，对称轴的右侧y随x的增大而增大比较即可．
【详解】解：因为二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，
所以对称轴，
设点A的对称点为，
所以，
解得，
因为抛物线开口向上，
所以对称轴的右侧y随x的增大而增大，
因为，
所以．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的开口方向，增减性，对称性，熟练掌握增减性是解题的关键．
8．D
【详解】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及求解．
【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，，
∴，即点P，Q关于对称轴对称，此时，
将代入得，
当时，当时，，
当时，，故选项A，C不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴，，
当时，，，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解决此类问题要明确抛物线的开口方向、对称轴和增减性，根据的取值范围确定的取值范围．
9．D
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵当且x为整数时，y随x的增大而减小，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．
10．D
【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项．
【详解】解：如下图，根据题意可知，该二次函数开口向下，
对称轴为，
∵，
∴，即与点相比，点更靠近对称轴，
即，整理得，
∴当时，有，
解得；
当时，有，
解得．
综上所述，或，
所以，选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
11．C
【分析】抛物线经过点，，得到抛物线的对称轴为直线，得到对称点坐标为，即当时，，即可得到的值．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴对称点坐标为，
∴当时，，
即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数图象是轴对称图形是解题的关键．
12．B
【分析】先由二次函数的图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
13．D
【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案.
【详解】解：二次函数为 ，
，
二次函数的开口方向向上，
排除C选项.
一次函数，
，
一次函数经过轴正半轴，
排除A选项.
当时，则，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数经过轴正半轴，
排除B选项.
当时，则
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数经过轴负半轴，
D选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.
14．C
【分析】先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项错误；
B．由抛物线不过原点，故本选项错误；
C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项正确；
D．由抛物线可知，，，由直线可知，，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键．
15．B
【分析】根据二次函数图象得出，，二次函数与x轴的交点坐标为和，从而判断出二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，，即可得出答案．
【详解】解：由二次函数的图象可知，，，二次函数与x轴的交点坐标为和，
∴二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出，．
16．C
【分析】首先联立两个函数求出交点坐标，然后由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由，解得或，
∴一次函数与二次函数的交点为，，
A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，由一次函数与二次函数可知，两图象交于点，则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
17．A
【分析】利用二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置，得到a、b的范围，再根据a、b的范围确定一次函数经过的象限，即可作出判断．
【详解】A．由二次函数图象可知，抛物线开口向上，
∴
∵对称轴在y轴右侧，
∴，则，
当时，一次函数图象经过一、三、四象限，
故选项符合题意．
B．由二次函数图象可知，抛物线开口向上，
∴
∵对称轴在y轴左侧，
∴，则，
当时，一次函数图象经过一、二、三象限，
故选项不符合题意．
C．由二次函数图象可知，抛物线开口向下，
∴
∵对称轴在y轴右侧，
∴，则，
当时，一次函数图象经过一、二、四象限，
故选项不符合题意．
D．由二次函数图象可知，抛物线开口向下，
∴
∵对称轴在y轴左侧，
∴，则，
当时，一次函数图象经过二、三、四象限，
故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数及一次函数的图象和性质是解答本题的关键．
18．B
【分析】根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称轴为直线和开口向下，即可解决问题．
【详解】解：由图象可知，图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴，，，
∴，
∴．
故①错误．
∵抛物线的对称轴是直线，
∴时与时的函数值相等．
又由图象可知，
时，函数值大于．
所以时，函数值也大于．
即．
故②正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线，
所以当时，函数有最大值．
则当为任意实数时，总有，
即．
故③错误．
因为抛物线与轴有两个交点，
所以，
即．
故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，能根据所给图象得出，，的正负并巧妙的利用抛物线的对称性是解题的关键．
19．B
【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与轴的交点，可得，，，由对称轴为直线，可得，当时，函数有最大值；由经过点，可得，；再由，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，所以（1）正确；
对称轴为直线，
，
，
，
，
经过点，
，
，
，
，
，
，故（2）不正确；
，故（3）正确；
，，，
，故（4）正确；
当时，函数有最大值，
，
为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（4）（5），共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
20．C
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
∴，，，
∴，
，故①正确；
②对称轴是直线，与轴交点在左边，
二次函数与轴的另一个交点在与之间，
，故②正确；
③对称轴是直线，图象开口向下，
时，函数最大值是；
为任意实数，则，
，故③错误；
④，
由②得，
，故④正确；
⑤，
，
，
，
，
，
，，
，故⑤错误；
故正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键．
21．D
【分析】①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵当时，取得小值，
∴，
即m为任意实数，则故③正确，
④∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴；故④正确；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．
22．B
【分析】根据二次函数的系数与图像的关系解答即可；
【详解】根据对称轴为直线可得：
故，故A错误；
根据函数图像可得当时，，故B正确；
当时，，故C错误；
若在函数图象上，只有当时，，故D错误；
故选B
【点睛】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点．
23．C
【分析】观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得，再由对称轴是直线，可得，故①正确；再根据抛物线与x轴有2个交点，可得，故②正确；观察图象得：当时，，可得，故③错误；观察图象得：当时，，再由，可得，故④正确；再由，可得⑤正确，即可求解．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，
∴，故②正确；
观察图象得：当时，，
即，故③错误；
观察图象得：当时，，
∵，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
24．C
【分析】观察图表可知，开口向下，，二次函数在与时，值相等，得出对称轴为直线，即可得出，在根据图象经过点，得出由此判断①；根据二次函数的对称性求得抛物线与轴的交点，即可判断②；根据，即可判断③；根据抛物线的对称性求得点关于直线的对称点是，即可判断④．
【详解】解：①由于二次函数有最大值，
，开口向下，
对称轴为直线，
，
图象经过点，
，
，故①说法正确；
②对称轴为直线，
点关于直线的对称点为，
，开口向下，
当时，，故②说法正确；
③当时，，
，故③说法错误；
④点关于直线的对称点是，
关于的一元二次方程的解是，，故④说法正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线是解题的关键．
25．C
【分析】根据二次函数的图像及性质逐一分析即可得解．
【详解】解：∵函数的图像开口向下，
∴，
∵函数的图像的顶点为，
∴，，，
∴，，，故③错误，
∴，，，故①错误，②⑤正确，
∵点和点都在函数的图像上，且，函数对称轴为，
∴点和点关于直线对称，
∴，故④正确，
综上正确的个数有3个，
故选；C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的对称性以及二次函数的最值是解题的关键．
26．C
【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用，得到，则，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，，
∴，
∴，
∴，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
即，所以③正确；
∵时，y有最小值，
∴（m为任意实数），
∴，所以④错误；
综上，①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键．
27．B
【分析】根据抛物线的性质解答本题.
【详解】①：由A，B，C三点位置可知，抛物线对称轴位于B点左侧，所以①，错误.
②函数y=ax2+bx+c最大值大于4：该抛物线开口向下，顶点位于B上方，故正确.
③：当x=1时，，正确.
故答案选B
【点睛】本题考查了抛物线的有关性质，掌握抛物线性质是解答本题的关键.
28．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵二次函数的图象对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∴，①错误；
当时，，②正确；
∵，
∴，即，③错误；
设抛物线与x轴的交点横坐标分别为，，
由图象可得，，，
∴当时，即，
∴，
∴，即，④正确；
∴正确的结论有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是逐条分析4个结论的正误，解决该题型题目时，根据二次函数的图象找出二次函数系数的正负是关键．
29．B
【分析】①根据抛物线的开口方向可以判定，根据对称轴为直线，可得，得出，即，根据抛物线与y轴交于负半轴，得出，即可得出，从而判断①②；
③根据时，，得出，可以判定③；
④根据时，可以判定④；
⑤根据，可以得出，判断⑤．
【详解】解：①②∵抛物线的开口方向向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，②错误；
③根据函数图象可知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的交点在的左侧，
∵与关于对称，
∴抛物线与x轴的交点在的右边，
∴时，，
∴，故③正确；
④与的中点为，根据函数图象可以看出，在与抛物线与x轴靠右侧的交点之间，
∵在的左侧，
∴当时，，
∴，
∴，故④错误；
⑤∵，
∴，关于直线对称，
∴，故⑤正确；
综上分析可知，正确的有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是数形几何，熟练掌握二次函数的图象和性质．
30．C
【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即，对称轴为，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
②当时，，即，故②错误；
③由对称性知，当时，函数值大于0，
∴，故③正确；
④当时，函数值小于0，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故④正确；
⑤当时，y有最大值，此时，
当时，，
∴，
∴，即（的实数）．故⑤正确．
⑥由图象知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
∴，即，故⑥正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和系数的关系．
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