第二十二章 专题03二次函数的最值与存在性问题（20题） （含解析）2023-2024学年九年级数学上册人教版

专题第03讲 二次函数的最值与存在性问题（20题）
（2023春 鼓楼区校级期末）
1．在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

(1)试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；
(2)已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足，试求当的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？
（2023 苏州一模）
2．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
(1)当t为何值时，的面积为；
(2)求四边形面积的最小值．
（2023春 汉寿县期中）
3．如右图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点为直线与抛物线在轴下方的一个交点，点为此抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若直线为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当点在直线下方时，求面积的最大值．
（2023 鄄城县一模）
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数及直线的表达式．
(2)过点作轴交直线于点，求的最大值．
(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023春 铜梁区校级期中）
5．如图，已知二次函数图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接．

(1)求；
(2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．
（2023 襄阳模拟）
6．已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；
(2)在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若，且，求a的取值范围．
（2023 崇川区校级开学）
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段上方的抛物线上一动点，过P作，当最大时，求出此时P点的坐标以及的最大值．
（2023 平潭县模拟）
8．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点M的坐标．
(3)如图，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过D作于点E，设，求m的最大值及此时P点坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值．
（2023 阜新）
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023 防城区二模）
11．如图1，已知抛物线与轴交于点和点B，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，轴与BC交于F，求的最大值，并说明此时的面积是否最大．
(3)已知点，，连接．若抛物线向上平移k（）个单位长度时，与线段只有一个公共点，请求出k的取值范围．
（2023 明水县模拟）
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0，3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP＇C，那么是否存在点P，使四边形POP＇C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，使△BPC的面积最大，求出点P的坐标和△BPC的面积最大值．
（2023 晋中模拟）
13．综合与探究
如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若P是直线下方抛物线上的一动点，连接，过点P作于点D，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标和线段的长；
(3)若E是抛物线上的任意一点，过点E作轴，交直线于点Q，抛物线上是否存在点E，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
（2022秋 曲周县期末）
14．如图，抛物线与x轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
（2022秋 云阳县期末）
15．如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．
(3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上确定一点M，使得是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
（2023 湟中区校级开学）
16．如图1，抛物线经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(3)如图2，点M是线段上的点（不与A、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示的长，并求出的最大值．
（2023 太平区二模）
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线下方抛物线上的一动点，于点M，轴交于点N．求线段的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023 昭平县二模）
18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
（2023 芝罘区一模）
19．如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
（2023春 东莞市校级月考）
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．点P是直线下方抛物线上的一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成1：3两部分，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
试卷第2页，共10页
试卷第1页，共10页
参考答案：
1．(1)；证明见解析
(2)当时，时，面积有最大值为
【分析】（1）由，，，根据全等三角形的判定定理证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明；
（2）结合图形得筝形的面积为：，再由题意代入，利用完全平方公式求解即可得出最值．
【详解】（1）解：，证明如下：
证明：在和中，
，
，
，
，，
．
（2）筝形的面积为：，
∵，
∴，
∴，
∴当时，时，面积有最大值为．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、利用完全平方公式变形求最值，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
2．(1)或时，的面积为；
(2)四边形面积的最小值为．
【分析】（1）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论；
（2）利用配方法求出函数顶点坐标求得面积的最大值，即得四边形面积的最小值．
【详解】（1）解：由题意得：，，
；
由题意得：，
解得或，
∴或时，的面积为；
（2）解：∵且，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值是．
此时，四边形面积取得最小值，最小值为．
【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出的长是解题关键．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点C坐标得到c值，再将A，B坐标代入，解之，即可求解；
（2）联立抛物线表达式和的表达式，解之，根据点D的位置可得结果；
（3）设点，分点P在第三象限和第四象限分别求解．
【详解】（1）解：由抛物线与轴的交点为可知：
，
把点，点代入抛物线可得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）由题意可得方程组：，
解得：，或，
又点为直线与抛物线在轴下方的一个交点.
点的坐标为；
（3）设点，
①当点在第三象限时，
设直线与轴交于点，设点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：，则，
，
②当点在第四象限时，
设交轴于点，
同理可得：，
综上，，
，故有最大值，当时，其最大值为；
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
4．(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；
(2)
(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；
（2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD＝，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，证明△MEN≌△OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，设点M坐标为（1，a），可得NE＝MF＝a，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标．
【详解】（1）解：把点B，点C的坐标代入解析式中，
得：，
解得：，
∴二次函数得表达式为；
设BC的函数表达式为y=kx+b，
把点B，点C的坐标代入可得：，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为：；
（2）如图，∵轴，
∴点P和点D的横坐标相同，
设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），
PD＝，
当x=时，PD有最大值；
（3）分情况讨论：
①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，
∵为等腰直角三角形，且为直角，
∴NM＝MO，∠NMO＝90°，
∴∠NME＋∠OMF＝90°，
∵∠NME＋∠MNE＝90°，
∴∠MNE＝∠OMF，
又∵∠MEN＝∠OFM＝90°，
∴△MEN≌△OFM（AAS），
∴OF＝EM，MF＝NE，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴OF＝EM＝1，
设点M坐标为（1，a），则NE＝MF＝a，
∴N（1-a，1+a），
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：，
∴N（，），
②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，
同理可得：点N坐标为（，）；
③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，
同理可得：点N坐标为（，）；
④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，
同理可得：点N坐标为（，）；
综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键．
5．(1)4
(2)当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为
(3)使以为边的菱形的N点有：
【分析】（1）已知函数解析式，分别令，解方程即可求得B、C、D的坐标，再运用三角形面积公式即可求得答案．
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为设，可表示出，利用等腰直角三角形性质可将表示的长，进而用点坐标将表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得的最大值．
（3）菱形的存在性问题先转化为求以为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
解得：
∴
∴
∴
（2）解：设直线的解析式为，
则
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为
（3）解：依题意，抛物线沿射线平移个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位．
平移后抛物线解析式为：，对称轴为直线．
故设点又
∴
由题意知，以为腰的等腰三角形有两种情况：
如图1，当时，

则，
解得：
由平行四边形对角线互相平分可知：
∴
②如图2，当时，

则
解得：
∴
∴
综上：使以BM为边的菱形的N点有：
【点睛】题目主要考查二次函数综合题．综合性较高，要求学生有较强的逻辑推理能力和计算能力．
6．(1)
(2)面积最大值为，
(3)或
【分析】（1）设抛物线的顶点式为，将N点代入即可求a的值，从而确定函数的解析式；
（2）设，先求出直线的解析式，过P点作轴交于点G，则，，从而得到，当时，的面积有最大值，此时，求出直线与x轴的交点为，再求，即可求四边形面积的最大值；
（3）先求出抛物线的解析式，分别求出当时以及当时，a的取值，即可．
【详解】（1）解：∵点M是抛物线的顶点，
∴可设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或1，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：设，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
过P点作轴交于点G，
∴，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点为，
∴，
∴四边形面积的最大值为；
（3）解：将和两点代入，
∴，解得，
∴，
当时，，解得：，
当时，，解得，
∴或．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．
7．(1)抛物线的解析式为；
(2)当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过P点作轴交于于E点，直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数性质即可求得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于、两点，
∴ ，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴，交于点E，如图，

∵抛物线交y轴于点C，
∴，
设直线的解析式为，则 ，
解得： ，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
8．(1)
(2)点M的坐标为，，，
(3)最大值为；
【分析】（1）把，两点代入解析式，计算即可．
（2）根据两点间距离公式表示出BC、MB、MC的长度，再根据三个顶点分别为直角顶点进行分类讨论．
（3）先求出，得到，进而表示出，转化为顶点式求出最值即可．
【详解】（1）解：把，两点代入解析式，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线对称轴为
故设，
根据两点间距离公式可得，
，，
若C为直角顶点，则有
则
解得；
若B为直角顶点，
则
解得；
若M为直角顶点，
则
解得；
综上所述，点M的坐标为，，，．
（3）解：如图，设PD与x轴的交点为F，点，
，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
直线BC的解析式为，
，
，
连接AD，
抛物线开口向下，
m有最大值，且当时，且为，
此时，
故点
【点睛】此题考查了二次函数的解析式、两点间距离公式及最值的求法，一次函数解析式的求法，解题的关键是熟练掌握解析式的求解与函数的性质．
9．(1)
(2)
【分析】（1）由题意利用待定系数法将点、，代入，列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可得出二次函数的表达式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，过点D作轴于点M，延长交于点H，设，则，表示出，化为顶点式即可得出的面积的最大值．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点、，，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）设直线的解析式为，
∵过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点D作轴于点M，延长交于点H，

设，则，
∴，
∴
，
，
∴当时，的面积取得最大值为．
【点睛】本题属于二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识点，数形结合是解题的关键．
10．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果；
（2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果；
（3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：如图1，

作于，作于，交于，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需的边上的高最大时，的面积最大，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，

当点在线段上时，连接，交于，
点和点关于对称，
，
设，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
∴；
如图3，

当点在的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
11．(1)抛物线解析式为；
(2)的最大值是，此时的面积最大，理由见解析；
(3)或．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）先求出关于直线对称的点为，然后设平移后的抛物线为，进而分三类讨论即可得解，一是当与直线DE只有一个交点时，二是当过时，三是当过时．
【详解】（1）解∶∵抛物线与y轴交于C，
∴，
∵，
∴，
∴点，
将，，代入抛物线，得
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入得，
∴，
∴直线的解析式为．
设，则，
∴
，
当时，的最大值是，
设与交于M，则
，
∴此时的面积最大．
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点为，
∵抛物线向上平移k（）个单位长度时，与线段只有一个公共点，
∴平移后的抛物线为，
∵，
当与直线DE只有一个交点时，令，得，
化简得，、
∴，
∴，
当过时，有，
解得，
当过时，有，
解得，
∴抛物线向上平移k（）个单位长度时，与线段只有一个公共点，请求出k的取值范围为或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养以及二次函数与直线的交点．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
12．（1）二次函数的表达式为；（2）存在，P点的坐标为；（3）点P的坐标为，的面积最大值为．
【分析】（1）根据待定系数法，可求得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的关系，可得答案；
（3）根据面积的和，可得二次函数，根据二次函数的性质即可求出答案．
【详解】（1）将B、C两点坐标代入得，解得
所以二次函数的表达式为．
（2）如图，
存在点P，使四边形POP＇C为菱形．
设P点坐标为，PP＇交CO于E，
若四边形POP＇C是菱形，则有PC=PO．
连接PP＇则于E
OE=CE=，
．
，解得，（不合题意，舍去）
P点的坐标为
（3）如图，
过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P，易得，直线BC的解析式为，则点Q的坐标为．
当时，的面积最大，此时点P的坐标为，的面积最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，利用待定系数法求函数的解析式；利用菱形的性质以及利用面积的和得出二次函数是解题的关键．
13．(1)
(2)面积的最大值是 ，此时点P的坐标是，的长是
(3)存在符合条件的点E，点Q的横坐标为或或或
【分析】（1）将代入中，列方程组并解该方程组求出a、b的值，即可得到该抛物线的函数表达式．
（2）先求得C点坐标，勾股定理求出的长度，再求得直线的解析式，作轴，交于点F，设，则，表示出，由，得，于是得到，即可求出面积的最大值，点P坐标，的长度．
（3）由，可知当时，以为顶点的四边形是平行四边形，设点Q的横坐标为m，则，，所以，则，解方程求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点
，解得：
∴抛物线的函数表达式为．
（2）抛物线，当时，
设直线的函数表达式为，
则，解得
∴直线的函数表达式为
如图2，作轴，交于点F，设，
则
，
当时，
当时，
面积的最大值是，此时点P的坐标是，的长是．
（3）存在，
如图3，
当时，以为顶点的四边形是平行四边形，
设点Q的横坐标为m，则，
由解得，
由解得，
综上所述，存在符合条件的点E，点Q的横坐标为或或或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，熟练掌握以上知识且运用数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键．
14．(1)
(2)存在，
(3)存在，点P的坐标为，8
【分析】(1)运用待定系数法计算即可．
(2)判定，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标．
(3)设，过点P作于点E，根据，构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，解得，∴该抛物线的解析式为．
（2）存在，点．理由如下：∵抛物线与x轴交于，两点，∴，是对称点，且，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，
当时，，故点．
（3）如图，设，过点P作于点E，
∵抛物线与x轴交于，两点，且，
∴，，，，
∴，
，
故当时，取得最大值，且为8，此时．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
15．(1)
(2)S有最大值，此时点的坐标为；
(3)点的坐标为或或或，过程见解析．
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，，
，解得．
抛物线的解析式为：；
（2）如图，过点作轴的垂线，交于点．
设直线的解析式为，由题意，得
，解得，
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值，
此时，
此时点的坐标为；
（3）解：在轴上存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
②当为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
③当为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．
16．(1)
(2)
(3)的最大值为
【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：，将点C坐标代入解析式，求出a即可得出结论；
（2）先判断出点P是直线与抛物线对称轴的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论；
（3）点N在抛物线上，则，由上可得直线的表达式为：，再由轴，可得，进而可表达的长，再利用二次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴可设抛物线的解析式为：，
将代入解析式可得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴直线为，
∴点A，B关于抛物线对称轴直线对称，
∴直线与对称轴直线的交点为点P，
设直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴
（3）解：由（2）得直线的表达式为：，
∵点N在抛物线上，
∴
∵轴，
∴，
∴
∴的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合应用题目．需要同学们具备扎实的函数基础．
17．（1）；（2），P（，）；（3）（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）
【分析】（1）将A、B坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）证明∠PNM=45°，得到PM=PN，求出PN，利用二次函数的性质得到PN的最大值即可得到结果；
（3）画出图形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，得到方程，解之可得点E坐标．
【详解】解：（1）将A，B代入中，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∵B（3，0），
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵PN∥y轴，
∴∠PNM=45°，
∵PM⊥BC，
∴PM=PN，则当PN最大时，PM最大，
设BC的解析式为y=mx+n，
则，解得：，
∴BC的解析式为y=x-3，
设P（x，），N（x，x-3），
则PN==，
当x=时，PN最大，则PM=PN==，
此时P（，）；
（3）∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
设Q（x，），
如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，
∵∠CEQ=90°，即∠QEN+∠CEM=90°，∠QEN+∠EQN=90°，
∴∠CEM=∠EQN，又∠M=∠N=90°，EQ=EC，
∴△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
则，
即，
解得：x=-2或x=3（舍），
∴OE=CM=2+3=5，即E（-5，0）；
如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，
同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
∴，
解得：x=或（舍），
∴OE=CM=，即E（，0）；
如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，
此时E（0，0）；
如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，
同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
∴，
解得：x=（舍）或，
则OE=CM=，即E（，0）；
综上：点E的坐标为（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，理解坐标与图形性质，进行分类讨论是解题的关键．
18．(1)
(2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是
(3)或
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案；
（2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题；
（3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意．
【详解】（1）解：，
点A、B的坐标分别为，
将点A、B的坐标代入函数表达式，
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）当时，，
点C的坐标为，
设直线的关系式为，将代入，
，解得
直线的关系式为，
设，则，
当时，线段长度有最大值，
存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是；
（3），
，
二次函数的顶点坐标是，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
19．(1)
(2)当时，的面积有最大值4，此时
(3)P点坐标为或）或）
【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过E点作轴交于点G，设，则，可得，即可求出最终结果．
（3）设， ，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，
，
将B、C点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）过E点作轴交于点G，
设，则，
当时，的面积有最大值4，此时．
（3）存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
设，
①当为平行四边形的对角线时，，
解得
②当为平行四边形的对角线时，，
③当为平行四边形的对角线时，，
解得，
综上所述：P点坐标为或）或）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
20．(1)
(2)当时，取得最大值，此时点P的坐标为
(3)存在点P，使得线段把的面积分成1：3两部分，点P的坐标为或
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设，则，，利用等腰直角三角形性质可得，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）延长交y轴于点F，设，则，分两种情况：当时，当时，分别得出或3，建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点，，
∴，解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）设，设交于点E，如图，
则，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴、均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时，取得最大值，
此时点P的坐标为；
（3）存在点P，使得线段把的面积分成两部分．
如图，延长交y轴于点F，设，则，
当时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴；
当时，同理可得，
即，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，存在点P，使得线段PC把△PAB的面积分成1：3两部分，点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积的综合，解题的关键是熟练掌握相关基础知识.
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