第二十一章 专题02根的判别式与根与系数的关系（30题） （含解析）2023-2024学年九年级数学上册人教版

专题第2讲 根的判别式与根与系数的关系（30题）
（2023 南岗区校级开学）
1．关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
（2023 朝阳）
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
（2023春 永兴县校级期末）
3．已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（　　）
A． B．且 C． D．且
（2022秋 信都区校级期末）
4．关于x的一元二次方程有实数根，则m的最小整数值为（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．－2
（2023春 承德县月考）
5．已知关于的方程的一个解为，则关于的方程根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不确定
（2023 广州）
6．已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
（2023 雁塔区校级开学）
7．已知：m、n是方程的两根，则 ．
（2023春 巴东县期中）
8．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为( )
A． B． C． D．
（2023春 江岸区校级月考）
9．设α、β是方程的两根，则的值为（ ）
A．6076 B．－6074
C．6040 D．－6040
（2022秋 迁安市期末）
10．关于x的方程的两根分别为，，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．
（2023 丹徒区二模）
11．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
（2023 东胜区模拟）
12．已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
（2023 崇川区校级开学）
13．已知关于x的方程．
(1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为3，求的值．
（2023 海淀区校级开学）
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若是该方程的根，求代数式的值．
（2023 南岗区校级开学）
15．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，；
则，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，；
，；
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ______ ， ______ ；
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
（2023 晋江市校级开学）
16．已知a，b是方程的两个不相等的实根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
（2022秋 玉泉区校级期末）
17．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当时，方程的根为，，求代数式的值．
（2023春 招远市期末）
18．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且．
(1)求的取值范围；
(2)若取负整数，求的值；
(3)若该方程的两个实数根的平方和为18，求的值．
（2023 襄阳模拟）
19．已知关于x的一元二次方程有两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
（2023 襄州区模拟）
20．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围：
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
（2022秋 惠安县期末）
21．关于x的一元二次方程．
(1)不解方程，判断该方程的根的情况；
(2)设，是方程的两根，其中有一根不大于0，若，求y的最大值．
（2023春 镇海区期末）
22．定义：若一元二次方程满足．则称此方程为“蛟龙”方程．
(1)当时，判断此时“蛟龙”方程解的情况，并说明理由．
(2)若“蛟龙”方程有两个相等的实数根，请解出此方程．
（2023 汝南县一模）
23．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
（2023春 文登区期中）
24．已知 ，是方程 的两个根．
求：
(1)；
(2)．
（2023 枣阳市二模）
25．关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值．
（2023春 绍兴期中）
26．已知有关于x的一元二次方程．
(1)求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；
(2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根；
(3)若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．
（2023春 青冈县期末）
27．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．
（2022秋 惠城区校级期末）
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
（2023春 肇源县月考）
29．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．
（2023春 萧山区月考）
30．已知关于x的方程．
(1)圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时；
①若该方程有实数解，求n的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求n的值．
试卷第6页，共6页
试卷第1页，共6页
参考答案：
1．A
【分析】根据题意得到，，，再计算，即可判断方程根的情况．
【详解】解：根据题意得：，，，
，
关于的一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
2．C
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元一次不等式组，然后求解即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数解，
∴且，解得：且．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
4．B
【分析】根据判别式用含有m的式子将表示出来，再根据有实数根，则可知，列出不等式即可解决问题．
【详解】解：，
，
有实数根，
，
，
最小整数值为0．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解决本题的关键是熟记根的情况与判别式的关系．
5．B
【分析】把代入到方程中求出，再推出关于的方程的即可得到答案．
【详解】解：∵关于的方程的一个解为，
∴，
∴，
∴，
在关于的方程中，
∴
，
∴关于的方程有两个实数根，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
6．A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
7．
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵m、n是方程的两根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
8．C
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键．
9．B
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出，，，，进而得出，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵α、β是方程的两根，
∴，，，，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一元二次方程的解，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
10．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即，，即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为，，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
11．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，可得，，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．
12．B
【分析】欲求的值，先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出的值．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
，即
∴
=
=
=
=．
故选：B．
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系：，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13．(1)详见解析
(2)2039，详见解析
【分析】（1）计算出即可得出答案；
（2）由方程的解的概念得出，代入到计算即可．
【详解】（1）∵
，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为3，
∴，
整理，得：，
∴
．
【点睛】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．
14．(1)详见解析
(2)8
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先根据一元二次方程根的定义得到，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）证明：∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：把代入方程得，
即，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和整体代入是解题的关键．
15．(1)，
(2)
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
（2）解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
16．(1)13
(2)
(3)
【分析】（1）由根与系数的关系得出，整体代入计算可得；
（2）根据，，代入即可得出答案；
（3）由a是方程的一个根得到，将原式整理成，再将、的值整体代入计算可得．
【详解】（1）解：∵a、b是方程的两个不相等的实根，
∴，
则；
（2）解：由（1）得，
∴
；
（3）解：由（1）得，
∵a是方程的根，
∴，即，
∴
．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握是一元二次方程的两根时，，．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，将所求式子变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当，原方程即为，
∵方程的根为，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
18．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，进行计算即可得到答案；
（2）由（1）可得且取负整数，即可得到或，分两种情况：当时，当时，分别解方程，进行计算即可得到答案；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
（2）解：∵且取负整数，
∴或，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
∴，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
∴，
综上所述：的值为8或；
（3）解：由根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知：，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形，是解题的关键．
19．(1)
(2)存在，4
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系：即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两实数根，
∴，
解得；
（2）解：存在．理由如下：
由根与系数的关系得
∵
即
即，化简，
解得，
经检验都是原方程的解，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求解参数的范围以及根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，代入已知等式中，求出m值即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
21．(1)一定有实数根
(2)2
【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可判定；
(2)首先可求得，，再根据其中有一根不大于0，可得，据此即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，
，
∴该方程一定有实数根；
（2）解：由原方程可得：，
解得，．
∵方程其中一根不大于0，
．
又，
∴，
，
∴y的最大值为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键．
22．(1)“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，理由见解析
(2)或
【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得，故△，当时，，根据判别式的意义即可得出结论；
（2）根据“蛟龙”方程的定义得，根据判别式的意义得，求出，进而得到方程的解．
【详解】（1）解：“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，
理由如下：
一元二次方程为“蛟龙”方程，
，
，
，
“蛟龙”方程有两个不相等的实数根；
（2）解: 方程为“蛟龙”方程，
，
方程 有两个相等的实数根，
，
或2，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得．
“蛟龙”方程的解为0或．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大．
23．(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
24．(1)6
(2)
【分析】先根据根与系数的关系得出，，，
（1）利用完全平方公式把化成有关与的形式，利用整体代入法求解；
（2）化成，利用整体代入法求解．
【详解】（1）解：∵，是方程 的两个根．
∴，，
＝6；
（2）
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个不相等实数根和，
∴，
解得；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根和，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
26．(1)，方程有两个实数根
(2)，方程的另一个解为1
(3)或．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算可判断方程根的情况；
（2）把代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案；
（3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，
∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，根据根的判别式判断方程的解的情况，一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键.
27．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用根的判别式判断即可；
（2）利用根与系数的关系式得到，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：，
由得：
解得：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，正确掌握根的判别式的三种情况及根与系数的关系式是解题的关键．
28．（1）详见解析；（2）14．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到△＞0，从而根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．
【详解】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）
＝4k2+4k+1﹣16k+12
＝4k2﹣12k+13
＝（2k﹣3）2+4，
∵（2k﹣3）2≥0，
∴△＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB BC＝4k﹣3，
而AB2+BC2＝AC2＝（）2，
∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，
整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，
而AB+BC＝2k+1＞0，AB BC＝4k﹣3＞0，
∴k的值为3，
∴AB+BC＝7，
∴矩形ABCD的周长为14．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关于的方程求得答案．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
，
即；
（2）解：由根与系数的关系可知：，，
，
，
解得或，
而，
的值为．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．
30．(1)圆圆的结论正确，理由见解析
(2)①；②n的值为
【分析】（1）利用配方法求出即可得出这个方程一定是一元二次方程．
（2）①根据判别式即可求出答案；
②利用根与系数的关系表示出和的值，根据条件可得到关于n的方程，解方程可求得n的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】（1）圆圆的结论正确，理由如下：
∵，
∴该方程一定为一元二次方程，
故圆圆的结论正确．
（2）当时，则方程为，
①若该方程有实数解，则，
解得，
∴若该方程有实数解，n的取值范围是；
②若该方程的两个实数解分别为和，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴n的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．以及根与系数的关系．
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