2023-2024学年度人教版九年级数学上册 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质导学案（1-2课时）（含答案）

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象和性质
学习目标
1.会画二次函数y=ax2+k和y=a(x-h)2的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=ax2+k和y=a(x-h)2的性质并会应用.（重点）
3.比较函数y=ax2，y=ax2+k和y=a(x-h)2的联系.
重点：二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象和性质.
难点：应用二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象和性质解决问题
学习过程
一、创设问题情境
问题1请同学们谈谈一次函数y=x与y=x+2的图象之间的关系；
问题2同样地，你能猜想出二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间有何关系吗？
二、揭示问题规律
问题：画二次函数y＝x2+1和y＝x2-1以及y＝x2的图象，和你的同学交流一下这个图象的形状.
x
y＝x2
y＝x2+1
y＝x2-1
观察图象可得二次函数y＝x2+1的性质：y＝x2-1的性质：及他们与y＝x2的关系
开口方向：对称轴：增减性：最值：平移关系：
y＝x2
y＝x2+1
y＝x2-1
归纳：
1.抛物线y=ax2+k是由y=ax2 平移得到的；
2.a>0，开口向上；a<0，开口向下；
3.对称轴：y轴；
4.顶点坐标 ;
5.如果a>0，当x<0时，y随x的增大而　　；当x>0时，y随x的增大而　　.如果a<0，当x<0时，y随x的增大而　　；当x>0时，y随x的增大而　　.
6.a>0时，x=0时，y有最小值 ；a<0时，x=0时，y有最大值 .
三、尝试应用
例1：关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，下列说法中，正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．顶点坐标为（﹣2，1）
C．可以由二次函数y＝﹣2x2的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
例2：已知抛物线y=ax2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，且图象到x轴的最近点的距离为3，求a、k的值，并指出抛物线y=ax2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
四、自主总结
1.通过本节课的学习你有什么收获？把你的收获与全班同学分享.
2.你还有什么问题吗？
五、达标测试
一、选择题
1.若在同一直角坐标系中，作y=x2，y=x2+2，y=-2x2+1的图象，则它们（　　）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同 C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
2.把抛物线y=6（x+1）2平移后得到抛物线y=6x2，平移的方法可以是（　　）
A．沿y轴向上平移1个单位 B．沿y轴向下平移1个单位
C．沿x轴向左平移1个单位 D．沿x轴向右平移1个单位
3.抛物线y=x2+b与抛物线y=ax2-2的形状、开口方向相同，只是位置不同，则a，b值分别是（　　）
A．a=1，b≠-2 B．a=-2，b≠2 C．a=1，b≠2 D．a=2，b≠2
4.已知抛物线y=-x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是(　　)
A.2 B. C. D.
5. 对于抛物线y=-x2+3，下列结论中正确的个数为(　　)
①抛物线的开口向下；　②对称轴是y轴；
③图象不经过第一象限；　④当x>0时，y随x的增大而减小.
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题
6.抛物线y＝﹣x2+3的顶点坐标是 　　，对称轴是 　　．
7.抛物线y=3x2可以看作是抛物线y=3x2-4向 平移 得到的.
8.若二次函数y=ax2+c当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 .
三、解答题
9.把y＝﹣x2的图象向上平移2个单位．
（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
（2）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
参考答案
1.A 解析：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴x=- =0，对称轴为y轴，都关于y轴对称．
2.D 解析：∵y=6x2=6（x+1-1）2，∴抛物线y=6x2可由y=6（x+1）2沿x轴向右平移1个单位得出．
3.A 解析：∵抛物线y=x2+b与抛物线y=ax2-2的形状、开口方向相同，只是位置不同，∴a=1，b≠-2．
4.C解析:因为a=-<0，所以抛物线的开口向下，当x>0时，y随x的增大而减小，因为1≤x≤5，所以当x=1时，y有最大值，为.故选C.
5.B 解析:∵y=-x2+3，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)，故①、②都正确；在y=-x2+3中，令y=0可求得x1=，x2=-，又x1>0，x2<0，∴抛物线经过第一象限，故③错误；∵抛物线开口向下，对称轴y轴，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∴当x>0时，y随x的增大而减小，故④正确.综上，正确的结论有3个.
6.（0，3），直线x＝0（或y轴）．
7.上 4
8. c解析:因为抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，再由抛物线的对称性知x1和x2互为相反数，所以x1+x2=0，把x=0代入y=ax2+c得y=c.故选D.
9.解：（1）抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位所得新抛物线的解析式为y＝﹣x2+2，
新抛物线的顶点坐标为（0，2），对称轴为y轴；
（2）平移后的函数有最大值，当x＝0时，最大值为2．
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
学习目标
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（难点）
2.掌握二次函数和y=a(x-h)2的性质并会应用.（重点）
3.比较函数y=ax2，y=ax2+k和y=a(x-h)2的联系.
重点：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
难点：应用二次函数y=a(x-h)2的图象和性质解决问题
学习过程
一、创设问题情境
我们知道，二次函数y=ax2-2的图象可以由函数y=ax2的图象向下平移得到，那么函数y=(x-2)2的图象是否可以由函数y=x2的图象经过平移而得到呢？
二、揭示问题规律
在同一坐标系中画出函数图像，的图像。
请比较这三个函数图像有什么共同特征？
顶点和对称轴有什么关系？
图像之间的位置能否通过适当的变换得到？
由此，你发现了什么？
归纳：（1）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 .
图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 .
可以看作由向 平移 个单位形成的.
（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 .
可以看作由向 平移 个单位形成的.
三、尝试应用
例对于二次函数，请回答下列问题：
①把函数的图像作怎样的平移变换，就能得到函数的图像？
②说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。
四、自主总结
1.通过本节课的学习你有什么收获？把你的收获与全班同学分享.
2.你还有什么问题吗？
五、达标测试
一、选择题
1.函数y＝﹣2（x+2）2图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（2，0） D．（2，﹣2）
2.把抛物线y=6（x+1）2平移后得到抛物线y=6x2，平移的方法可以是（　　）
A．沿y轴向上平移1个单位 B．沿y轴向下平移1个单位
C．沿x轴向左平移1个单位 D．沿x轴向右平移1个单位
3.对称轴为直线x＝1的是（　　）
A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2﹣ax
4.抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
5.已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（　　）
A．0＜y2＜y1 B．0＜y1＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
二、填空题
6.将抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是　　．
7.若抛物线y=3（x+ ）2的图象上的三个点，A（-3 ，y1），B（-1，y2），C（0，y3），则y1，y2，y3的大小关系为___________________.
8.平行于x轴的直线与抛物线y＝a（x﹣2）2的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点坐标为 .
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，2） D．（﹣1，4）
解答题
9.已知二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标是（-5，0），且过点（-3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，函数y值随x增大而增大？
参考答案
1.A2.D3.C
4. D 解析：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）且开口向下，
∴抛物线一定经过第三，四象限，故选：D．
5.C解析：函数的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向下，
函数在x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
而y＝﹣（x+1）2≤0，∴y1＜y2＜0，故选：C．
6.（0，0）解析：抛物线y＝﹣（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0）．向右平移1个单位后的顶点坐标为（0，0）．
7.y2＜y3＜y1 解析：∵抛物线y=3x2的对称轴为x=-，a=3＞0，∴x＜-时，y随x的增大而减小，x＞-时，y随x的增大而增大，∵A（-3，y1），∴对称点的坐标为（，y1），∵-1＜0＜，∴y2＜y3＜y1．
8.C 解析：把点（﹣1，2）代入抛物线y＝a（x﹣2）2，
解得a＝，
抛物线y＝（x﹣2）2＝2
解得x1＝﹣1，x2＝5，
因此抛物线与平行于x轴的直线的另一个交点坐标为（5，2）．故选：C．
9.解：（1）∵二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标是（-5，0），∴h=-5，即而次函数解析式为y=a（x+5）2，∵二次函数图象过点（0，-3），∴a （0+5）2=-3，解得a=- ．∴二次函数解析式为y=- （x+5）2；（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-5，∴当x＜-5时，函数y值随x增大而增大．
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
学习目标
1.理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，
2.理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系
重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质.能说出顶点坐标.
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2关系.
学习过程
一、创设问题情境
问题：将抛物线y=-x2向下平移1个单位，所得到的抛物线表达式是什么？若再将它向左平移1个单位呢？
二、揭示问题规律
小组讨论：问题1 画出二次函数y=-(x+1)2-1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.
问题2 请在问题1中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-x2，及抛物线y=-（x+1）2，y=-x2-1,观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？
问题3请依据问题2中你的发现，说说抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.
归纳：
1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同（因为a值相同），而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移，可得到抛物线y=ax2+k(k＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移-k个单位)，再将抛物线y=ax2+k左右平移后，可得到抛物线y=a(x-h)2+k（h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移）.
2.抛物线y=a(x-h)2+k的性质：
（1）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=h；
（3）顶点坐标是（h，k）.
（4）增减性：a＞0当对称轴的左侧，y随x的增大而减小；对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
a＜0，当对称轴的左侧，y随x的增大而增大；对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
最值：a＞0，当x=时函数有最小值，为；
a＜0，当x=时函数有最大值，为
三、尝试应用
例1已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=-(x+1)2+3.
（1）试确定a,h,k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
例2要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）.
由这段抛物线经过点（3，0）可得
0=a(3-1)2+3,
解得a=- .
因此y=-(x-1)2+3（0≤x≤3）.
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
四、自主总结
1.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些？
2.如果解抛物线的顶点坐标（或对称轴或最低点等），要想确定该抛物线表达式，如何设出这个表达式更有利于求解呢？
五、达标测试
一、选择题
1.对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（-1，3）；④x＞2时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.顶点坐标为（-2，3），开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的抛物线为（　　）
A．y＝ (x 2)2+3 B．y＝ (x 2)2 3 C．y＝ (x+2)2+3 D．y＝ (x+2)2+3
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=-2（x-h）2+k，则下列结论正确的是（　　）
A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0
3题图 4题图
4.如图，已知抛物线l1：y=（x-2）2-2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（　　）
A．y=（x-2）2+4 B．y=（x-2）2+3
C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2+1
二、填空题
5. 若函数y=3（x-4）2+k与x轴的一个交点坐标是（2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是________.
6.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1________y2．
7.把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_________________________.
三、解答题
8.把二次函数y=a（x-h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= （x+1）2-1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y=a（x-h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
9.如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约2.5m．铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即OC=4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系信息，请你算出该运动员的成绩．（即求OB的长度）
参考答案
1.C 解析：∵a=-＜0，∴抛物线开口方向向下，故①正确；对称轴为直线x=-1，故②错误；顶点坐标为（-1，3），故③正确；∵x＞-1时，y随x的增大而减小，∴x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确；
综上所述，正确结论有①③④共3个．
2.C 解析：∵抛物线的顶点坐标（-2，3），开口方向和大小与抛物线y＝x2相同，∴这个二次函数的解析式为y=（x+2）2+3．
3.A 解析：∵抛物线y=-2（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h＞0，k＞0．
4.C 解析：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=（x-2）2-2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=（x-2）2-2+4，即y=（x-2）2+2．
5.（6，0） 解析：由题意得：抛物线对称轴为：直线x=4，∴则它与x轴的另一个交点坐标是：（6，0）．
6. ＞ 解析：由题意得：该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x=1．∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，x1＞x2＞1，∴y1＞y2．
7.y=-（x+1）2-2 解析：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．
8.解：（1）二次函数y= （x+1）2-1的图象的顶点坐标为（-1，-1），把点（-1，-1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，-5），所以原二次函数的解析式为y= （x-1）2-5，所以a= ，h=1，k=-5；（2）二次函数y=a（x-h）2+k，即y= （x-1）2-5的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-5）．
9.解：能．∵OC=4，CD=3∴顶点D坐标为（4，3）．∵抛物线经过点A（0，2.5）和（4，3），∴设y=a（x-4）2+3，由题意，得=a（0-4）2+3，解得：a=- ．∴y=- （x-4）2+3．当y=0，- （x-4）2+3=0，∴x1=10，x2=-2（舍去）．∴该运动员的成绩为10m．