2023-2024学年度人教版九年级数学上册 22.2 二元函数与一元二次方程导学案（含答案）

22.2 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的根的几何意义,知道抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
2.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会数形结合思想,感受数学的严谨性及数学结论的确定性,提高学生的估算能力.
重点：经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．
难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系.
学习过程
一、创设问题情境
问题1:说出：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
问题2：在式子h=50-20t2中,如果h=15,那么50-20t2=___________;如果h=20,那么50-20t2=___________;如果h=0,那么50-20t2=___________.
二、揭示问题规律
探究1:画出函数y=x2-x-的图象,根据图象回答下列问题:
(1)图象与x轴交点的坐标是什么
(2)当x取何值时,y=0
(3)你能从中得到什么启发
探究2:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有,公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时,函数值是多少 由此,你能得出相应的一元二次方程的解吗
(1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1
归纳：
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的衡坐标是ax2+bx+c=0的根；
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
当△>0,与x轴有两个不同的交点；当△=0,与x轴有一个交点；当△<0,与x轴没有交点.
三、尝试应用
例1：已知二次函数 y=x2-6x+8的图象，利用图象回答问题：
（1）方程y=x2-6x+8的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？
例2：如图,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=20t-5t2.
(1)小球的飞行高度能否达到15 m 若能,需要多长飞行时间
(2)小球的飞行高度能否达到20 m 若能,需要多长飞行时间
(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m 若能,需要多长飞行时间
(4)小球从飞出到落地要用多长时间
四、自主总结
1.二次函数与一元二次方程的关系；
2.二次函数与一元二次方程根的情况.
3.本节课的数学思想：数形结合的思想
五、达标测试
一、选择题
1.对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），下列说法错误的是（　　）
A．若顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根
B．若抛物线经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0
C．若a b＞0，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧
D．若2b=4a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0，必有一根为-2
2.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根
3.二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正，则a，b，c应满足（　　）
A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0 C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0
4.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）
A．-3 B．3 C．-6 D．9
、
5.抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（　　）
A． B．2 C． D．4
二、填空题
6.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和是 　　．
7.毛毛用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.5，则方程的另一个近似根为x2=______（精确到0.1）．
8.若关于x的函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个交点，则实数k的值为 　　．
三、解答题
9.关于x的函数y=（m2-1）x2-（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
10.如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=-0.2x2+3.5运行，然后准确落入篮筐内．已知篮筐的中心距离地面的距离为3.05米．
（1）求球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？
22.2 二次函数与一元二次方程
参考答案
1.A
2.C 解析：∵函数y=ax2+bx+c的图象顶点的纵坐标为3，∴函数y=ax2+bx+c-3的图象可以看作是y=ax2+bx+c的图象向下平移3个单位得到，此时顶点在x轴上，∴函数y=ax2+bx+c-3的图象与x轴只有1个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个相等实数根．
3.B 解析：由题意得：抛物线开口向上，且与x轴没有交点，则a，b，c应满足a＞0，b2-4ac＜0．
4.B 解析：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=-m有交点，可见-m≥-3，∴m≤3，∴m的最大值为3．
5.A解：当y＝0时，﹣（2x﹣1）（x+3）＝0，
解得x1＝，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（，0），
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离＝﹣（﹣3）＝．故选：A．
6. 2．解析：由图象可知y＝ax2+bx+c＝0（a≠0）和x轴交点横坐标分别为﹣1和3，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根之和为﹣1+3＝2．
7.2.5 解析：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=-1，设函数的另一根为x，则=-1，解得x=2.5．
8. 0或1．解析：当k＝1时，函数为一次函数y＝2x﹣1，此函数与x轴只有一个交点；
当k≠1时，
∵二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴仅有一个交点，
∴Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣1）＝0，
解得：k＝0，
综上所述，实数k的值为0或1．
9.解：①当m2-1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；②当m2-1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则△=（2m+2）2-8（m2-1）=0，解得 m=3，m=-1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
10.解：（1）因为抛物线y=-0.2x2+3.5的顶点坐标为（0，3.5）所以球在空中运行的最大高度为3.5米；（2）当y=3.05时，3.05=-0.2x2+3.5，解得：x=±1.5，又因为x＞0，所以x=1.5，当y=2.25时，x=±2.5，又因为x＜0，所以x=-2.5，由|1.5|+|-2.5|=1.5+2.5=4米，故运动员距离篮框中心水平距离为4米．