2023-2024学年度人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数 导学案 （含答案）

22.3实际问题与二次函数
第1课时最优化问题
学习目标
1.能根据实际问题列出函数关系式,会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
2.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养分析问题、解决问题的能力,提高用数学的意识;在解决问题的过程中体会数形结合思想.
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
重点：二次函数在最优化问题中的应用。
难点：从现实问题中建立二次函数模型.
学习过程
一、创设问题情境
问题：给你长8m的铝合金条，设问：
①你能用它制成一矩形窗框吗？
②怎样设计，窗框的透光面积最大？
③如何验证？
二、揭示问题规律
探究1:演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。深入探究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym2,则它们的函数关系式为
∵ ∴0并当x =2时（属于0引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。
探究2:某超市以10元/个购进一批新型儿童玩具，当以17元/个出售时，每天可以售出50个．国庆期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，经调查发现，当售价每降低0.5元时，每天可多卖出5个玩具．
求这种玩具的售价定为每个多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？此时每天的销售量是多少个？
问题1：设玩具在17元/个的基础上,降价X元出售，此时玩具的售价为 ;利润是 元；销量在50个的基础上，增加了 个，此时玩具是销售量是 个；最大利润是 ；
问题2：设这种玩具的售价定为n元/个，则与原售价相比，每个降低了 元；
销量在50个的基础上，增加了 个，此时玩具是销售量是 个；每个玩具的利润是 元；最大利润是 .
归纳步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。
三、尝试应用
例1：用20 m的篱笆围一个矩形的花圃(如图),设垂直于墙的一边为x m,矩形的面积为y m2.
(1)写出y关于x的函数关系式及x的取值范围;
(2)当x是多少时,矩形的面积y最大 最大是多少
例2：某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元。
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240
(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？
四、自主总结
回顾本节课所学主要内容,回答以下问题:
1.如何求二次函数的最大(小)值 如何利用二次函数的最大(小)值解决实际问题
2.在解决问题的过程中要注意哪些数学问题 学到了哪些思考问题的方法
五、达标测试
一、选择题
一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（　　）
A．5元 B．10元 C．0元 D．36元
2.已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　）
A．25cm2 B．50cm2 C．100cm2 D．不确定
3.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（　　）
A．m B．6m C．15m D．m
二、填空题
4.出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
5.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_______cm2．
6.某商店从厂家以每件21元的价格购回一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350-10a）件，但物价部门限定是每件商品加价不能超过进价的40%．如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为________元．
三、解答题
7.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
8.某企业接到一批酸奶生产任务，按要求在16天内完成，规定这批酸奶的出厂价为每瓶8元，为按时完成任务，该企业招收了新工人小孙，设小孙第x天生产的酸奶数量为y瓶，y与x满足下列关系式：y＝
（1）小孙第几天生产的酸奶数量为520瓶？
（2）如图，设第x天每瓶酸奶的成本是p元，已知p与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．写出p与x的函数关系式．
（3）若小孙第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价一成本）
答案
22.3　(第1课时)最优化问题
一、选择题
1.A 解析：设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则y=（135-x-100）（100+4x）,即：y=-4（x-5）2+3600，∵-4＜0,∴当x=5元时，每天获得的利润最大．
2.B 解析：设一条直角边为x，则另一条为（20-x），∴S= x（20-x）=- （x-10）2+50，∵ ∴即当x=10时，S最大= ×10×10=50cm2．
3.D 解析：根据题意得：y=30- （5-x）-x（12-），整理得y=-x2+12x，=- [x2-5x+（）2-]=-（x-）2+15，∵ ＜0，∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
二、填空题
4.3 解析：由题意得y=（6-x）x，即y=-x2+6x，当x=- =- =3时，y有最大值，即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
5.12.5 解析：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20-x），则边长分别为x，（20-x），则S= x2+ （20-x）（20-x）= （x-10）2+12.5，∴由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm2．
6.28 解析：设利润为y，则y=（a-21）（350-10a）=-10a2+560a-7350=-10（a-28）2+4090，当a=28时，y取最大值，但物价局限定每件商品加价不超过进价的40%，∴a≤21（1+40%），即a≤29.4，∴a=28元，即每件商品的售价为28元．
三、解答题
7.解：（1）∵AB=xm，则BC=（28-x）m，∴x（28-x）=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值为12m或16m；（2）∵AB=xm，∴BC=28-x，∴S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∵28-15=13，∴6≤x≤13，∴x=13时，S取到最大值为：S=-（13-14）2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方米．
8.解：（1）由题意知40x+160＝520，
解得：x＝9，
即小孙第9天生产的酸奶数量为520瓶；
（2）由图象得，当0≤x≤8时，p＝4；
当8≤x≤16时，设p＝kx+b，
把点（8，4），（16，6）代入得，
，
解得：，
∴p＝x+2；
（3）由题意可知：当0≤x≤8时，w＝（8﹣4）×50x＝200x，
此时当x＝8时，w取得最大值1600；
当8≤x≤16时，
w＝（8﹣x﹣2）×（40x+160）
＝﹣10x2+200x+960
＝﹣10（x﹣10）2+1960，
所以当x＝10时，w取得最大值1960；
综上，第10天的利润最大，最大利润是1960元．
第2课时生活中的抛物线
学习目标
1.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
2.掌握二次函数模型的建立过程,并能运用二次函数的知识解决实际问题.
3.通过建立平面直角坐标系解决实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验.
重点：能将实际问题转化数学问题，适当建立平面直角坐标解决实际问题.
难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便.
学习过程
一、创设问题情境
问题：
二、揭示问题规律
探究1:一座抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少
探究2:在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？
归纳步骤：
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
三、尝试应用
例：如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位AB时,水面宽20米,水位上升3米,就达到警戒线CD,这时水面宽为10米.
(1)求抛物线形拱桥的解析式.
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2米的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时就能达到拱桥顶
(3)在正常水位时,有一艘宽8米,高2.5米的小船能否安全通过这座桥
四、自主总结
用抛物线的知识解决一些实际问题的一般步骤？
建立的平面直角坐标系不同解析式一样吗？
达标测试
一、选择题
1.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）
A．y= （x+3）2 B．y= （x+3）2C．y= （x-3）2 D．y= （x-3）2
2.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（　　）
A．1m B．2m C．（2-4）m D．（-2）m
2题图 3题图 4题图
3.如图所示，斜坡OA所在直线的解析式为y＝x，在坡脚O处抛出的小球运行的轨迹是y＝ x2+x，则小球落在斜坡上A点时，小球距O点的距离等于（　　）
A．0或8 B．8 C．7.75 D．2
二、填空题
4.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______米．
5.军事演坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=-x2+10x，经过_______秒时间炮弹到达它的最高点，最高点的高度是________米，经过_______秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
三、解答题
6.如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高OC长为6cm，跨度AB长为20cm，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线OC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度．
7.某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误（跳台支柱距水池1m）．
（1）求这条抛物线相应的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
22.3　实际问题与二次函数(第2课时)
一、选择题
1.C 解析：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=，故右边抛物线的解析式为y=（x-3）2．
2.C 解析：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2-4．
3.D 解析：由题意得：∴x=-x2+x，整理得：x2-8x=0，解得：x1=0，x2=8，当x=0时，y=0，当x=8时，y=2，∴A（8，2），∴AO===2.
二、填空题
4.0.5 解析：解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）设函数解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点分别代入得出c=2.5，同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1，解之得a=2，b=-4，c=2.5．∴y=2x2-4x+2.5=2（x-1）2+0.5．∵2＞0，∴当x=1时，y=0.5米．
5.25,125,50 解析：y=-x2+10x=-（x2-50x+252-252）=-（x-25）2+125．∵ ＜0，∴由二次函数性质可得经过25秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是125米，又令y=0，解得：x=50秒．
6.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+k，∵拱高OC长为6m，∴顶点C的坐标为（0，6），∴y=ax2+6，∵跨度AB长为20m，∴B（10，0）∴100a+6=0，∴a＝ ，∴抛物线的解析式是：y＝ x2+6；（2）设F（5，yF），∴yF=-×52+6=4.5，∴支柱EF的长度是10-4.5=5.5（米）．
7.解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，-10），且顶点A的纵坐标为．所以：，解得. 或，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴-＞0，又∵抛物线开口向下，∴a＜0．∴b＞0．∴a=-，b=，c=0．∴抛物线的解析式为y=-x2+x；
（2）要判断会不会失误，只要看运动员是否在距水面高度5m以前完成规定动作，于是只要求运动员在距池边水平距离为3m时的纵坐标即可．∴横坐标为：3.6-2=1.6，即当x=1.6时，y=（-）×（）2+×=-，此时运动员距水面的高为10-=＜5．因此，此次试跳会出现失误．