第十一章 三角形同步练习题(含解析)

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“三角形”综合测试题
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题（每题4分，满分40分）
1.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A.315° B.270° C.180° D.135°
2.如图，△OAB绕点O逆时针旋转800到△OCD的位置，则∠ACO等于（ ）
A.55 B.50° C.40° D.35°
3.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为(　　)
A. B. C. D.
4.如图，在 中， ， ，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（　　）
A．120° B．108° C．72° D．36°
5.三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．以上都不对
6.如图摆放的一副学生用直角三角板,∠F=30o,∠C=45o,AB与DE相交于点G,当EF//BC时,∠EGB的度数是( )
A.135° B.120° C.115° D.105°
7.如图,直线EF//GH,中,∠C=90o,顶点A在GH上,顶点B在EF上,且BA平分∠DBE,若∠CAD=26o,则∠BAD的度数为( )
A.26o B.32o C.34o D.45o
8.如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC＝1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为(　　)
A.+1 B.+ C.2+1 D.2-
9.如图，等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路PD，PE，PF，且满足PE∥AB，PF∥BC，PD∥AC，则三条小路的总长度为（　　）
A．20m B．10m C．10 m D．20m
10.如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分30分）
11.在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大30°，则这个三角形是_________三角形。
12.如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于 PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为　 　.
13.如图， 将边长为 1 的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=　 　。
14.如图，已知 ， 是角平分线且 ，作 的垂直平分线交 于点F，作 ，则 周长为　 　．
15.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ．
16.如图,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90o,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上,F为AB的中点,则EF的长等于__________.
解答题（满分80分）
17.(8分）已知： 中， ，点 分别为边 的中点，求证： ．
18.（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
19.（8分）点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点（1）求证：DM=DN
（2）连接MN,当∠MPN=______时，△DMN是等边三角形；
（3）探索∠MPN与∠MDN的数量关系，并说明理由。
20.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,则∠DAC= ．
思考:
变式(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗 说明理由;
变式(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
21.如图，已知△AHB是等腰直角三角形．∠AHB＝90°，△AHG，△BHC，△ABE是等边三角形，GH交AE于点F．CH交BE于点D．记四边形EFHD的面积为S1，△BCD的面积S2，求的值。
22.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示：AP= ，AE= ，BE= ，
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
23.（原创）
如图，在正方形ABCD中，边长为4.
点E是边BC上的一点，连结AE.点F是线段CD上的点
①用尺规作图作出点F，使点F到AD、AE的距离相等。（保留作图痕迹，不写作法）
②当BE＝3CE时，①若△AEF是直角三角形，求CF的长；
（2）点E是边CD上的一点，连结AE.点M是线段AE上的一个动点.
在线段AE上是否存在点G，使得∠BGC＝90°，若存在，请探究BG、CG、DG之间的数量关系；若不存在，请说明理由.
参考答案
选择题
A
提示：∵∠C=900 ∴1800-∠1+1800-∠2=900,∴∠1+∠2=2700
B
提示：在 OAC中，OA=OC,∠AOC=800, ∴∠ACO==500
D
B
提示：∵在中,,,
∴.
∵AD是斜边BC上的中线,
∴,
∴,,
∴
∵将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处,
∴,
∴.
A
提示：解方程x2﹣12x+35＝0得x1=5,x2=7,当三角形的三边为2，4，7时，2+4=6<7,
不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形；当三角形的三边为2，4，5时，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+4+5=11；综合上述：三角形的周长是11
D
提示：过点G作HG/\!/BC/\!/EF，则有∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，∠F=30°，∠C=45°，可以得到∠E=60°，∠B=45°，有∠EGB=∠HGE+∠HGB
B
提示：∵∠C=90°，∠CAD=26°，
∴∠ADC=90°-26°=64°，
∴∠HDB=∠ADC=64°，
∵直线EF∥直线GH，
∴∠DBE=∠HDF=64°，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠AEB=32°，
∵直线EF∥直线GH，
∴∠BAD=∠ABE=32°
B
A
C
填空题
钝角三角形
提示：由题意可列方程组解出∠C=1050
12.2
提示：容易推证 ABE为等腰三角形，AB=AE=3,DE=5-3=2
13.-1
提示：∵四边形ABCD为边长为1的正方形，
∴CD=1，∠CDA=90 ，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF=，∠CFE=45 ，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH=DF=CF CD= 1
14. 15+5
提示：AD=10,DE=5,AE=15, 周长为15+5
6
16.﹣1
提示：延长BE、CA交于点G,
∵AB=AC=2,∠BAC=90°,
∴由勾股定理可知:BC=2,
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCE=∠ACE,
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠CEG.
∴△BCG是等腰三角形,
∴BE=GE,CG=CB=2,
∵AC=2,
∴AG=CG﹣AC=2﹣2,
∵F是AB的中点,
∴BE=GE,
∴EF=AG=(2﹣2)=﹣1,
三、解答题
17.证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵点D. E分别是AB、AC的中点。
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，
AD=AE,∠A=∠A,AC=AB
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD.
18.（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（3k+1）2﹣4（2k2+2k）=9k2+6k+1﹣8k2﹣8k=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴（k﹣1）2=0，解得：k=1．
此时原方程化为x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，
代入方程：62﹣6（3k+1）+2k2+2k=0，
解得k=3或5，
则原方程化为x2﹣10x+24=0或x2﹣16x+60=0，
解得x1=4，x2=6或x1=6，x2=10，
即b=6，c=4，或b=6，c=10，
此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，
周长为6+6+4=16或6+6+10=22．
18.（1）∵PM⊥OA，D是OP的中点，
∴MD=OD，
∵PN⊥OB，D是OP的中点，
∴ND=OD
∴ MD=ND
（2）当∠MPN=150°时，△DMN是等边三角形.理由如下：
∵∠MPN=150°，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠MON=30°，
由（1）可知MD=OD，ND=OD，
∴∠MDP=2∠MOD，∠NDP=2∠NOD
∴∠MDN=2∠MON=60°，
∵MD=ND.
∴△DMN是等边三角形.
（3） 由（2）可知∠MDN=2∠MON，∠MPN+∠MON =180°
∴∠MPN=180°-∠MON=180°-∠MDN
∴∠MPN=180°-∠MDN.
19.解：（1）∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴∠A=60°，
根据题意得：AP=2tcm，
∵PE⊥AB，
∴AE=AP cos60°=t（cm），
∴BE=AB-AE=6-t（cm）；
（2）∵∠C=60°，∠BQD=30°，
∴△PCQ是直角三角形，
∴PC=QC，
根据题意得：BQ=2tcm，则CQ=BC+BQ=6+2t（cm），PC=AC-AP=6-2t（cm），
∴6-2t=（6+2t），
解得：t=1，
∴AP=2；
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，
∠AEP=∠BFQ ∠A=∠FBQ AP=BQ
，∴△APE≌△BQF
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=EF，
∵EF=BE+BF=BE+AE=AB，
∴DE=AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
19.
（1)
①若∠AFE=90°,设CF=x,
在Rt ABE中，AB=8,BE=×8=6,AE=10,CE=8-6=2，
EF2=22+x2,AF2=(8-x)2+82
∴102=22+x2 +(8-x)2+82
∴x1=x2=4
若∠AEF=90°,设CF=x
由上可得：102+22+x2 =(8-x)2+82
X=
故CF的长为4或
存在。
∵DE＝3CE，CD＝4，∴DE＝3，CE＝1
∴AE＝
以点B为坐标原点，以直线BC、BA分别为x轴和y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系，则A（0，4）、B(0，0)、C（4，0)、D(4，4)、E(4，1)
易求得直线AE的解析式为y=x+4
设点M坐标为（m，m+4）(0≤m≤4)
则MB2＝m2+(m+4)2=m2-6m+16
MC2=(m-4)2+(m+4)2=m2-14m+32
BC2=16
∵∠BMC=90°
∴MB2+MC2=BC2
∴m2-6m+16+m2-14m+32=16，∴25m2-160m+256=0，即(5m-16)2=0，∴m=
∴M(，)
于是BM2= ， CM2= ， DM2=
∴DM2=BM·CM ()
∴在线段AE上存在点M，使得∠BMC＝90°，且DM2=BM·CM.
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