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(总课时46)§5.3应用一元一次方程组——水箱变高了
【学习目标】学会通过分析图形问题中的基本等量关系并用来列方程解决相关的应用题.
【学习重难点】列出一元一次方程解有关形积变化问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.圆柱的底面半径为r，高为h，那么圆柱的底面面积是___，圆柱的体积是______.
2.长方形长为a，宽为b，此时长方形周长为______，面积为___.
3.长方形长为m，长比宽多1，此时长方形周长为_________，面积为_________.
二.探究新知
引例1.某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m,那么在容积不变的前提下，水箱的高将由原先的4m，变成多少米？
（1）题目中体现的等量关系是:_____________________
旧水箱 新水箱
底面直径/m
高/m
容积/m3
引例2.将一根12cm长的细绳先围成一个长为3cm的正方形，再围成一个长4cm、宽2cm的长方形，不变的量是____________.
分析：在这个问题中等量关系是：两个四边形的___相等。
引例3.一根长为10米的彩带围成长方形装扮教室.
(1)若该长方形的长比宽多1.4米.此时长方形的长和宽各为多少米？面积呢？
(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米 它围成的长方形的面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少 它围成的长方形的面积与（2）中相比，又有什么变化？
(4)如果把这根长为10米的彩带围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？
分析：由题意知，长方形的___始终是不变的.等量关系是_________=____________
解：(1)设此时长方形的宽为x米，则它的长为______米.根据题意，得_________，x=____；x+1.4=___，此时长方形的长为___米，宽为___米，面积为_______________米2
(2)设此时长方形的宽为xm，则它的长为______米，
根据题意，得_______________.解这个方程，得x=___，x+0.8=____________，
此时长方形的长为___米，宽为___米，面积为_______________米2，此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大_______________米2.
(3)设正方形的边长为xm，根据题意，得_________，解这个方程，得x=___，正方形的边长为___m，
正方形的面积为____________m2，比(2)中面积增大____________m2.
(4)设圆的半径为y米，根据题意得：______,y=___米,面积为___米2.
【归纳2】列一元一次方程解应用题的步骤：
①审：_____________________，②找：_______________,③设：___________________________，
④列：____________，⑤解：_________，⑥验：_______________，
⑦答：____________.
三.典例与练习
例1.底面直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高.
（1）题目中体现的等量关系是:_______________________________________
（2）解：设小杯子的高为x厘米，由题意得：____________________________，解得：_________.
答：小杯子的高是______厘米.
练习1.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
例2.众所周知，中华诗词博大精深,集大量的情景、情感于短短数十字之间,或豪放,或婉约,或思民生疾苦,或抒发己身豪情逸致,文化价值极高.而数学与古诗词更是有着密切的联系.古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一本诗集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数反而少了20个字.根据题意可知七言绝句有______首.
练习2.要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢______cm.
四.课堂小结
1.形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：__________________＝__________________
2.形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：____________＝_______________．
3.用一元一次方程解实际问题的一般步骤：审--找--设--列—解—验--答
五.分层过关
1.内径为300mm，内高为32mm的圆柱形玻璃杯内盛满水，倒入内径为120mm的圆柱形玻璃杯，刚好倒满，则内径为120mm玻璃杯的内高为( )．
A. 150mm B. 200mm C. 250mm D. 300mm
2.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，如果1托为5尺，那么索和竿子各为几尺？设竿子为x尺，可列方程为（ ）
A．x+5﹣x＝5 B．x﹣（x+5）＝1 C．x﹣x+5＝5 D．x﹣（x+5）＝5
3.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米，30厘米，10厘米的长方体，应截取这种钢锭的长度为___厘米．
4.长方体甲的长、宽、高分别为260mm,195mm,325mm，长方体乙的底面是边长为130mm的正方形，已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高.
5.甲乙是两个长方体容器，甲容器长30cm,宽20cm，乙容器长25cm,宽15cm,高8cm,将甲容器的水逐渐倒入乙容器，直到乙容器水全满，此时甲容器还剩下的水的高度为6cm,请问甲容器的高是多少？
6.如图是两个圆柱体的容器，它们的直径分别是4cm和8cm，高分别为39cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其倒入第二个容器中。问倒完后，第二个容器中的水面离瓶口多少厘米？
7.在一个建筑工地上有大、中、小三个圆柱形水池，它们的底面半径分别是10m,5m,2m，现在把一堆碎石分别装进中、小两个水池中，水面分别升高了6cm和8cm，如果把这堆碎石都装进大水池中，那么水面会升高多少？
（2）解：
【归纳1】
1.形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为____________.
2.形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为_______________.
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(总课时46)§5.3应用一元一次方程组——水箱变高了
【学习目标】学会通过分析图形问题中的基本等量关系并用来列方程解决相关的应用题.
【学习重难点】列出一元一次方程解有关形积变化问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.圆柱的底面半径为r，高为h，那么圆柱的底面面积是πr2，圆柱的体积是πr2h.
2.长方形长为a，宽为b，此时长方形周长为2(a+b)，面积为ab.
3.长方形长为m，长比宽多1，此时长方形周长为2(m+m-1)，面积为m(m-1).
二.探究新知
引例1.某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m,那么在容积不变的前提下，水箱的高将由原先的4m，变成多少米？
（1）题目中体现的等量关系是:旧水箱的容积=新水箱的容积
旧水箱 新水箱
底面直径/m 4 3.2
高/m 4 x
容积/m3 16π 16π
引例2.将一根12cm长的细绳先围成一个长为3cm的正方形，再围成一个长4cm、宽2cm的长方形，不变的量是12cm长的细绳.
分析：在这个问题中等量关系是：两个四边形的周长相等。
引例3.一根长为10米的彩带围成长方形装扮教室.
(1)若该长方形的长比宽多1.4米.此时长方形的长和宽各为多少米？面积呢？
(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米 它围成的长方形的面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少 它围成的长方形的面积与（2）中相比，又有什么变化？
(4)如果把这根长为10米的彩带围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？
分析：由题意知，长方形的周长始终是不变的.等量关系是变化前的周长=变化后的周长
解：(1)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米.根据题意，得x+(x+1.4)=10×0.5，x=1.8；x+1.4=3.2，此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米，面积为3.2×1.8=5.76米2
(2)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)米，
根据题意，得x+(x+0.8)=10×0.5.解这个方程，得x=2.1，x+0.8=2.1+0.8=2.9，
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为2.1×2.9=6.09米2，此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33米2.
(3)设正方形的边长为xm，根据题意，得4x=10×0.5，解这个方程，得x=2.5，正方形的边长为2.5m，
正方形的面积为2.5×2.5=6.25m2，比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16m2.
(4)设圆的半径为y米，根据题意得：2yπ=10,y=米,面积为米2.
【归纳2】列一元一次方程解应用题的步骤：
①审：弄清各数量之间的关系，②找：找出题中的等量关系,③设：设未知量为x(注意要带单位)，
④列：根据等量关系列方程，⑤解：解这个方程，⑥验：检验方程的解符合题意，
⑦答：回答题目所问.
三.典例与练习
例1.底面直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高.
（1）题目中体现的等量关系是:倒入小杯前的饮料容积=倒入小杯的饮料容积
（2）解：设小杯子的高为x厘米，由题意得：20×52πx=152π×50,解得：x=22.5
答：小杯子的高是22.5厘米.
练习1.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
解：设长方形的长为x厘米，根据题意得，2(x+10)=10×4+6×2，
解这个方程，得x=16.
因此，小颖所钉长方形的长为16厘米，宽为10厘米.
例2.众所周知，中华诗词博大精深,集大量的情景、情感于短短数十字之间,或豪放,或婉约,或思民生疾苦,或抒发己身豪情逸致,文化价值极高.而数学与古诗词更是有着密切的联系.古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一本诗集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数反而少了20个字.根据题意可知七言绝句有35首.
练习2.要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢16cm.
四.课堂小结
1.形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积
2.形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
3.用一元一次方程解实际问题的一般步骤：审--找--设--列—解—验--答
五.分层过关
1.内径为300mm，内高为32mm的圆柱形玻璃杯内盛满水，倒入内径为120mm的圆柱形玻璃杯，刚好倒满，则内径为120mm玻璃杯的内高为( B )．
A. 150mm B. 200mm C. 250mm D. 300mm
2.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，如果1托为5尺，那么索和竿子各为几尺？设竿子为x尺，可列方程为（D）
A．x+5﹣x＝5 B．x﹣（x+5）＝1 C．x﹣x+5＝5 D．x﹣（x+5）＝5
3.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米，30厘米，10厘米的长方体，应截取这种钢锭的长度为30厘米．
4.长方体甲的长、宽、高分别为260mm,195mm,325mm，长方体乙的底面是边长为130mm的正方形，已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高.
解：设乙的高为xmm，则
2.5×130×130x=260×195×325,x=475,答:乙的高为390mm
5.甲乙是两个长方体容器，甲容器长30cm,宽20cm，乙容器长25cm,宽15cm,高8cm,将甲容器的水逐渐倒入乙容器，直到乙容器水全满，此时甲容器还剩下的水的高度为6cm,请问甲容器的高是多少？
解：设甲容器的高为xcm，则:
答：甲容器的高是11cm.
6.如图是两个圆柱体的容器，它们的直径分别是4cm和8cm，高分别为39cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其倒入第二个容器中。问倒完后，第二个容器中的水面离瓶口多少厘米？
解：设第二个容器中的水面离瓶口x厘米，则
答：第二个容器中的睡眠离瓶口0.25cm.
7.在一个建筑工地上有大、中、小三个圆柱形水池，它们的底面半径分别是10m,5m,2m，现在把一堆碎石分别装进中、小两个水池中，水面分别升高了6cm和8cm，如果把这堆碎石都装进大水池中，那么水面会升高多少？
解：设水面升高xcm，则
答：水面升高1.82cm.
（2）解：设新水箱的高为x,由题意得方程：
,解得：x=6.25(m)
【归纳1】
1.形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为变化前后体积相等.
2.形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为变化前后的周长相等.
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(总课时46)§5.3应用一元一次方程组——水箱变高了
一.选择题
1.要锻造直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形机器零件10件，则需直径为4厘米的圆柱钢长( D )
A．10厘米 B．20厘米 C．30厘米 D．40厘米
2.一个长方形的周长是40cm,若将长减少8cm,宽增加2cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为(B)[A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
3.请根据图中给出的信息,可得正确的方程是( A )
A. B. [来。C.[ D.
4.某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（ B ）
A. 22＋x＝2×26 B. 22＋x＝2（26－x） C. 2（22＋x）＝26－x D. 22＝2（26－x）
5.一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程（ B ）
A. x﹣1=（26﹣x）+2 B. x﹣1=（13﹣x）+2 C. x+1=（26﹣x）﹣2 D. x+1=（13﹣x）﹣2
二.填空题
6.一块长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱,若圆柱的高是xcm,则可列方程1.52πx=24.
7．把一个半径为3的铁球融化后，能铸造27个半径为1的小铁球．(球体积公式为：)
8.图①是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是1000cm3.
9.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为x+．
10.有一个底面半径长为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把它里边的水倒入一个底面直径长为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为10cm.
三.解答题
11.三个底面均为正方形，且高度相等的长方体容器甲、乙、丙，底面边长分别为5，12，13.今将甲、乙两个容器装满的水倒入丙容器.问：水是否会溢出？
解：水不会溢出.理由如下：
设各长方体容器的高度均为x，则甲、乙两个容器的体积和为52x＋122x＝169x，丙的体积为132x＝169x.
所以甲、乙两个容器的体积和等于丙的体积.故水不会溢出.
12.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积是多少？
解：根据小王的设计可以设宽为x米，长为（x＋5）米，根据题意得2x＋（x＋5）=35,解得x=10.
因此小王设计的长为x＋5=10＋5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的.
根据小赵的设计可以设宽为x米，长为（x＋2）米，根据题意得2x＋（x＋2）=35,解得x=11.
因此小王设计的长为x＋2=11＋2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11×13=143（平方米）.
13.长方形纸片的长是15cm,长、宽上各剪去1个宽为3cm的长条,剩下的面积是原面积的.求原面积.
解：设长方形纸片的宽是xcm,原面积是15xcm2,长、宽上各剪去1个宽为3cm的长条,剩下的面积是12(x-3)cm2,
由题意得:15x×=12(x-3),所以9x=12(x-3),解方程得x=12,
12×15=180(cm2),所以原面积是180cm2.
14.我国明代数学家程大为曾提出过这样一个有趣的问题：有一个人赶着一群羊在前面走，另一个人牵着一只羊跟在后面．后面的人问赶羊的人说：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？
解：设这群羊有x只，根据题意得：
x+x+x+x+1=100．
解得：x=36.答：这群羊有36只.
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(总课时46)§5.3应用一元一次方程组——水箱变高了
一.选择题
1.要锻造直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形机器零件10件，则需直径为4厘米的圆柱钢长( )
A．10厘米 B．20厘米 C．30厘米 D．40厘米
2.一个长方形的周长是40cm,若将长减少8cm,宽增加2cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为( )[A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
3.请根据图中给出的信息,可得正确的方程是( )
A. B. [来。C.[ D.
4.某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（ ）
A. 22＋x＝2×26 B. 22＋x＝2（26－x） C. 2（22＋x）＝26－x D. 22＝2（26－x）
5.一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程（ ）
A. x﹣1=（26﹣x）+2 B. x﹣1=（13﹣x）+2 C. x+1=（26﹣x）﹣2 D. x+1=（13﹣x）﹣2
二.填空题
6.一块长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱,若圆柱的高是xcm,则可列方程____________.
7．把一个半径为3的铁球融化后，能铸造___个半径为1的小铁球．(球体积公式为：)
8.图①是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是______cm3.
9.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为____________．
10.有一个底面半径长为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把它里边的水倒入一个底面直径长为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为___cm.
三.解答题
11.三个底面均为正方形，且高度相等的长方体容器甲、乙、丙，底面边长分别为5，12，13.今将甲、乙两个容器装满的水倒入丙容器.问：水是否会溢出？
12.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积是多少？
13.长方形纸片的长是15cm,长、宽上各剪去1个宽为3cm的长条,剩下的面积是原面积的.求原面积.
14..我国明代数学家程大为曾提出过这样一个有趣的问题：有一个人赶着一群羊在前面走，另一个人牵着一只羊跟在后面．后面的人问赶羊的人说：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？
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