2023-2024学年度北师大版数学九年级上册2.1认识一元二次方程 教案（2课时）

1　认识一元二次方程
第1课时　一元二次方程
教学目标
1.理解一元二次方程的概念.
2.根据一元二次方程的一般形式,确定各项系数.
3.理解并灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.
教学重难点
重点:理解一元二次方程的概念,以及一元二次方程的一般形式,并能确定各项系数.
难点:能根据一元二次方程的概念解决有关问题.
教学方法：讲授法、演示法
教学课时：1
教学过程：
导入新课
1.方程的定义是什么
含有未知数的等式叫方程.
2.什么是一元一次方程
含有一个未知数,且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
讲授新知
问题一　一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示,它的长为8 m,宽为5 m.如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2,则花边多宽
解:如果设花边的宽为x m,那么地毯中央长方形图案的长为　(8-2x)　m,宽为　(5-2x)　m,根据题意,可得方程:　2x2-13x+11=0　.
问题二　观察下面等式:102+112+122=132+142.
你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗
解:如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为:　x+1　,　x+2　,　x+3　,　x+4　.
根据题意,可得方程:　x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2　.
化简,得　x2-8x-20=0　.
问题三　一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米
解:设梯子底端滑动x m,则由题意可得方程:x2+12x-15=0.
[归纳] 定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程.
一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)
范例应用
例1　下列选项中,关于x的一元二次方程的是(C)
A.x2+=0 B.3x2-5xy+y2=0 C.(x-1)(x-2)=0 D.ax2+bx+c=0
[方法归纳] 判断一个方程是一元二次方程的关键:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.
变式训练　判断下列方程是否为一元二次方程
(1)x2+x=36; (2)x3+x2=36; (3)x+3y=36; (4)-=0;
(5)x+1=0; (6)=6; (7)4x2-1=(2x+3)2; (8)()2-2-6=0.
解:(1),(6)是一元二次方程;(2)(3)(4)(5)(7)(8)不是.
例2　a为何值时,下列方程为一元二次方程
(1)ax2-x=2x2; (2)(a-1)x|a|+1-2x-7=0.
解:(1)将方程化为一般形式,得(a-2)x2-x=0,
所以当a-2≠0,
即a≠2时,原方程是一元二次方程.
(2)由|a|+1=2,且a-1≠0,得当a=-1时,原方程是一元二次方程.
[方法归纳] 用一元二次方程的定义求字母的值的方法:根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的方程,再排除使二次项系数等于0的字母的值.
例3　将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项及它们的系数和常数项.
解:去括号,得3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0,
其中二次项是3x2,系数是3;一次项是-8x,系数是-8;常数项是-10.
[方法归纳] 注意:系数和项均包含前面的符号.
变式训练　将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项及它们的系数和常数项:
①5x(x-1)=(x-2)(x+1); ②(2x+3)2=(3+x)(3-x); ③-x(2x-1)=3-2x.
解:①一般形式:2x2-2x+1=0,二次项为2x2,系数是2,一次项是-2x,系数是-2,常数项是1.
②一般形式:5x2+12x=0,二次项为5x2,系数是5,一次项是12x,系数是12,常数项是0.
③一般形式:2x2-3x+3=0,二次项为2x2,系数是2,一次项是-3x,系数是-3,常数项是3.
[方法归纳] 判断一个方程的各项系数时,需要把方程转化为一边是0的形式,然后再确定各项系数.
课堂训练
1.下列方程中是一元二次方程的是(D)
A.xy+2=1 B.2x2-=0 C.3x2-2x-3=3x2 D.x2=1
2.若关于x的方程(a-2)x2-2ax+a+2=0是一元二次方程,则a的值是(D)
A.2 B.-2 C.0 D.不等于2
3.一元二次方程4x2+x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(C)
A.4,0,1 B.4,1,1 C.4,1,-1 D.4,1,0
4.一元二次方程2x2+mx=4x+2不含x的一次项,则m为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知关于x的方程(2k+1)x2+4kx+k-1=0.
(1)当k为何值时,此方程是一元一次方程
(2)k为何值时,此方程是一元二次方程 并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
解:(1)当2k+1=0,且4k≠0,
即k=-时,
(2k+1)x2+4kx+k-1=0,可化为-2x-=0,此时为一元一次方程.
(2)当2k+1≠0,即k≠-时,此方程为一元二次方程,其二次项系数是2k+1,一次项系数是4k,常数项是k-1.
课堂小结
1.一元二次方程的定义.
2.一元二次方程的一般形式.
3.判断一元二次方程的关键步骤.
板书设计
第二章　一元二次方程
1　认识一元二次方程
第1课时　一元二次方程
1.一元二次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).
教学反思
　　本节运用类比的数学方法,在新概念提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受一元二次方程的定义时,主要是类比一元一次方程的概念进行学习,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.
第2课时　一元二次方程的解
教学目标：
1.探索一元二次方程的解或近似解.
2.提高估算意识和能力.
3.通过探索方程的解,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力.
教学重难点：
重点:判断一个数是否为方程的解.
难点:会在简单的实际问题中估计方程的解,理解方程解的实际意义.
教学方法：讲授法、练习法
教学课时：1
教学过程：
导入新课
1.一元二次方程的概念:　只含有一个未知数,并且可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式的整式方程叫做一元二次方程　.
2.一元二次方程的一般形式:　ax2+bx+c=0 (a≠0)　,二次项系数为　a　,一次项系数为　b　,常数项为　c　.
讲授新课
问题一　练一练:下面哪些数是方程x2-x-6=0的解
-5,-3,-2,0,2,3,4.
解:(-5)2-(-5)-6=24≠0;
(-3)2-(-3)-6=6≠0;
(-2)2-(-2)-6=0;
02-0-6=-6≠0;
22-2-6=-4≠0;
32-3-6=0;
42-4-6=6≠0;
所以-2和3是方程x2-x-6=0的解.
定义:使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫做根).
想一想:如何判断一个数是否是一元二次方程的解
[归纳] 把未知数的值代入方程中,使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.
问题二　在上一课中,我们知道四周花边部分的宽度x满足方程(8-2x)(5-2x)=18,你能求出这个宽度吗
(1)x可能小于0吗 说说你的理由;
(2)x可能大于4吗 可能大于2.5吗 说说你的理由;
(3)方程(8-2x)(5-2x)=18的解你能求出吗 请试着估算此方程的解;
(4)你能求出四周花边部分的宽度是多少吗
解:(1)x不可能小于0,
因为x表示四周花边部分的宽度.
(2)根据题意,8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽,所以8-2x>0,5-2x>0,因此x不可能大于4,也不可能大于2.5.
(3)完成下表:
x 0.5 1 1.5 2
(8-2x)(5-2x) 28 18 10 4
由表格可知,当x=1时,(8-2x)(5-2x)=18,由方程的解的意义,可以得出x=1是方程(8-2x)(5-2x)=18的解.
(4)由(1)(2)(3),知方程的解为1.
所以四周花边部分的宽度为1 m.
[归纳]
用估算法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的近似解的步骤:
①列表:根据实际情况确定方程解的大致范围,分别计算方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ax2+bx+c的值;
②在表中找出当ax2+bx+c的值可能等于0的未知数的范围;
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围,直到找出符合要求的范围.
范例应用
例题　在上一课中,梯子的底端滑动的距离x满足方程x2+12x-15=0.
你能猜出滑动距离x的大致范围吗 x的整数部分是几 十分位是几
下面是小明的求解过程:
x 0 0.5 1 1.5 2 …
x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 …
可知x取值的大致范围是1进一步计算:
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
所以1.1课堂训练
1.根据下表中的对应值,判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是(C)
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x2-4x+2 2 0.25 -1 -1.75 -2 -1.75 -1 0.25 2
A.02.从表中你能得出方程5x2-24x+28=0的根是几吗 如果能,写出方程的根,如果不能,请写出方程根的取值范围.
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
5x2-24x+28 17.25 9 3.25 0 -0.75 1 5.25
解:根据表格中的数据,知:
方程有一个根是x=2;
另一个根的范围是2.53.一个长方形的周长为30 cm,面积为54 cm2,设宽为x cm.
(1)根据题意列方程;
(2)x可能小于0吗 说明理由;
(3)x可能大于15吗 说明理由.
解:(1)由长方形的宽为x cm,
则长为(15-x) cm,可得x(15-x)=54.
(2)不可能.x表示长方形的实际宽,不可能小于0.
(3)不可能.因为长与宽的和是15,x不可能大于15.
4.一名跳水运动员进行10 m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5 m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系:h=10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作
解:根据题意,得10+2.5t-5t2=5.
即2t2-t-2=0.
根据题意,t>0.
完成下表:
t 0 1 2 3
2t2-t-2 -2 -1 4 13
t 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.25
2t2-t-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52 1 -0.125
由此看出,可以使2t2-t-2的值为0的t的范围是1.25故可知运动员完成规定动作最多有1.3 s.
课堂小结
1.一元二次方程的解的概念.
2.解一元二次方程“两边夹”方法.
板书设计
第2课时　一元二次方程的解
1.一元二次方程的解的概念:使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫做根).
2.解一元二次方程“两边夹”方法.
教学反思
　　本节运用类比的数学方法,在新概念提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.在学习方程的近似解的时候,采用的是“两边夹”的方法进行操作,通过列出表格,根据表格中数值的关系,猜想出问题的答案,这一方法容易理解.