人教版高中数学必修第二册8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.棱长为3的正方体的表面积为 (　　)
A.27 B.64 C.54 D.36
2. 已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图L8-3-1),则三棱锥B1-ABC的体积V= (　　)
图L8-3-1
A. B.
C. D.
3.如图L8-3-2,长方体ABCD - A1B1C1D1的体积为V1,E为棱CC1上的点,且CE=CC1,三棱锥E-BCD的体积为V2,则= (　　)
图L8-3-2
A. B. C. D.
4.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正四棱锥的体积为 (　　)
A. B. C.4 D.
5.已知正三棱柱的高为4,体积为4,则底面三角形的边长为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图L8-3-3,在正方体ABCD - A1B1C1D1中,正三棱锥D - A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是 (　　)
图L8-3-3
A. B. C. D.
7.如图L8-3-4,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D -ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1∶V2= (　　)
图L8-3-4
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5
8.如图L8-3-5,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,水面的高为 (　　)
图L8-3-5
A.6 B.7
C.2 D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.有一个正四棱台形的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别为60 cm和40 cm,则它的高为　　　　 cm.
10.已知正四棱柱的底面边长为2,体积为32,则此四棱柱的表面积为　　　　.
11.已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四棱锥A1-EFGH的体积为　　　　.
12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1两两成60°角,点E,F,G分别为AB,AC,AA1上的点,且AE=AB,AF=AC,AG=AA1,则三棱锥G - AEF的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是,,.
(1)求这个长方体的体对角线长;
(2)求这个长方体的体积.
14.(10分)正四棱台ABCD - A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,求正四棱台的表面积.
15.(5分)在《九章算术》中,堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图L8-3-6,在堑堵ABC-A1B1 C1中,AC⊥BC,AA1=AB=2,则当阳马B - A1ACC1 的体积最大时,堑堵ABC-A1 B1 C1的体积为　　　　.
图L8-3-6
16.(15分)如图L8-3-7是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2.
(1)求该几何体的体积;
(2)求截面ABC的面积.
图L8-3-7
参考答案与解析
1.C　[解析] 所求表面积为6×32=54.
2.D　[解析] V=××3=.
3.D　[解析] 由题意得,V1=S长方形ABCD·CC1,V2=S△BCD·CE=×S长方形ABCD×CC1=S长方形ABCD·CC1,则=.故选D.
4.D　[解析] 由题知该正四棱锥底面的对角线的长度为2,故该正四棱锥的高h==,所以其体积V=×4×=,故选D.
5.B　[解析] 设正三棱柱底面三角形的边长为a,则底面三角形的面积S=a2,由正三棱柱的体积V=a2×4=4,得a=2,故选B.
6.B　[解析] 设正方体的棱长为1,则正方体的表面积为6,正三棱锥D-A1BC1的棱长均为,其表面积为4××sin 60°×=2,∴ 正三棱锥D - A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是,故选B.
7.C　[解析] ∵E是PC的中点,∴P,C到平面ABE的距离相等,∴V三棱锥P-ABE=V三棱锥C-ABE,又D是PB的中点,∴D到平面ABE的距离等于P到平面ABE的距离的,∴V三棱锥D-ABE=V三棱锥P-ABE=V三棱锥P-ABC,∴==.故选C.
8.A　[解析] 根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,有水的部分为四棱柱,其底面是梯形,设△ABC的面积为S,则S梯形=S,水的体积V水=S×A1A=6S.当底面ABC水平放置时,有水的部分为三棱柱,设水面的高为h,则V水=Sh=6S,故h=6,故选A.
9.75　[解析] 设正四棱台的体积为V mL,上、下底面的面积分别为S' cm2,S cm2,高为h cm,则V=(S++S')h,即h=,则h==75,故高为75 cm.
10.16+32　[解析] 设正四棱柱的高为h,则h==4,所以此四棱柱的表面积为4×4×2+2×2×2=32+16.
11.　[解析] ∵正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴四边形EFGH是边长为的正方形,又点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2,∴四棱锥A1-EFGH的体积V=×d×S正方形EFGH =×2×× =.
12.　[解析] 设三棱柱ABC-A1B1C1的高为H,三棱锥G - AEF的高为H',则三棱锥G - AEF的体积V=×S△AEF×H'=×S△AEF×H.设△AEF的边AF上的高为h',则根据点E为AB的中点得,△ABC的边AC上的高为2h',所以S△AEF=×AF×h'=×AC×h'=AC×h',S△ABC=×AC×2h'=AC×h',则三棱锥G - AEF的体积V1=AC×H×h',三棱柱ABC-A1B1C1的体积V2=AC×h'×H,故所求体积之比为.
13.解:(1)设此长方体共顶点的三条棱的长分别为a,b,c,
则ab=,bc=,ac=,解得c=,a=,b=1.
故这个长方体的体对角线长为=.
(2)由(1)可知这个长方体的体积V=abc=.
14.解:∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,
∴上底面、下底面的面积分别是4,16.
∵侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,
∴侧面的高为=,
∴一个侧面的面积为×(2+4)×=3,
∴正四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.
15.2　[解析] 设AC=x,BC=y,则由题意得x>0,y>0,x2+y2=4.阳马B - A1ACC1的体积V1=×2x×y=xy,∵xy≤=2,当且仅当x=y=时取等号,∴当阳马B - A1ACC1的体积最大时,AC=BC=,此时堑堵ABC - A1B1C1的体积V2=S△ABC·AA1=×××2=2.
16.解:(1)如图,过C作平行于△A1B1C1的截面A2B2C,分别交AA1,BB1于点A2,B2.
由题知,该几何体的体积V=+=×2×2×2+××(1+2)×2×2=6.
(2)在△ABC中,AB==,
BC==,
AC==2,
则S△ABC=×2×=.