人教版高中数学必修第二册8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等,那么圆柱与圆锥的底面积之比是 (　　)
A.1∶1 B.1∶3
C.3∶1 D.2∶1
2.已知实心铁球的半径为R,若将该铁球熔成一个底面半径为R,高为h的圆柱,则= (　　)
A. B.
C. D.2
3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 (　　)
A.π B.2π
C.4π D.8π
4.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6,圆心角为的扇形,则圆锥的高为 (　　)
A. B.
C. D.5
5.在球内有相距1 cm的两个平行截面,截面面积分别是5π cm2和8π cm2,若球心不在截面之间,则球的表面积是 (　　)
A.36π cm2 B.27π cm2
C.20π cm2 D.16π cm2
6.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是 (　　)
A.16π B.20π
C.24π D.32π
7.半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面,若两个圆锥的体积之和为球的体积的,则这两个圆锥的高之差的绝对值为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平均降雨量是 (　　)
(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
A.2寸 B.3寸
C.4寸 D.6寸
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图L8-3-8所示),则球的半径是　　　　　cm.
图L8-3-8
10.将一个圆锥截成圆台,已知截得的圆台的上、下底面面积之比是1∶4,截去的小圆锥母线长为2,则截得的圆台的母线长为　　　　.
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=1,AC=,BB1=2,则该三棱柱的外接球的表面积为　　　　.
12.已知球的表面积为4π,则它的半径等于　　　　,它的内接长方体的表面积的最大值为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)如图L8-3-9,圆柱的底面半径为r,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.
(1)计算圆柱的表面积;
(2)计算圆锥、球、圆柱的体积之比.
图L8-3-9
14.(10分)在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴将三角形旋转一周得到一个几何体,求该几何体的表面积与体积.
15.(5分)如图L8-3-10,圆形纸片的圆心为O,半径为6,该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为 (　　)
图L8-3-10
A. B.
C. D.
16.(15分)现有一堆规格相同的六角螺母,经测定其密度为7.8 g/cm3,总重量为5.8 kg.其中一个螺母的三视图(单位:mm)如图L8-3-11所示.(π取3.14)
(1)这堆螺母大约有多少个
(2)对上述螺母做防腐处理,耗材为0.11 kg/m2,大约需要多少防腐材料 (结果精确到0.01)
图L8-3-11
参考答案与解析
1.B　[解析] 因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的,所以当一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等时,圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍,即圆柱与圆锥的底面积之比是1∶3.故选B.
2.B　[解析] 由题知球和圆柱的体积相等,则πR3=πR2h,可得=.故选B.
3.B　[解析] 设圆柱的母线长为l,底面半径为r,则由题意得解得
∴V圆柱=πr2l=2π.
4.C　[解析] 因为圆锥的侧面展开图是一个半径为6,圆心角为的扇形,所以圆锥的母线长为6,设其底面半径为r,则×6=2πr,解得r=1,所以圆锥的高为=,故选C.
5.A　[解析] 由题知面积为5π cm2的截面圆的半径为 cm,面积为8π cm2的截面圆的半径为2 cm,设球心到大截面圆的距离为d cm,则5+(d+1)2=8+d2,解得d=1,则球的半径为=3(cm),∴球的表面积是4π×32=36π(cm2).故选A.
6.C　[解析] 依题意知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的体对角线BD1是其外接球的直径, BD1的中点O是球心.依题意设AB=BC=x,则正四棱柱的体积V=4x2=16,解得x=2,所以外接球的直径2R====2,所以外接球的半径R=,则这个球的表面积S=4πR2=24π,故选C.
7.C　[解析] 如图,设两个圆锥的顶点分别为A,B,底面圆的圆心为O1,底面圆半径O1C=r,球心为O,球的半径OC=R=6.∵两个圆锥的体积之和为球的体积的,∴πr2·AO1+πr2·BO1=πr2(AO1+BO1)=πr2(2R)=×πR3,则r2=R2=27,即r=3.在Rt△OO1C中,OO1===3,则两个圆锥的高分别为AO1=R-OO1=3,BO1=R+OO1=9,∴两个圆锥的高之差的绝对值为6,故选C.
8.B　[解析] 由已知得天池盆盆口半径为14寸,盆底半径为6寸,则盆口面积为196π平方寸,盆底面积为36π平方寸.∵盆深18寸,盆中积水深9寸,∴积水的水面半径为=10(寸),∴积水水面的面积为100π平方寸,则积水的体积V=×(36π++100π)×9=588π(立方寸),故平均降雨量是=3(寸).
9.4　[解析] 设球的半径为r cm,则三个球的体积之和为3×πr3=4πr3.由题意知6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.
10.2　[解析] 设截得的圆台的母线长为x,由题意知截得的圆台的上、下底面半径之比是1∶2.因为截去的小圆锥母线长为2,所以=,解得x=2.
11.8π　[解析] 如图,连接B1C,BC1交于点O,取BC的中点D,连接OD,OA,AD.∵AB⊥AC,D为BC的中点,∴AD=BD=CD,∴OA=OB=OC.同理可知,OA1=OB1=OC1.∵四边形BCC1B1为矩形,∴OB=OC1,∴O为三棱柱外接球的球心,∴外接球的半径R===,∴外接球的表面积为4πR2=8π.
12.1　8　[解析] 设球的半径为R,则球的表面积为4πR2=4π,解得R=1.设内接长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则x2+y2+z2=(2R)2=4,故长方体的表面积S=2xy+2yz+2xz≤(x2+y2)+(y2+z2)+(x2+z2)=8,当且仅当x=y=z=时取等号.
13.解:(1)∵圆柱的底面半径为r,∴圆柱的高h=2r,
则圆柱的表面积S=2×πr2+4πr2=6πr2.
(2)由题知,V圆锥=πr2×2r=πr3,V圆柱=πr2×2r=2πr3,V球=πr3,
则V圆锥∶V球∶V圆柱=πr3∶πr3∶2πr3=1∶2∶3.
14.解:由题意知△ABC为直角三角形,以斜边AB所在直线为轴将三角形旋转一周,所得几何体是以AB边上的高为底面半径的两个圆锥的组合体.
∵AC=3,BC=4,AB=5,
∴AB边上的高为=,
故该几何体的体积V=π××5=π,表面积S=π××(3+4)=.
15.D　[解析] 如图,连接OE交AB于点I,设E,F,G,H重合于点P.设正方形ABCD的边长为x(x>0),则OI=,IE=6-,因为四棱锥的侧面积是底面积的2倍,所以4××6-=2x2,可得x=4.设四棱锥的外接球的球心为Q,半径为R,因为PA=EA==2,所以OP==2,则R2=(2-R)2+(2)2,解得R=,则外接球的表面积S=4π×2=,故选D.
16.解:设一个螺母底面正六边形的边长为a,内孔半径为r,高为h,一个螺母的表面积为S,根据三视图可知,a=12 mm,h=10 mm,r=5 mm.
(1)设一个螺母的体积为V,则V=6××a2×sin 60°-πr2×10=2160-250π(mm3),则这堆螺母有≈252(个).
(2)S=6ah+2×6××a2×sin 60°-πr2+2π·r·h=720+432+50π(mm2),
则共需防腐材料×252×0.11≈0.05(kg).