2023-2024学年度北师大版数学九年级上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程 教案

4　用因式分解法求解一元二次方程
教学目标：
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
教学重难点：
重点:理解因式分解解方程的依据,会应用因式分解法解一元二次方程.
难点:会应用因式分解法解一元二次方程.
教学方法：讲授法、练习法
教学课时：1
教学过程：
课堂导入
请将下列各式因式分解:
(1)4x2-121; (2)x2-9; (3)3x(x+5)-5(x+5); (4)(5x+1)2-1.
解:(1)4x2-121=(2x+11)(2x-11).
(2)x2-9=(x+3)(x-3).
(3)3x(x+5)-5(x+5)=(3x-5)(x+5).
(4)(5x+1)2-1=(5x+1+1)(5x+1-1)=5x(5x+2).
讲授新课
问题　一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 如果相等,这个数是几 你是怎样求出来的
小颖、小明、小亮都设这个数为x,根据题意可得方程x2=3x.
小颖的思路:
由方程x2=3x,得x2-3x=0.
所以x=.
即x1=0,x2=3.
所以这个数是0或3.
小明的思路:
方程x2=3x两边同时约去x,得x=3.
所以这个数是3.
小亮的思路:
由方程x2=3x,得x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
所以x=0,或x-3=0.
所以x1=0,x2=3.
所以这个数是0或3.
问题:他们做得对吗 为什么
小颖、小亮做得对,小明做得不对,当x=0时,两边不能同时约去x.
[归纳] 定义:当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
想一想:因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么
一移——方程的右边=0;
二分——方程的左边因式分解;
三化——方程化为两个一元一次方程;
四解——写出方程两个解.
范例应用
例题　解下列方程:
(1)4x2=7x; (2)3x+2=x(3x+2).
解:(1)4x2-7x=0,
x(4x-7)=0.
所以x=0或4x-7=0.
所以x1=0,x2=.
(2)(3x+2)-x(3x+2)=0,
(3x+2)(1-x)=0.
所以3x+2=0或1-x=0.
所以x1=-,x2=1.
[方法归纳] 简记口诀:右化零　左分解　两因式　各求解
变式训练　解下列方程:
(1)(2x+3)2=4(2x+3); (2)(x-2)2=(2x+3)2.
解:(1)(2x+3)2-4(2x+3)=0,
(2x+3)(2x+3-4)=0,
即(2x+3)(2x-1)=0.
所以2x+3=0或2x-1=0.
所以x1=-,x2=.
(2)(x-2)2-(2x+3)2=0,
(x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0,
即(3x+1)(x+5)=0.
所以3x+1=0或x+5=0.
所以x1=-,x2=-5.
课堂练习
1.解方程x(x+2)=3(x+2),最适合的方法是(B)
A.直接开平方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法
2.下列方程中,不适合用因式分解法解的是(B)
A.x2-2x+1=0 B.x2-2x-1=0 C.x2=7x D.x2-4=0
3.方程x2-5x=0的解是(C)
A.x1=x2=5 B.x1=x2=0 C.x1=0,x2=5 D.x1=-5,x2=0
4.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是(D)
A.2 B.3 C.-1,2 D.-1,3
5.解方程:
(1)3x(2x+1)=4x+2; (2)(x-4)2=(5-2x)2; (3)2(x-3)2=x2-9.
解:(1)原方程可变形为3x(2x+1)=2(2x+1).
所以3x(2x+1)-2(2x+1)=0,
即(2x+1)(3x-2)=0.
所以2x+1=0,或3x-2=0.
所以x1=-,x2=.
(2)原方程可变形为(x-4)2-(5-2x)2=0.
所以[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0,
即(1-x)(3x-9)=0.
所以1-x=0,或3x-9=0.
所以x1=1,x2=3.
(3)原方程可变形为2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0.
所以(x-3)(x-9)=0.
所以x-3=0,或x-9=0.
所以x1=3,x2=9.
6.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解:设这个数为x,得2x2=7x,
即2x2-7x=0.
因式分解,得x(2x-7)=0,
所以x1=0,x2=.
所以这个数为0或.
课堂小结
1.因式分解法解一元二次方程的定义.
2.因式分解法解一元二次方程的原理.
3.因式分解法解一元二次方程的步骤.
板书设计
4　用因式分解法求解一元二次方程
1.因式分解法解一元二次方程的定义:当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
2.因式分解法解一元二次方程的原理:如果a·b=0,那么a=0或b=0.
3.因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移——方程的右边=0;
二分——方程的左边因式分解;
三化——方程化为两个一元一次方程;
四解——写出方程两个解.
教学反思
　　因式分解法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法,在此基础上,提出了本课的具体学习任务:能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x-a)=0”和“x2-a2=0”的特殊一元二次方程.通过因式分解法,转化为求两个一元一次方程的解,将未知领域转化为已知领域,渗透了化归数学思想.