2023-2024学年度北师大版数学九年级上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教案

5　一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
1.了解一元二次方程根与系数的关系.
2.利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题.
3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程,体会从特殊到一般的思想.
教学重难点：
重点:掌握一元二次方程根与系数的关系,并能应用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题.
难点:利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题.
教学方法：讲授法、练习法
教学课时：1
教学过程：
新课导入
1.一元二次方程的一般形式是什么
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.一元二次方程的求根公式是什么
x=(b2-4ac≥0).
3.一元二次方程的根的情况怎样确定
Δ=b2-4ac
讲授新知
问题　探索根与系数的关系
解下列方程并填写表格:
方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2-2x+1=0
x2-2x-1=0
2x2-3x+1=0
解:
方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2-2x+1=0 1 1 2 1
x2-2x-1=0 -2 +2 2 -1
2x2-3x+1=0 1
两根之和、两根之积与一元二次方程的系数有关系吗
我们知道对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说,
当b2-4ac≥0时,方程的两个根为x1=,x2=,
所以x1+x2=+==-.x1x2=·===.
[归纳] 定义:一般地,一元二次方程的根与系数有如下关系:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=-,x1·x2=.
应用根与系数这个结论的前提为b2-4ac≥0.
范例应用
例1　利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2+7x+6=0; (2)2x2-3x-2=0.
解:(1)已知a=1,b=7,c=6.
Δ=b2-4ac=72-4×1×6=25>0.
所以方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根是x1,x2,
那么x1+x2=-7,x1x2=6.
(2)已知a=2,b=-3,c=-2.
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根是x1,x2,
那么x1+x2=,x1x2=-1.
[方法归纳] 利用根与系数的关系判断时,一定要注意前提条件是Δ≥0.
例2　已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
解:设方程5x2+kx-6=0的两个根分别是x1,x2,其中x1=2.所以x1·x2=2x2=-.
所以x2=-.
又因为x1+x2=2+（-）=-,
所以k=-7.
故方程的另一个根是-,k的值为-7.
例3　已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别是x1,x2,请利用根与系数的关系求出两根差的平方(x1-x2)2及两根的平方和+的值.
解:由根与系数的关系,得x1+x2=-3,x1·x2=-1.
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=(-3)2-4×(-1)
=9+4
=13;
+=(x1+x2)2-2x1x2
=(-3)2-2×(-1)
=9+2
=11.
[方法归纳] 总结常见的求值:
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1;
(4)+=;
(5)+==.
课堂练习
1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是(A)
A.-10 B.10 C.-16 D.16
2.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则ba的值是(A)
A. B.- C.4 D.-1
3.不解方程,求下列方程两根的和与两根的积:
(1)x2+3x-1=0; (2)2x2-4x+1=0.
解:(1)这里a=1,b=3,c=-1.
Δ=b2-4ac=32-4×1×(-1)=13>0.
所以方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-3,x1x2=-1.
(2)这里a=2,b=-4,c=1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×1=8>0.
所以方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=2,x1x2=.
4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值.
解:将x=1代入方程中,得3-19+m=0.
解得m=16,
设另一个根为x1,则1×x1==.
所以x1=.
5.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)当+=6x1x2时,求m的值.
解:(1)因为原方程有两个实数根,
所以Δ=(-2)2-4(m-1)≥0.
整理得4-4m+4≥0,解得m≤2.
(2)因为x1+x2=2,x1·x2=m-1,+=6x1x2,
所以(x1+x2)2-2x1·x2=6x1·x2,
即4=8(m-1),解得m=.
因为m=<2,所以符合条件的m的值为.
课堂小结
1.根与系数的关系.
2.根与系数的关系的应用.
板书设计
*5　一元二次方程的根与系数的关系
1.根与系数的关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=-,x1·x2=.
2.根与系数的关系的应用:
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1;
(4)+=;
(5)+==.
教学反思
　　在教学设计中,先复习一元二次方程的一般形式及求根公式,利用问题情境解方程,一方面巩固前面所说的用公式法求一元二次方程,另一方面通过求出方程的两根,引导学生探讨一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系.让学生自己动手,得出结论,这样做,充分发挥了学生的主动性.接着是利用求根公式推导一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)两根之和与两根之积与系数的关系,做到由特殊到一般,从而得出最后的结论.最后是通过讲解例题和练习的方式让学生掌握一元二次方程根与系数的关系