2023-2024学年度北师大版数学九年级上册2.6应用一元二次方程 教案 （2课时）

6　应用一元二次方程
第1课时　用一元二次方程解决几何问题
教学目标：
1.使学生会用一元二次方程解应用题.
2.进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力,培养学生运用数学的意识.
3.通过列方程解应用题,进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.
教学重难点：
重点:掌握列一元二次方程解决实际问题的步骤,并会应用解决实际问题.
难点:利用一元二次方程解决实际问题.
教学方法：讲授法、练习法
教学课时：1
教学过程：
新课导入
列方程解应用题的常见步骤是什么
解:(1)审:审清题意,找等量关系;
(2)设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;
(3)列:列代数式,列方程;
(4)解:解所列的方程;
(5)验:是否是所列方程的解;是否符合题意;
(6)答:答案也必须是完整的语句,注明单位.
列方程解应用题的关键是:找出相等关系.
讲授新课
问题　如图所示,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离为8 m.
(1)如果梯子的顶端下滑1 m,那梯子的底端滑动多少米
(2)梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢
(3)如果梯子的长度是13 m,梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗 如果相等,那么这个距离是多少
解:(1)由勾股定理知,滑动前梯子底端距墙6 m,
设梯子底端滑动x m,那么滑动后梯子底端距墙(6+x) m,
则72+(x+6)2=102.
解得x1=-6,x2=--6(舍去).
所以梯子底端滑动(-6)m.
(2)由勾股定理知,滑动前梯子底端距墙6 m,
设梯子顶端下滑x m,梯子底端距墙 (6+x)m,得(8-x)2+(x+6)2=102.
解得x1=2,x2=0(舍去).所以下滑2 m时相等.
(3)由勾股定理知,滑动前梯子底端距墙5 m,
设梯子顶端下滑x m,那么滑动后梯子底端距墙(5+x)m,则(12-x)2+(x+5)2=132.
解得x1=7,x2=0(舍去).
所以相等,这个距离为7 m.
[归纳] 解决与直角三角形有关的线段长的问题,我们通常是根据勾股定理列出方程求解.
范例应用
例题　如图所示,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
(1)小岛D与小岛F相距多少海里
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)
解:(1)如图所示,作DF⊥BC于点F.
因为AD=CD,BF=CF,
所以DF是△ABC的中位线.
所以DF∥AB,且DF=AB.
因为AB⊥BC,AB=BC=200 n mile,
所以DF⊥BC,DF=100 n mile.
(2)设相遇时补给船航行了x n mile,那么
DE=x n mile,AB+BE=2x n mile,
EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x) n mile.
在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2.
整理,得3x2-1 200x+100 000=0,
解得x1=200-≈118.4,x2=200+(不合题意,舍去).
所以相遇时补给船航行了118.4 n mile.
变式训练　如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以 1 cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后五边形APQCD的面积为64 cm2
解:设所需时间为t s,则AP=t,BQ=2t,PB=6-t,
根据题意,得2t(6-t)÷2=6×12-64.
整理,得t2-6t+8=0.
解方程,得t1=2,t2=4.
答:在第2 s和第4 s时五边形APQCD的面积是64 cm2.
[方法归纳] (1)关键——动中取静，
把动的点进行转换,变为线段的长度;
(2)方法——时间变路程，
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”,也是求线段的长度;
(3)常找的数量关系——面积,勾股定理,相似三角形等.
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.
课堂练习
1.如图所示,AB⊥BC,AB=10 cm,BC=8 cm,一只蝉从C点沿CB方向以1 cm/s的速度爬行,蝉开始爬行的同时,一只螳螂由A点沿AB方向以2 cm/s的速度爬行,当螳螂和蝉爬行x s后,它们分别到达了M,N的位置,此时,△MNB的面积恰好为24 cm2,由题意可列方程(D)
A.2x·x=24 B.(10-2x)(8-x)=24 C.(10-x)(8-2x)=24 D.(10-2x)(8-x)=48
第1题图 第2题图
2.如图所示,公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花,原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为 18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为x m,则可列方程为(C)
A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0
3.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15 cm2的是(B)
A.第2秒 B.第3秒 C.第4秒 D.第5秒
4.某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长为20 m),另三边用总长40 m的木栏围成.要使得围成的养鸡场的面积为198 m2,三边木栏的长应分别为多少米
解:设养鸡场的宽x m,则长为(40-2x) m,得
(40-2x)·x=198,解得x1=9,x2=11.
当x=9时,40-2x=40-18=22>20,不符合题意,舍去;
当x=11时,40-2x=40-22=18<20,符合题意;
答:养鸡场的长为18 m,宽为11 m.
课堂小结
1.总结列一元二次方程解应用题的步骤.
2.把几何问题转化为代数问题.
板书设计
6　应用一元二次方程
第1课时　用一元二次方程解决几何问题
1.列一元二次方程解应用题的步骤:
审、设、列、解、验、答.
2.在列一元二次方程解应用题时,由于所得的根一般有两个,所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.
教学反思
　　这节课是“列一元二次方程解应用题”,讲述的是在几何问题中以学生熟悉的现实生活为背景的问题,让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系,归纳出几何图形之间的数量关系,并能用方程表示相等关系,最终解决实际问题,体会数学在现实生活中的作用.
第2课时　用一元二次方程解决变化率、利率问题
教学目标：
1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力.
教学重难点：
重点:会用一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率的问题.
难点:营销问题、平均变化率问题中的相等关系.
教学方法：讲授法、练习法
教学课时：1
教学过程：
课堂导入
关于利润的基本知识:
(1)进价(进货价、成本价);
(2)标价;
(3)售价;
(4)利润=售价-进价;
(5)利润率=×100%=.
讲授新知
知识点1　利率问题
1.某商人将进价为每件8元的某种商品按每件 10元出售,则1件利润是　2元　;若每天可售出100件,则一天的总利润是　200元　.
2.商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现,当销售价为2 900元时,平均每天能售出 8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元
[点拨] 本题的主要等量关系
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5 000 元.
如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价就是(2 900-x)元,每台冰箱的销售利润为 (2 900-x-2 500)元,平均每天销售冰箱的数量为8+4×台.
解:设每台冰箱降价x元,根据题意,得(2 900-x-2 500)(8+4×)=5 000.
整理,得x2-300x+22 500=0.
解得x1=x2=150.
所以2 900-x=2 900-150=2 750.
所以每台冰箱的定价为2 750元.
3.某商场将进价为30元的台灯以40元的价格售出,平均每月能售出600个.市场调查表明:这种台灯的售价每上涨1元,其销售量将减少 10个.若销售利润率不得高于100%,那么销售这种台灯每月要获利10 000元,台灯的售价应定为多少元
解:设这种台灯的售价上涨x元,根据题意,得
(40+x-30)(600-10x)=10 000,
整理,得x2-50x+400=0,
解得x1=10,x2=40.
当台灯售价定为80元,利润率为166.7%,高于100%,不符合要求;
当台灯售价定为50元时,利润率为66.7%,低于100%,符合要求.
答:每个台灯售价应定为50元.
知识点2　变化率问题
2020年生产1 t甲种药品的成本是5 000元,随着生产技术的进步,2021年生产1 t甲种药品的成本是4 650元.
(1)下降率是　7%　;
(2)保持这个下降率,那么2022年生产1 t甲种药品的成本是　4 324.5　元.
下降率=
下降后的量=下降前的量×(1-下降率)
[归纳] (1)增长率问题
设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),二次增长后的值为a(1+x)2,依次类推n次增长后的值为a(1+x)n.
(2)降低率问题
设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),二次降低后的值为a(1-x)2,依次类推n次降低后的值为a(1-x)n.
范例应用
例题　2019年生产1 t甲种药品的成本是5 000元,随着生产技术的进步,2021年生产1 t甲种药品的成本是3 000元,试求甲种药品成本的年平均下降率是多少
解:设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意,列方程,得5 000(1-x)2=3 000,
解方程,得x1≈0.225,x2≈1.775.
根据问题的实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
变式训练　某公司2022年一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.
[点拨] 设这个增长率为x,则二月份营业额为200(1+x)万元;三月份营业额为:200(1+x)2万元.
根据:一月、二月、三月的营业额共950万元.
解:设这个增长率为x.根据题意,得
200+200(1+x)+200(1+x)2=950,
整理,得4x2+12x-7=0,
解得x1=-3.5(舍去),x2=0.5.
答:这个增长率为50%.
课堂训练
1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,则平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株 设每盆多植x株,则可以列出的方程是(A)
A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15
2.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截至2022年初某市汽车保有量为 169万辆.已知2020年年初该市汽车保有量为 100万辆,设2020年年初至2022年年初该市汽车保有量的平均增长率为x,根据题意列方程得(A)
A.100(1+x)2=169 B.100(1+2x)=169 C.100(1-x)2=169 D.100(1-2x)=169
3.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%)
解:设原价为1个单位,每次降价的百分率为x.
根据题意,得(1-x)2=,
解得x1=1+,x2=1-,
因为x=1+>1(舍去),
所以x=1-≈29.3%.
答:每次降价的百分率为29.3%.
4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元
解:设每件衬衫降价x元,根据题意,得
(40-x)(20+2x)=1 200,
整理,得x2-30x+200=0,
解得x1=10,x2=20.
因为要尽快减少库存,所以x=20.
答:每件衬衫应降价20元.
课堂小结
1.利用一元二次方程解决营销问题.
2.利用一元二次方程解决变化率问题.
板书设计
第2课时　用一元二次方程解决变化率、利率问题
1.利用一元二次方程解决营销问题;
2.利用一元二次方程解决变化率问题:
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量,x为增长率,2为增长次数,b为增长后的量.
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量,x为降低率,2为降低次数,b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
教学反思
　　本节课的教学过程,始终把分析问题、寻找等量关系作为重点进行教学,不断对学生引导、启发,让学生自己去探索、去发现问题,并根据营销问题和增长率问题中常见的公式进行分析和应用,这也很大程度上降低了学生学习的难度,便于学生更好的应用、掌握.