2023-2024学年苏科版八年级数学上册第1—3章阶段性综合练习题(含解析）

2023-2024学年苏科版八年级数学上册《第1—3章》阶段性综合练习题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
3．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝2∠B＝70°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．AB＝3，BC＝6，周长为14
4．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
5．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝b2﹣c2 D．∠A＝∠C﹣∠B
6．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（　　）
A．20 B．12 C．16 D．13
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝30°，∠EDC的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值是（　　）
A．15 B．22 C．18 D．17
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．已知△ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为　 　．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为　 　．
11．如图，已知AD＝DB＝BC，∠C＝25°，则∠ADE＝　 　．
12．若直角三角形两边分别是3和4，则第三边是　 　．
13．若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边为　 　．
14．中国古代称直角三角形为勾股形，其中直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，有一个基本的几何定理，称之为勾股定理．它指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达a2+b2＝c2，这是一个基本事实．利用这个基本事实解决下列问题．
如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为　 　m．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　 　°．
16．如图，已知∠EOF＝90°，△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点A、B分别在边OE、OF上运动，△ABC的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为　 　．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端8米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
18．如图，一块四边形的土地，其中∠BAD＝90°，AB＝4m，BC＝13m，CD＝12m，AD＝3m．
（1）试说明BD⊥DC；
（2）求这块土地的面积．
19．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
20．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是多少？
21．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
（3）若连接OP，请说明OP平分∠EPF．
22．如图，设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
（1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能”或“不能”）
（2）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝　 　，θ2＝　 　，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示）
（3）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
23．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME＝MF．
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
24．阅读下列材料：在四边形ABCD中，我们把一组邻边相等，剩下另一组邻边也相等的四边形称为筝形，如四边形ABCD中，若两邻边AB＝AD，CB＝CD，则把这样的四边形称之为筝形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AC同时平分∠BAD和∠BCD．求证：四边形ABCD是筝形．
（2）写出一条关于筝形对角线的性质 　 　，并利用图1证明此性质．
（3）如图2，在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，则筝形ABCD的面积为 　 　．
25．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．
思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．
（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．
（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝　 　．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
3．解：A、∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；
B、∵∠A＝2∠B＝70°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；
C、∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；
D、∵AB＝3，BC＝6，周长为14，
∴AC＝14﹣6﹣3＝5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误；
故选：C．
4．解：根据折叠可得：AD＝BD，
∵△ADC的周长为17cm，AC＝5cm，
∴AD+DC＝17﹣5＝12（cm），
∵AD＝BD，
∴BD+CD＝12cm．
即BC＝12cm，
故选：C．
5．解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、不妨设a＝5，b＝12，c＝13，此时a2+b2＝132＝c2，即a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；
C、由条件可得到a2+c2＝b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
D、由条件∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
故选：A．
6．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝4，
∵AD⊥BC，点E为AC的中点，
∴DE＝EC＝AC＝6，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，
故选：C．
7．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，
∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，
又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，
则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，
又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，
所以 2x+y＝y+30，
解得x＝15，
所以∠EDC的度数是15°．
故选：B．
8．解：设△BPC中BC边上的高是h，
∵S△PBC＝30，BC＝15，
∴BC h＝30，
∴h＝4，
∴动点P在与CB平行且与CB的距离是4的直线l上，
过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离之和PB+PC的最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵BC＝15，B′B＝8，
∴B′C＝＝17，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．解：∵92+122＝225＝152，
∴△ABC是直角三角形，
∴最长边上的中线长＝×15＝7.5．
故答案为：7.5．
10．解：①如图一，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°；
②如图二，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC＝＝＝20°．
故答案为：70°或20°．
11．解：∵DB＝BC，∠C＝25°，
∴∠BDC＝∠C＝25°，
∴∠ABD＝∠BDC+∠C＝50°，
∵AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝50°，
∴∠ADE＝∠A+∠C＝50°+25°＝75°．
故答案为：75°．
12．解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42＝x2，
∴x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝42，
∴x＝；
∴第三边的长为5或．
故答案为：5或．
13．解：设一条直角边为a，则斜边为a+2，
∵另一直角边长为6，
∴（a+2）2＝a2+62，解得a＝8，
∴a+2＝8+2＝10．
故答案为：10．
14．解：如图所示，设老街与平安路的交点为C，
∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAE，
∵BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠CBA＝∠AED＝90°，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS），
∴AE＝BC＝300 m，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝500（m），
∴CE＝AC﹣AE＝500﹣300＝200（m），
从B到E有两种走法：
①BA+AE＝400+300＝700（m）；
②BC+CE＝300+200＝500（m），
∴最近的路程是500 m，
故答案为：500．
15．解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
16．解：作CD⊥AB于D，连接OD，如图，
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝6，
在Rt△ACD中，CD＝＝8，
∵∠AOB＝90°，
∴OD＝AB＝6，
∵OC≤OD+DC（当且仅当C、D、O共线时取等号），
∴OC的最大值为OD+OC＝6+8＝14，
即点C到点O的最大距离为14．
故答案为14．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：设旗杆高x米，则绳子长为（x+2）米，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解方程，得x＝15，
答：旗杆的高度为15米．
18．解：（1）在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝4m，AD＝3m，由勾股定理得：BD＝5m，
∵BC＝13m，CD＝12m，BD＝5m，
∴BD2+DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
即BD⊥DC；
（2）四边形ABCD的面积是S△ABD+S△BDC＝＝36（m2）．
19．解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9
BC2＝9
∴CH2+BH2＝BC2
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路
（2）设AC＝x
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2
解这个方程，得x＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5千米．
20．解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝20（cm）；
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝（cm）；
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB＝＝7（cm）．
∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm．
21．解：（1）∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，MN＝20cm，
∴ME+EF+NF＝PE+EF+PF＝MN＝20cm，即△PEF的周长是20cm；
（2）如图，
∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴∠PRE＝∠PTF＝90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠MPN+∠AOB＝180°，
∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，
即∠MPN+∠M+∠N＝180°，
∴∠M+∠N＝∠AOB＝35°，
∴∠EPF＝180°﹣35°×2＝110°；
（3）如图，连接OM，ON，OP．
∵P，M关于OA对称，
∴OA垂直平分线段PM，
∴OM＝OP，EM＝EP，
∴∠OPM＝∠OMP，∠EPM＝∠EMP，
∴∠OPE＝∠OME，
同法可证∠OPF＝∠ONF，
∵OM＝ON，
∴∠OME＝∠ONF，
∴∠OPE＝∠OPF，
∴OP平分∠EPF．
22．解：（1）小棒不能无限摆下去；
（2）∵小木棒长度都相等，
∴∠BAC＝∠AA2A1，∠A2A1A3＝∠A2A3A1，∠A3A2A4＝∠A3A4A2，
由三角形外角性质，θ1＝2θ，θ2＝3θ，θ3＝4θ；
（3）∵只能摆放4根小木棒，
∴，
解得18°≤θ＜22.5°．
故答案为：不能；2θ，3θ，4θ．
23．（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴△BEC为直角三角形，∠BEC＝90°，△CFB为直角三角形，∠CFB＝90°，
∵M为BC中点，
∴FM＝BC，EM＝BC，
∴ME＝MF；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵MF＝MB，ME＝MC，
∴∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣2×130°＝100°，
∴∠FME＝180°﹣100°＝80°．
24．（1）证明：如图1，∵AC同时平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵AC＝AC，
∴△BAC≌△DAC（ASA），
∴AB＝AD、CB＝CD，
∴四边形ABCD是筝形．
（2）筝形有一条对角线垂直平分另一条对角线，
证明：如图1，连接BD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴点A、点C都在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC垂直平分BD，
∴筝形有一条对角线垂直平分另一条对角线．
（3）如图2，连接AC交BD于点O，设AO＝x，
∵四边形ABCD是筝形，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，
∴AC垂直线平分BD，CO＝17﹣x，
∴∠AOB＝∠COB＝90°，BO＝DO，
∴AB2﹣AO2＝BC2﹣CO2＝BO2，
∴262﹣x2＝252﹣（17﹣x）2，
解得x＝10，
∴AO＝10，CO＝17﹣10＝7，
∴BO＝DO＝＝＝24，
∴BD＝BO+DO＝24+24＝48，
∵AO⊥BD，CO⊥BD，
∴S筝形ABCD＝BD AO+BD CO＝×48×10+×48×7＝408，
故答案为：408．
25．解：（1）∵将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2，
∵BE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝＝＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝＝＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝，
∴（OA+OB+OC）2＝7，
故答案为：7．