第二十一章一元二次方程 单元复习题 2023-2024学年人教版九年级数学上册（含解析）

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程 单元复习题
一、选择题
1．把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正确的是（　　）
A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0
C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝0
2．一元二次方程x2－4x－1＝0配方后正确的是（　　）
A．（x－2）2＝1 B．（x－2）2＝5
C．（x－4）2＝1 D．（x－4）2＝5
3．若方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．
4．如果，那么的值是（　　）
A．0 B．7 C．0或7 D．0或－7
5．若是一元二次方程的两个根.则的值为（　　）
A．3 B．10 C． D．
6．要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.计划安排28场比赛，应邀请多少个队参赛（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
8．已知直角三角形有两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则该直角三角形的斜边长是（　　）
A．10 B． C．10或8 D．10或
9．已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（　　）
A． B．1 C．5 D．
10．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
12．若关于x的方程有一个根为，则的值是 　 　．
13．若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是　 　．
14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出　 　个小分支.
三、计算题
15．解一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
四、解答题
16．已知m是方程x2﹣x-2=0的一个根，求代数式 的值.
17．已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的正整数解．
18．已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根是另一根的2倍，求k的值．
19．已知：当x=2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4.当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？
五、综合题
20．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原方程为一元一次方程．
21．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最小整数时，求方程的根．
22．某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：
设参加旅游的员工人数为x人．
（1）当25＜x＜40时，人均费用为　 　元，当x≥40时，人均费用为　 　元；
（2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
【解析】【解答】解：x2-4x-1=0，
移项，得x2-4x=1，
配方，得x2-4x+4=1+4，
∴（x-2）2=5，
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项可得答案.
3．【答案】A
4．【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
解得或，
故答案为：D.
【分析】此方程缺常数项，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故可利用因式分解法求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴，
由根与系数的关系可得：.
故答案为：D.
【分析】根据根与系数的关系可得x1x2=，据此解答.
6．【答案】C
7．【答案】C
【解析】【解答】解：把代入方程中得：
，整理得：，
∴，
∵，
，
，
故答案为：C
【分析】将代入求出a的值即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵x2﹣14x+48＝0，即（x﹣6）（x﹣8）＝0，
∴x1＝6，x2＝8．
当6，8为直角边长时，该直角三角形的斜边长是＝10；
当8为斜边长时，该直角三角形的另一直角边长为＝2．
∴该直角三角形的斜边长是10或8.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法可得方程的解为x1＝6，x2＝8，然后分6，8为直角边长与8为斜边长两种情况，利用勾股定理求出另一边，进而可得斜边的长.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两实数根分别为，
∴根据根与系数的关系得，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(32 2x)m,宽为（20-x）m，所以可得方程( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（-1）2-4m=0，
解得m=.
故答案为：.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出关于字母m的方程，再求解即可得出答案.
12．【答案】
13．【答案】y1＝2，y2＝﹣6
【解析】【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，
∴，，
∴，，
则 方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0 可化为：
a（y+1）2+2a（y+1）-15a＝0，
即（y+1）2+2（y+1）-15＝0，
则[（y+1）-3][（y+1）+5]=0
∴（y+1）-3=0或（y+1）+5=0，
解得y1=2，y2=-6；
故答案为：y1=2，y2=-6.
【分析】根据根与系数的关系：，，导出a，b，c的关系，再将待解方程化为不含a，b，c的一元二次方程，再解出一元二次方程即可求出y的解.
14．【答案】3
【解析】【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意得1+x+x x＝13，
整理得x2+x﹣12＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去）.
即：每个支干长出3个小分支.
故答案为：3.
【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干、支干和小分支的个数分别为1、x、x·x，结合总数为13建立方程，求解即可.
15．【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
（3）解：，
，，，
，
，
，
16．【答案】解：∵m是方程x2-x-2=0的一个根，
∴m2-m-2=0，
∴m2-m=2，m2-2=m，
∴
=
把m2-m=2，m2-2=m代入
原式=2×(1+1)=4.
【解析】【分析】把x=m代入方程中得到关于m的一元二次方程，由方程分别表示出m2-m和m2-2，分别代入所求的式子中即可求出值.
17．【答案】解：根据题意，得△＞0
即△=42-4×2m＞0
解得m＜2
∵m是正整数
∴m=1
【解析】【分析】根据题意先求出 △=42-4×2m＞0 ，再求解即可。
18．【答案】（1）证明：在方程中，
∵
∴方程总有两个实数根
（2）解：∵，
∴，．
∵方程的一根是另一根的2倍，
∴或．
解得或．
∴k的值0或3．
【解析】【分析】 (1)、 判别式判断存在两个实数根.
(2)、 利用求根公式求出两个根， 根据方程的一根是另一根的2倍，求出即可.
19．【答案】解：由题意得4﹣4m+4=﹣4，即3﹣m=0，
解得m=3；
∴x2﹣6x+4=﹣1，
∴（x﹣1）（x﹣5）=0，
得x1=1，x2=5.
【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义将x=2代入x2﹣2mx+4=﹣4，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后将m的值代入关于x的方程x2﹣2mx+4=﹣1，再通过解该方程求得x的值即可.
20．【答案】（1）解：当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程
（2）解：当m2﹣1=0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠﹣1，
m=﹣1（不符合题意的要舍去），m=1．
答：当m=1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案；（2）根据一元一次方程是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零，可得答案．
21．【答案】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴该方程的根的判别式，
解得，
即的取值范围为
（2）解：∵，
∴当取满足条件的最小整数时，，
此时该关于x的方程为，
即有，
解得．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将a的值代入可得，再求出x的值即可。
22．【答案】（1）[1000﹣20（x﹣25）]；700
（2）解：∵25×1000＜27000＜40×700，
∴25＜x＜40．
由题意得：x[1000﹣20（x﹣25）]=27000，
整理得：x2﹣75x+1350=0，
解得：x1=30，x2=45（不合题意，舍去）．
答：该单位这次共有30名员工去旅游．
【解析】【解答】解：（1）∵25+（1000﹣700）÷20=40（人），
∴当25＜x＜40时，人均费用为[1000﹣20（x﹣25）]元，当x≥40时，人均费用为700元．
【分析】（1）求出当人均旅游费为700元时的员工人数，再根据给定的收费标准即可求出结论；（2）根据 25×1000＜27000＜40×700， 求出 25＜x＜40． 再利用总价=单价×数量，结合（1）的结论，即可得出关于x的一元二次方程，求解取较小值即可得出结论。