2023-2024学年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习题（含解析）

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习题
一、选择题
1．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝2x B． C． D．
2．已知抛物线的开口向下，则a的值可能为（　　）
A．-2 B． C．1 D．
3．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
7．已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（　　）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
9．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m. 请根据所给的数据，则支柱MN的长度为 （　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．有下列函数：
①y=5x-4；②；③；④；⑤；
其中属于二次函数的是 　 　（填序号）.
12．已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是　 　．（用“<”表示）
13．已知二次函数的部分图象如下图所示，则关于的一元二次方程的解为　 　．
14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是．小球抛出　 　秒后开始下落．
三、解答题
15．已知y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，求m的值．
16．已知二次函数的图象的顶点在x轴下方，求实数k的取值范围．
17．若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
18．为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据推测，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元.请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
四、综合题
19．已知二次函数
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与轴交于两点，，且图象过四点，直接写出的大小关系．
（3）点是二次函数图象上的一个动点，当时，的取值范围是，求二次函数的表达式．
20．已知二次函数 的部分图象如图所示，
（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程 的解.
（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式。
21．如图，在一个边长为的正方形的四个角上，都剪去一个大小相同的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式；并求出当时，图中阴影部分的面积．
22．已知抛物线：
（1）若抛物线经过原点，则的值为　 　，此时抛物线的顶点坐标为　 　．
（2）用含的代数式表示抛物线的顶点坐标，并说明无论为何值，抛物线的顶点都在同一条抛物线上．
（3）无论为何值，抛物线一定恒过定点，设抛物线的顶点为，当点不与点重合时，过点作E轴，与抛物线的另一个交点为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为．求证：四边形是平行四边形．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的开口向下，
∴a＜0，
故只有A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】抛物线y=ax2（a≠0），当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线的开口向下，据此一一判断得出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】 抛物线的顶点坐标， 横坐标是2，纵坐标是1.
故选：B
【分析】抛物线顶点式解析式，直接读取顶点坐标，横坐标是平方项中“x-”后面的数h，即2；纵坐标是k，即1.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：关于x的二次函数的对称轴为直线，
∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴，
解得：，故B正确.
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数对称轴直线公式求出对称轴直线为，由于二次项系数a=-1＜0，且在y轴右侧y随x的增大而减小，所以可得对称轴直线在y轴左侧或与y轴重合，即，求解即可得出a的取值范围，从而得出答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：在y=-x2+1中，
∵a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵顶点坐标为（0，1），
∴对称轴为为y轴，
故二次函数y=-x2+1的大致图象是A选项，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；得到抛物线的开口向下，顶点坐标为（0，1），对称轴为为y轴，于是得到结论.
6．【答案】A
【解析】【解答】如图： 二次函数的图象 ，与x轴有2个交点（2，0）和（-1，0），
开口向上，
∴当时，
当x=-1和2时，y=0
当时，
根据题意x取值：
故选：A
【分析】根据二次函数图象与一元二次方程的关系，可以从图中直接读取x的取值范围。x轴下方的图象x值就是y小于0时x的全部取值。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：设直线y=m与抛物线 交于A、B两点，直线y=n与抛物线 交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为．关于x的方程的解为，
∴，
故答案为：B.
【分析】先作图，再结合题意，比较大小即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，以AB所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意知点B（20，0），顶点D（0，16），
设抛物线的解析式为y=ax2+16，
将（20，0）代入得400a+16=0，解得a=，
∴所求的函数解析式为：y=x2+16，
当x=5时，y=15，
∴与CD距离为15米的景观灯杆MN的高度为15米.
故答案为：C.
【分析】以AB所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意知点B（20，0），顶点D（0，16），设抛物线的解析式为y=ax2+16，将点B的坐标代入可求出a的值，从而得到所求的抛物线的解析式，进而将x=5代入所求的抛物线的解析式算出对应的y的值，即可得出答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如下，
∵拱高6m，跨度20m，
∴点B（0，6），点A（10，0）
设抛物线的解析式为y=ax2+6，
∴100a+6=0
解之：
∴抛物线的解析式为；
∵相邻两支柱间的距离均为5m ，
∴点N的横坐标为5，
∴，
∴MN=10-4.5=5.5.
故答案为：C
【分析】先建立平面直角坐标系，利用已知可得到点D和点A的坐标，因此设抛物线的解析式为y=ax2+6，将点A的坐标代入求出a的值，即可得到抛物线的解析式，再将x=5代入求出对应得y的值，可得到点N的坐标，然后求出MN的长.
10．【答案】B
【解析】【解答】∵x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，故（1）正确．
由函数图象可知：函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故（3）错误．
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴另一个交点为（5，0），
∴当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞﹣3b，
故（2）正确；
∵抛物线的对称轴为x＝2，C（7，y3），
∴（﹣3，y3）．
∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1＝y3＜y2，故（4）错误．
故答案为： B
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当x＝3时，函数值大于0，则9a+3b+c＞0，即9a+c＞﹣3b；利用抛物线的对称性得到（﹣3，y3），然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线y＝﹣3，然后依据函数图象进行判断即可。
11．【答案】②④
【解析】【解答】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数.
综上所述，其中属于二次函数的是②④.
故答案为：②④.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
12．【答案】
【解析】【解答】解：二次函数的图象的对称轴为直线x=2，
因为点到直线的距离最小，点到直线的距离最大，且抛物线的开口向上，
所以．
故答案为：．
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
13．【答案】，
【解析】【解答】解：由图可知， 二次函数 经过点（3，0），
∴-9+6+m=0，
∴m=3.
将m代入 中，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，.
【分析】观察图像，由图可知二次函数经过（3，0），将其代入中即可求出m的值，从而求出对应方程的解.
14．【答案】1
【解析】【解答】解： -4.9（t-1）2+4.9，
∴当小球抛出1秒后开始下落．
故答案为：1.
【分析】当小球达到最高点时开始下落，将函数解析式化为顶点式，即可得解.
15．【答案】解：∵y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，
∴m2+2m﹣1=2，
解得m=1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m=﹣3．
【解析】【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1=2且m﹣1≠0，再解即可．
16．【答案】解：将改为顶点式为：，
∴其顶点坐标为(2，k-4)．
∵顶点在x轴下方，
∴k-4<0，
∴k<4．
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 其顶点坐标为(2，k-4)，最后求解即可。
17．【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.
18．【答案】（1）解：根据题意得y＝12-2（x-4）＝-6x+20（4≤x≤5.5），
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式y＝-2x+20，
自变量x的取值范围是4≤x≤5.5；
（2）解：设每天获得的利润为W千元，根据题意得w＝（-2x+20）（x-2）＝﹣2x2+24x-40＝-2（x-6）2+32，
∵﹣6＜0，
∴当x＜6，w随x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴当x＝5.5时，w有最大值 -2×（5.5-6）2+32=31.5 ，
∴将批发价定为5.5千元时，每天获得的利润最大为31.5．
【解析】【分析】 （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（批发价-成本价），列出销售利润w（千元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
19．【答案】（1）解：∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：．
（3）解：当时，抛物线开口向上，时，随增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，
解得，
∴，
当时，抛物线开口向下，时，随增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，或．
【解析】【解答】解：(2)由（1）得抛物线对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
∵，
∴，
当时，抛物线开口向下，
∵，
∴．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．
（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，由抛物线开口向下可得m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，进而求解．
20．【答案】（1）解：由题可得该二次函数图象的对称轴为直线 ， 方程的解为 .
（2）解：由 (1) 可得二次函数的表达式为 ，
所以平移后图象所对应的二次函数的表达式为 .
【解析】【分析】（1）直接利用对称轴公式，即可写出对称轴，再利用图中与x轴的交点坐标(1，0)，以及两交点关于对称轴对称，即可求得另一交点坐标，两交点的横坐标，即为所求的解；
（2）根据（1）易得二次函数解析式为，令平移后的解析式为，代入（0，0）求出n的值即可.
21．【答案】（1）解：自变量是小正方形的边长，因变量是图中阴影部分的面积；
（2）解：由题意可得，
当时，，
所以当时，图中阴影部分的面积为．
【解析】【分析】（1）根据自变量和因变量的定义判断求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再将x=3代入计算求解即可。
22．【答案】（1）；
（2）解：∵y=x2-2mx+2m+1=(x-m)2-m2+2m+1，
∴顶点坐标为（m，-m2+2m+1）.
令x=m，则y=-x2+2x+1，
∴抛物线C的顶点在y=-x2+2x+1上.
（3）证明：，
当时，，即点，
抛物线的部分图象的示意图如下所示：
由（2）知，点，点，
则，
当时，则，
整理得：，
则，
∵，则，
则，
而轴，
故四边形是平行四边形．
【解析】【解答】解：（1）将（0，0）代入可得0=2m+1，
解得m=，
∴y=x2+x=(x+)2-，
∴顶点坐标为（-，-）.
【分析】（1）将（0，0）代入可求出m的值，据此可得抛物线的解析式，然后将其化为顶点式，进而可得顶点坐标；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，据此解答；
（3）易得A（1，2），B（m，-m2+2m+1），则AE=2(1-m)，令y=-m2+2m+1，可得x2-2x+2m-m2=0，根据根与系数的关系可得x1x2=m(2-m)，则BD=2-2m=AE，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.