【金版学案】2014-2015学年高中数学章末知识整合（人教版选修2-1）第一章

数学·选修2－1(人教A版)
本章小结
要点归纳
1. 四种命题的相互关系中，要特别注意等价关系，因为在一个命题不易证明时，可以考虑证明其等价命题．
2. 在判定充分条件、必要条件时，要注意 ( http: / / www.21cnjy.com )既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．
3．正确理解逻辑联结词“或”的意义，它与日常用语中的“或”是不同的，日常用语中的“或”是“不可兼”的．
4．有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．
5．要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换．
6．常用“都是”表示全称肯定，它的存在性否 ( http: / / www.21cnjy.com )定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示．
7．否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若非p，则非q”，其否定为“若p，则非q”．有时一
个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．
题型归类
题型1 四种命题之间的关系
　命题 “若a2＋b2＝0(a、b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)
A. 若 a≠b≠0(a，b∈R) ，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R) ，则a2＋b2≠0
C．若 a≠0且b≠0(a，b∈R)，则 a2＋b2≠0
D. 若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
分析：命题结论中的 a＝b＝0如何否定是关键．
解析： a＝b＝0 是a＝0 且 b＝0，否定时“且”应变为“或”，所以逆否命题为：
若 a≠0或b≠0 (a，b∈R) ，a2＋b2≠0 .故选D.
答案：D
点评：注意四种命题之间的转换关系，特别是原命题与逆否命题、否命题与逆命题之间的等价关系．
题型2 充分、必要条件
　“ α，β，γ 成等差数列”是“等式sin(α＋γ)＝sin 2β ”的 (　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
分析：α，β，γ 成等差数列，说明 α＋γ＝2β ，问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定能得出两个角相等．
解析：由 α，β，γ成等差数列，得 α＋γ ( http: / / www.21cnjy.com )＝2β ，所以sin (α＋γ)＝sin 2β成立，充分性成立；反之，由 sin (α＋γ)＝sin 2β成立，不一定有α，γ，β 成等差数列，故选A.
答案：A
点评： p q，p是q充分条件，q 是p必要条件；否则p 是 q 的不充分条件， q是p不必要条件．
题型3 复合命题真假的判断
　已知 p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根； q ：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根，若 p或 q为真，p且 q为假，求 m 的取值范围．
分析：把两个方程化简，然后根据p或 q为真， p且q为假，列不等式组，方可求 m的取值范围．
解析：p: 解得m＞2.
q : Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3.
因为p 或q 为真，p 且 q 为假，所以 p为真， q 为假或 p为假， q 为真．
即或解得m≥3或1＜m≤2.
点评：此题是方程与命题的综合题，涉及到一元二次方程的判别
式和根与系数的关系，一元二次不等式及不等式组、集合的补集、 p或 q及 p且 q两类复合命题的真假判断．
题型4 全称命题、特称命题
　设 A，B为两个集合，有下列四个命题：
(1)A B x∈A，有x B；
(2) A B A∩B＝ ；
(3) A B B A；
(4)A B x∈A使得x B.
其中真命题的序号为____．
分析：根据子集的概念，通过举反例加以排除假命题．
解析：若A＝{1,2,3}，B＝{1,2,4}，满足 A B，但1∈A且1∈B, A∩B＝{1,2}，所以(1)，(2)是假命题；
若 A＝{1,2,4}，B＝{1}，满足A B但 B A，所以(3)是假命题，只有(4)为真命题．
答案：(4)
点评：全称命题通过“举反例”来否定，特称命题通过“举特例”来肯定．
题型5 综合应用
　已知p: －2≤1－≤2, q: x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若﹁p 是﹁q 的必要但不充分条件，求实数 m 的取值范围．
分析：命题p , q 可以化的更简，由﹁p和﹁q的关系可以得到 p
与q 的关系，利用集合的理论方法将问题解决．
解析：由 x2－2x＋1－m2≤0得：1－m≤x≤1＋m(m>0) ，
﹁q：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．
因为由 －2≤1－≤2得－2≤x≤10，
所以﹁p：B＝{x|x＜－2 或x＞10}．
由﹁p是﹁q 的必要但不充分条件知： ﹁q ﹁p，从而AB ，
于是得：解得 m≥9.
点评：利用集合作为逻辑推理的一个方法，能把各种关系清楚地描绘出来．
强化训练
一、选择题
1．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：对于“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的．
答案：C
2．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}, B＝{1,2,3}，则“a＝3 ”是“ A B ”的(　　)
A．充分而不必要条件　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析： a＝3 A B ，A B a＝2 ，或a＝3.因此是充分不必要条件．故选A.
答案：A
3．(2013·重庆卷)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为　 (　　)
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，都有x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．存在x0∈R，使得x<0
解析：由于“对任意 x∈R”的否定为“存在x0∈R”，对“x2≥0”的否定为“x2<0”，故选D.
答案：D
4．(2013·湖南五市十校第一次联合检测)下列说法正确的是(　　)
A．函数 f(x)＝在其定义域上是减函数
B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C．命题“ x∈R, x2＋x＋1＞0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1＜0”
D．给定命题 p、q，若 p∧q是真命题，则﹁p是假命题
解析：函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞) 上是减函数，所以选项A错误．
两个三角形全等是这两个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形面积相等的充分条件，所以选项B错误. 命题“ x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是“ x∈R, x2＋x＋1≤0”，所以选项C错误．若p∧q是真命题，则p、q都是真命题，所以﹁p是假命题．故选D.
答案：D
5．(2013·山东日照一模)下列命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，x2－x－1＞0
B. α，β∈R，sin(α＋β)C. 函数y＝2sin的图象的一条对称轴是x＝π
D. α，β∈R, sin(α＋β)＝cos α＋cos β
解析：对于A：显然 x＝0，不等式不成 ( http: / / www.21cnjy.com )立，故 x∈R，x2－x－1>0是假命题；对于B：当 α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，所以 α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin β 为假命题；
对于C：当x＝π时，y＝2sin取不到最值，故直线x＝π不是f(x)的对称轴；
对于D：因为sin＝cos＋cos＝0 ，所以 α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β成立．故选D.
答案：D
6．“a＝1”是函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝－1时，最小正周期也是π.
答案：A
7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若m β，α⊥β，则m⊥α
B．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
答案：B
8．若数列{an}满足a－a＝d(d为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方差数列”．甲：数列{an}是等方差数列；乙：数列{an}是等差数列．则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：D
二、填空题
9．设n∈N ，一元二次方程 x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是 n＝ ___________________.
解析：因为x1＋x2＝4，x1x2＝n∈N，所以方程有整数根只可能为0,4或1,3或2,2，所以n为0或3或4.
答案： 0或3或4
10．已知α、β是不同的两个平面，直线a α，直线b β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β.则p是q的________条件．
答案：必要不充分
11. 存在实数x，使得 x2－4bx＋3b＜0成立，则b的取值范围是________．
解析：要使 x2－4bx＋3b＜0 ( http: / / www.21cnjy.com )成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b＞0，解得 b＜0或 b＞.
答案： (－∞，0)∪
12．给出下列命题：①实数a＝0是直线ax－ ( http: / / www.21cnjy.com )2y＝1与2ax－2y＝3平行的充要条件；②若a，b∈R，ab＝0是|a|＋|b|＝|a＋b|成立的充要条件；③已知x，y∈R，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题是“若x≠0或y≠0，则xy≠0”；④“若a和b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是假命题．其中正确命题的序号是____________．
答案：①④
三、解答题
13. 已知命题p：函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对任意实数x恒成立．若 p∨q是真命题，求实数a的取值范围．
解析：命题p函数 y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；所以0＜a＜1.
又因为命题 q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对任意实数x恒成立；
所以当 a＝2时，不等式成立；a≠2时，
解得－2＜a＜2.
因为p∨q是真命题，所以 a的取值范围是－2＜a≤2.
14．命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．
解析：方法一　逆否命题是真命题．
∵m>0，∴Δ＝1＋4m>0，因而方程x2＋x－m＝0有实根，
故原命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题；
又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题．
方法二　原命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵x2＋x－m＝0无实根，
∴Δ＝1＋4m<0即m<－≤0，故原命题的逆否命题是真命题．
15. 已知直线y＝2x ( http: / / www.21cnjy.com )上一点P的横坐标为a，有两个点A(－1,1)，B(3,3)，求证：0＜a＜1是使向量与的夹角为钝角的一个充分不必要条件．
解析：由题设条件知P(a, 2a)，
因为与的夹角为钝角，所以·<0，
因为 ＝(－1－a,1－2a)，＝(3－a,3－2a)，
所以(－1－a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)＜0，
解得 0＜a＜2，
又因为 与方向相反时，a＝1，所以0所以 0＜a＜1是使向量与的夹角为钝角的一个充分不必要条件．
16. 已知c>0，设命题p：函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
解析：由命题p为真知，0＜c＜1，
由命题q为真知，2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需 <2，即c>，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0＜c≤；
当p假q真时， c的取值范围是c≥1.
综上可知，c的取值范围是.
常用逻辑用语