【金版学案】2014-2015学年高中数学章末知识整合（人教版选修2-1）第二章
文档属性
| 名称 | 【金版学案】2014-2015学年高中数学章末知识整合（人教版选修2-1）第二章 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 238.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-01-20 19:45:13 | ||
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文档简介
数学·选修2－1(人教A版)
本章小结
要点归纳
1．轨迹方程问题．
求轨迹方程的几种常用方法．
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一 ( http: / / www.21cnjy.com )已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
2．待定系数法求圆锥曲线的标准方程．
(1)椭圆、双曲线的标准方程：求椭圆、双曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上．
另外， 在求双曲线的标准方程的过程中，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)抛物线的标准方程：求 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
3．求离心率的方法．
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方 ( http: / / www.21cnjy.com )程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有 ( http: / / www.21cnjy.com )关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
4．直线与圆锥曲线的位置关系．
(1)直线与圆锥曲线问题，是高考对 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥曲线考查的重点和难点，也是历年考查的热点，是每年高考试卷上都会出现的一个知识点．直线与圆锥曲线问题包括两大类：①直线与圆锥曲线位置关系的判定；②直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、最值问题等．
(2)这类问题往往综合性强，注重与一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程中的根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．分析这类问题，往往利用“数形结合”的思想方法，或“设而不求”的方法求解．
题型归类
题型1求轨迹方程
已知椭圆 ＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)、F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足||＝2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ·2＝0, ||≠0，求点T的轨迹C的方程．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：设动点T的坐标为(x，y)，根据题设条件列出关于 x、 y的等式，化简得解．
解析：方法一 设点T的坐标为(x，y) ，
当||＝0时，点(a，o)和点 (－a,0) 在轨迹上．
当| |≠0且||≠0时，由·＝0得⊥ .
又| |＝||，所以T为线段 F2Q的中点．
在△QF1F2中，||＝||＝a，所以有x2＋y2＝a2 ，
综上所述，点T的轨迹C的方程是 x2＋y2＝a2 .
方法二 设点T的坐标为(x，y)，当||＝0时，点(a,0) 和点(－a,0) 在轨迹上．
当||≠0且| |≠0时，由·＝0 得⊥ .
又||＝||，所以T为线段 F2Q的中点．
设点Q的坐标为 (x′，y′)，则
因此 ①
由 ||＝2a得 (x′＋c)2＋y′2＝4a2.②
将①代入②，可得x2＋y2＝a2.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2＋y2＝a2 .
点评：(1)方法一是直接法，方法二是代入法，注意掌握求轨迹方程的常见方法；
(2)注意轨迹与轨迹方程的区别，在回答轨迹是什么图形时，注意对图形定位和定量两个方面的描述.
题型2求圆锥曲线的标准方程
已知点P(3，－4)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若 ·＝0，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
分析：利用·＝0求出c，再根据选项，用淘汰法求解．
解析：不妨设E(－c,0) ( http: / / www.21cnjy.com ), F(c,0)，则 (3＋c，－4)·(3－c，－4)＝25－c2＝0，所以c2＝25.可排除A、B.又由D中双曲线的渐近线方程为 y＝±x，点P不在其上，排除D.故选C.
答案：C
点评：求圆锥曲线方程的常 ( http: / / www.21cnjy.com )用方法为定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条件(如已知a，b，c，e中的任意两个)和一个定位条件(对称轴、焦点或准线等)．
题型3 圆锥曲线定义的应用
若点 M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则 |AM|＋|AC|的最小值是________．
分析：结合三角形的边的不等关系，构造不等式，再利用椭圆定义求解．
解析：设点B为椭圆的左焦点，点M(2, ( http: / / www.21cnjy.com )1)在椭圆内，如图，连接BM，AB，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝，
所以|AM|＋|AC|的最小值为 8－.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：8－
点评：熟练掌握三种圆锥曲线的定义，加强应用意识．一般说来，涉及曲线上的点与焦点(定点)的距离，可以考虑使用定义求解．
题型4圆锥曲线的几何性质的应用
已知椭圆 ＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
分析：根据椭圆、双曲线中 a、b、c的各自不同的等量关系，找出m、n的关系，从而确定双曲线的渐近线方程．
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
所以椭圆焦点(，0)，双曲线焦点(，0)，
所以 3m2－5n2＝2m2＋3n2，所以m2＝8n2，
又因为双曲线渐近线为 y＝±·x，将m2＝8n2代入，化简得y＝±x.
答案：D
点评：有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．
题型5 直线与圆锥曲线的位置关系
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)是否存在平行于OA的直线 l，使 ( http: / / www.21cnjy.com )得直线 l与椭圆C有公共点，且直线OA与 l的距离等于4？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由．
分析：(1)根据椭圆的定义和a2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )b2＋c2求出椭圆的方程；(2)假设存在符合题意的直线 l，先找出直线 l与椭圆有公共点的条件，再根据弦长求出直线l的方程，根据条件判断是否满足条件．
解析：(1)依题意，可设椭圆C的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)，左焦点为F′(－2,0)．
从而有 c＝2，且2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.
又 a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为 ＋＝1.
(2)不存在．假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝x＋t，
由 得3x2＋3tx＋t2－12＝0，
因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离 d＝4可得＝4，得 t＝±2，
由于 t＝±2 ，所以符合题意的直线l不存在．
点评：(1)直线和圆锥曲线的位置关系可分 ( http: / / www.21cnjy.com )为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．
(2)有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目，可能会涉及直线与圆锥曲线关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题和取值范围、最值等问题．
题型6 综合问题
已知椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(2,0)，M 为椭圆的上顶点， O 为坐标原点，且△MOF 是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A, B两点，设两直线的斜率分别为k1 ，k2 ，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点 .
分析：(1)根据几何性质求出a，b， ( http: / / www.21cnjy.com )然后代入椭圆的标准方程．(2)以参数k、m表示直线方程，代入椭圆方程，设出A，B的坐标，利用韦达定理和k1＋k2＝8，求出m，k的关系式，建立直线AB的方程，证明直线过定点．
(1)解析：由△MOF 是等腰直角三角形，得 c2＝b2＝4，所以a2＝8，故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：①若直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋m ，依题意m≠±2 .
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
则x1＋x2＝－ ，x1x2＝.
由已知k1＋k2＝8 ，可得 ＋＝8 ，
所以＋＝8，
即2k＋(m－2)＝8.
所以k－＝4，整理得m＝k－2 .
故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2 .
所以直线AB过定点.
②若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x＝x0 ，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，
由已知＋＝8 ，得x0＝－ .此时AB 方程为 x＝－ ，显然过点 .
综上，直线AB过定点.
点评：解析几何中证明直线过定点，一般是 ( http: / / www.21cnjy.com )先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时方程的成立与参数没有关系得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．
强化训练
一、选择题
1. 直线 y＝kx－k与抛物线 y2＝2px(p＞0)的公共点个数是( )
A．1个 B. 2个
C．1个或2个 D．可能为0个
解析：直线y＝kx－k过抛物线内的定点 (1,0)，所以该直线与抛物线的交点的个数是1或2，故选C.
答案：C
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为 ( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：由题意知，圆C的圆心到点 ( http: / / www.21cnjy.com )(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等．根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
答案：A
3．以双曲线x2－y2＝2的右焦点为圆心，且与直线x＝1相切的圆的方程是 ( )
A．x2＋y2－4x－3＝0 B．x2＋y2－4x＋3＝0
C．x2＋y2＋4x－5＝0 D．x2＋y2＋4x＋5＝0
答案：B
4．若抛物线y2＝mx的焦点是双曲线x2－＝1的一个焦点，则正数m等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：易得双曲线x2－＝1的焦点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )为(2,0)，(－2,0)，因为m>0，所以抛物线y2＝mx的焦点坐标为，所以＝2，得m＝8.故选D.
答案：D
5．连接抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为( )
A．－1＋ B.－
C．1＋ D.＋
答案：B
6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案：A
7. 已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，且PF1⊥F1A, PO∥AB(O为椭圆中心)，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
F1(－c,0) ，c2＝a2－b2，
则 P，即P.
因为AB∥PO，所以kAB＝kOP，即－＝，所以b＝c.
又a＝＝c，所以e＝＝.
答案：C
8．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜ ，则双曲线 C1: －＝1与C2: －＝1的 ( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
解析：双曲线 C1的离心率是e1＝，双曲线 C2的离心率是 e2＝＝，故选D.
答案：D
二、填空题
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．
答案：y2＝8x
10．(2013·江西卷)抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线 －＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：设点B为其准线与该双曲线右支的交点，由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.
答案：6
11．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3，
则所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12. 设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为________．
解析：设圆心坐标为O′(x0，y0)，过圆心O′向x轴作垂线，交x轴于H.
由题意可知，点H为一顶点与焦点的中点，
∴x0＝＝4.将x0＝4代入－＝1中，
得y＝，
∴|OO′|＝＝ ＝.
答案：
三、解答题
13．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上 ( http: / / www.21cnjy.com )，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解析：①焦点在x轴上，椭圆为＋＝1(a>b>0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.
因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的焦半距为，
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
14．已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．
解析：设直线l的方程为 y＝kx＋2，
由 消去x得ky2－2y＋4＝0.
因为直线l与抛物线相交，
所以 k<且k≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝，
从而x1x2＝·＝.
因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，解得k＝－1符合题意，
所以直线l的方程为y＝－x＋2.
15. 已知椭圆C1∶＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点．当椭圆的离心率O满足≤e≤，且·＝0(O为坐标原点)时，求椭圆长轴长的取值范围．
解析：由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，
因为Δ＝2a2b2(a2＋b2－1)＞0，所以a2＋b2＞1，
此时 x1＋x2＝， x1x2＝，
由·＝0，得 x1x2＋y1y2＝0，所以2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即a2＋b2－2a2b2＝0，故b2＝，
由e2＝＝，得b2＝a2－a2e2，
所以 2a2＝1＋，
由 ≤e≤得 ≤a2≤，所以≤2a≤，
所以椭圆长轴长的取值范围为 [，]．
16．(2013·山东卷改编)椭圆 C∶ ( http: / / www.21cnjy.com )＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1, F2，离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M(m,0)，求 m的取值范围．
解析：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程 ＋＝1得y＝±，
由题意知＝1，即a＝2b2，又e＝＝，
所以a＝2, b＝1, 所以椭圆方程为 ＋y2＝1.
(2)由题意可知： ＝， ＝，
设P(x0，yo)其中x≠4，将向量坐标代入并化简得：m(4x－16)＝3x－12x0，
因为x≠4，所以m＝x0，而x0∈(－2,2)，所以m∈.
圆锥曲线与方程
本章小结
要点归纳
1．轨迹方程问题．
求轨迹方程的几种常用方法．
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一 ( http: / / www.21cnjy.com )已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
2．待定系数法求圆锥曲线的标准方程．
(1)椭圆、双曲线的标准方程：求椭圆、双曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上．
另外， 在求双曲线的标准方程的过程中，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)抛物线的标准方程：求 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
3．求离心率的方法．
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方 ( http: / / www.21cnjy.com )程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有 ( http: / / www.21cnjy.com )关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
4．直线与圆锥曲线的位置关系．
(1)直线与圆锥曲线问题，是高考对 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥曲线考查的重点和难点，也是历年考查的热点，是每年高考试卷上都会出现的一个知识点．直线与圆锥曲线问题包括两大类：①直线与圆锥曲线位置关系的判定；②直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、最值问题等．
(2)这类问题往往综合性强，注重与一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程中的根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．分析这类问题，往往利用“数形结合”的思想方法，或“设而不求”的方法求解．
题型归类
题型1求轨迹方程
已知椭圆 ＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)、F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足||＝2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ·2＝0, ||≠0，求点T的轨迹C的方程．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：设动点T的坐标为(x，y)，根据题设条件列出关于 x、 y的等式，化简得解．
解析：方法一 设点T的坐标为(x，y) ，
当||＝0时，点(a，o)和点 (－a,0) 在轨迹上．
当| |≠0且||≠0时，由·＝0得⊥ .
又| |＝||，所以T为线段 F2Q的中点．
在△QF1F2中，||＝||＝a，所以有x2＋y2＝a2 ，
综上所述，点T的轨迹C的方程是 x2＋y2＝a2 .
方法二 设点T的坐标为(x，y)，当||＝0时，点(a,0) 和点(－a,0) 在轨迹上．
当||≠0且| |≠0时，由·＝0 得⊥ .
又||＝||，所以T为线段 F2Q的中点．
设点Q的坐标为 (x′，y′)，则
因此 ①
由 ||＝2a得 (x′＋c)2＋y′2＝4a2.②
将①代入②，可得x2＋y2＝a2.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2＋y2＝a2 .
点评：(1)方法一是直接法，方法二是代入法，注意掌握求轨迹方程的常见方法；
(2)注意轨迹与轨迹方程的区别，在回答轨迹是什么图形时，注意对图形定位和定量两个方面的描述.
题型2求圆锥曲线的标准方程
已知点P(3，－4)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若 ·＝0，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
分析：利用·＝0求出c，再根据选项，用淘汰法求解．
解析：不妨设E(－c,0) ( http: / / www.21cnjy.com ), F(c,0)，则 (3＋c，－4)·(3－c，－4)＝25－c2＝0，所以c2＝25.可排除A、B.又由D中双曲线的渐近线方程为 y＝±x，点P不在其上，排除D.故选C.
答案：C
点评：求圆锥曲线方程的常 ( http: / / www.21cnjy.com )用方法为定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条件(如已知a，b，c，e中的任意两个)和一个定位条件(对称轴、焦点或准线等)．
题型3 圆锥曲线定义的应用
若点 M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则 |AM|＋|AC|的最小值是________．
分析：结合三角形的边的不等关系，构造不等式，再利用椭圆定义求解．
解析：设点B为椭圆的左焦点，点M(2, ( http: / / www.21cnjy.com )1)在椭圆内，如图，连接BM，AB，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝，
所以|AM|＋|AC|的最小值为 8－.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：8－
点评：熟练掌握三种圆锥曲线的定义，加强应用意识．一般说来，涉及曲线上的点与焦点(定点)的距离，可以考虑使用定义求解．
题型4圆锥曲线的几何性质的应用
已知椭圆 ＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
分析：根据椭圆、双曲线中 a、b、c的各自不同的等量关系，找出m、n的关系，从而确定双曲线的渐近线方程．
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
所以椭圆焦点(，0)，双曲线焦点(，0)，
所以 3m2－5n2＝2m2＋3n2，所以m2＝8n2，
又因为双曲线渐近线为 y＝±·x，将m2＝8n2代入，化简得y＝±x.
答案：D
点评：有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．
题型5 直线与圆锥曲线的位置关系
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)是否存在平行于OA的直线 l，使 ( http: / / www.21cnjy.com )得直线 l与椭圆C有公共点，且直线OA与 l的距离等于4？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由．
分析：(1)根据椭圆的定义和a2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )b2＋c2求出椭圆的方程；(2)假设存在符合题意的直线 l，先找出直线 l与椭圆有公共点的条件，再根据弦长求出直线l的方程，根据条件判断是否满足条件．
解析：(1)依题意，可设椭圆C的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)，左焦点为F′(－2,0)．
从而有 c＝2，且2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.
又 a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为 ＋＝1.
(2)不存在．假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝x＋t，
由 得3x2＋3tx＋t2－12＝0，
因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离 d＝4可得＝4，得 t＝±2，
由于 t＝±2 ，所以符合题意的直线l不存在．
点评：(1)直线和圆锥曲线的位置关系可分 ( http: / / www.21cnjy.com )为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．
(2)有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目，可能会涉及直线与圆锥曲线关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题和取值范围、最值等问题．
题型6 综合问题
已知椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(2,0)，M 为椭圆的上顶点， O 为坐标原点，且△MOF 是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A, B两点，设两直线的斜率分别为k1 ，k2 ，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点 .
分析：(1)根据几何性质求出a，b， ( http: / / www.21cnjy.com )然后代入椭圆的标准方程．(2)以参数k、m表示直线方程，代入椭圆方程，设出A，B的坐标，利用韦达定理和k1＋k2＝8，求出m，k的关系式，建立直线AB的方程，证明直线过定点．
(1)解析：由△MOF 是等腰直角三角形，得 c2＝b2＝4，所以a2＝8，故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：①若直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋m ，依题意m≠±2 .
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
则x1＋x2＝－ ，x1x2＝.
由已知k1＋k2＝8 ，可得 ＋＝8 ，
所以＋＝8，
即2k＋(m－2)＝8.
所以k－＝4，整理得m＝k－2 .
故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2 .
所以直线AB过定点.
②若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x＝x0 ，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，
由已知＋＝8 ，得x0＝－ .此时AB 方程为 x＝－ ，显然过点 .
综上，直线AB过定点.
点评：解析几何中证明直线过定点，一般是 ( http: / / www.21cnjy.com )先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时方程的成立与参数没有关系得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．
强化训练
一、选择题
1. 直线 y＝kx－k与抛物线 y2＝2px(p＞0)的公共点个数是( )
A．1个 B. 2个
C．1个或2个 D．可能为0个
解析：直线y＝kx－k过抛物线内的定点 (1,0)，所以该直线与抛物线的交点的个数是1或2，故选C.
答案：C
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为 ( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：由题意知，圆C的圆心到点 ( http: / / www.21cnjy.com )(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等．根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
答案：A
3．以双曲线x2－y2＝2的右焦点为圆心，且与直线x＝1相切的圆的方程是 ( )
A．x2＋y2－4x－3＝0 B．x2＋y2－4x＋3＝0
C．x2＋y2＋4x－5＝0 D．x2＋y2＋4x＋5＝0
答案：B
4．若抛物线y2＝mx的焦点是双曲线x2－＝1的一个焦点，则正数m等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：易得双曲线x2－＝1的焦点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )为(2,0)，(－2,0)，因为m>0，所以抛物线y2＝mx的焦点坐标为，所以＝2，得m＝8.故选D.
答案：D
5．连接抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为( )
A．－1＋ B.－
C．1＋ D.＋
答案：B
6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案：A
7. 已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，且PF1⊥F1A, PO∥AB(O为椭圆中心)，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
F1(－c,0) ，c2＝a2－b2，
则 P，即P.
因为AB∥PO，所以kAB＝kOP，即－＝，所以b＝c.
又a＝＝c，所以e＝＝.
答案：C
8．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜ ，则双曲线 C1: －＝1与C2: －＝1的 ( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
解析：双曲线 C1的离心率是e1＝，双曲线 C2的离心率是 e2＝＝，故选D.
答案：D
二、填空题
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．
答案：y2＝8x
10．(2013·江西卷)抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线 －＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：设点B为其准线与该双曲线右支的交点，由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.
答案：6
11．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3，
则所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12. 设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为________．
解析：设圆心坐标为O′(x0，y0)，过圆心O′向x轴作垂线，交x轴于H.
由题意可知，点H为一顶点与焦点的中点，
∴x0＝＝4.将x0＝4代入－＝1中，
得y＝，
∴|OO′|＝＝ ＝.
答案：
三、解答题
13．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上 ( http: / / www.21cnjy.com )，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解析：①焦点在x轴上，椭圆为＋＝1(a>b>0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.
因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的焦半距为，
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
14．已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．
解析：设直线l的方程为 y＝kx＋2，
由 消去x得ky2－2y＋4＝0.
因为直线l与抛物线相交，
所以 k<且k≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝，
从而x1x2＝·＝.
因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，解得k＝－1符合题意，
所以直线l的方程为y＝－x＋2.
15. 已知椭圆C1∶＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点．当椭圆的离心率O满足≤e≤，且·＝0(O为坐标原点)时，求椭圆长轴长的取值范围．
解析：由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，
因为Δ＝2a2b2(a2＋b2－1)＞0，所以a2＋b2＞1，
此时 x1＋x2＝， x1x2＝，
由·＝0，得 x1x2＋y1y2＝0，所以2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即a2＋b2－2a2b2＝0，故b2＝，
由e2＝＝，得b2＝a2－a2e2，
所以 2a2＝1＋，
由 ≤e≤得 ≤a2≤，所以≤2a≤，
所以椭圆长轴长的取值范围为 [，]．
16．(2013·山东卷改编)椭圆 C∶ ( http: / / www.21cnjy.com )＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1, F2，离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M(m,0)，求 m的取值范围．
解析：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程 ＋＝1得y＝±，
由题意知＝1，即a＝2b2，又e＝＝，
所以a＝2, b＝1, 所以椭圆方程为 ＋y2＝1.
(2)由题意可知： ＝， ＝，
设P(x0，yo)其中x≠4，将向量坐标代入并化简得：m(4x－16)＝3x－12x0，
因为x≠4，所以m＝x0，而x0∈(－2,2)，所以m∈.
圆锥曲线与方程