1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
人教A版2019高中数学选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
新知探究
2
新知引入
教学目标：
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展
数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用
教学难点：空间向量的线性运算及其应用
【问题引入】
在空间中一个正三棱锥A-BCD，有三个相同的力 a，b，c 作用在这个三棱锥上，其中力a，b，c的方向在分别直线AB、AC、AD上，且该这个三棱锥重400N。
问：这个三棱锥会在这三个力的作用下做什么运动？
当这三个力多大时，这个三棱锥会运动？
【问题1】
1.在这个问题中，我们研究的是力，在数学中，这些力可以看做是什么量？
2.这些量与我们以往学过的有什么不同？
3.我们能不能依据以往学过的知识来解决这个空间问题？
【问题2】
1.如右图，向量如何表示？其模如何表示？
2.零向量和单位向量如何定义表示？
3.空间中某两个向量模长一样但方向相反的向量是什么向量？
4.空间中某两个向量平行或重合，这两个向量称为什么
5.方向和模长都一样的向量称为？
a

A
B
【问题3】
空间中的向量如何线性计算？
有什么方法可以用平面向量中的计算方法来计算空间向量？
探究：我们已经学面向量的概念，我们能否根据平面向量的概念类比得出空间向量的概念？
我们一起回忆一下平面向量的相关概念，类比的得出空间向量的概念
点拨精讲
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面向量 空间向量
定义
表示
起点
终点
？
平面中既有大小又有方向的量
1.或者是
2.坐标表示
平面向量 空间向量
定义 平面中既有大小又有方向的量 空间中既有大小又有方向的量
表示 1.或者是 2.坐标表示
追问 空间向量的概念是什么？
1. 空间向量的概念
2. 空间向量的模及表示方法
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示. 有向线段的长度表示向量的模.
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 空间向量用黑体字母a,b,c,···表示. (注意：印刷体才用黑体a表示，而书写体一定要加箭头，即 )
C
A
B
O
问题2 你能回忆起平面向量中相关概念吗？
平面向量 空间向量
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
共线向量
长度为0的向量，记作:
模为1的向量.
模相等，方向相同的向量。记：
模相等，方向相反的向量。记：
空间向量中这些概念适用吗？

方向相同或相反的向量叫做共线向量，（平行向量），
记
零向量与任意向量共线
概念的本质是一样的
因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
这样就使得所有空间向量问题都可以转变成平面向量解决.
空间向量的线性运算 加法
减法
数乘
运算律
空间向量的线性运算和运算律
交换律：a＋b＝b＋a
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
空间向量的加减运算
空间任意两个向量是否一定能够平移到同一个平面中？
在空间中，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以空间两个向量的加法和减法运算与平面向量相同.
空间向量的加法的运算律．
问题：平面向量的加法运算符合交换律和结合律，空间向量是否也符合？能否借助平行六面体图形证明？
⑴加法交换律： ；
⑵加法结合律： ；
空间向量的加减运算
如图，已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式．
规律总结
掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量、相等向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解；
0
解 方法一(转化为加法运算)
方法二(转化为减法运算)
空间向量的线性运算及其运算律
解（1）∵P是C1D1的中点，
空间向量的线性运算及其运算律
解（2）∵N是BC的中点，
空间向量的线性运算及其运算律
解（3）∵M是AA1的中点，
空间向量的线性运算及其运算律
《二》利用数乘运算进行向量表示的技巧
空间向量的线性运算及其运算律
(1)用反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向，
必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
【悟】 《一》空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量
转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
探究：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？
共线向量定理：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使.
向量共线定理



如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.
直线的方向向量
如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线.如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
共面向量
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
探究：对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量可以写成其中是唯一确定的有序数对.对两个不共线的空间向量，如果那么向量与向量有什
么位置关系？反过来，向量与有什么位置关系时，？
向量共面定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
向量共面定理
O
A
C
B
P
①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使
②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，
共面向量定理推论
课堂练习
例 如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面
课堂练习
证明:
·
追问：最终的结果你还有没有其他的表示方法？能得到什么结论？
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
(A)若 　　　　　　 ，则P、A、B共线
(B)若 　　　　　　 ，则P是AB的中点
(C)若 　　　　　　 ，则P、A、B不共线
(D)若 　　　　　　 ，则P、A、B共线
2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点
O,　　　　　　　　　 , 则x的值为( )
巩固练习
3.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
4.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
巩固练习
A
B
M
C
G
D
(2)原式
5.在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
巩固练习
A
B
C
D
D
C
B
A
6.在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下列各式中的x,y.
E
答案: (1)x=1
(2)x=y=1/2
巩固练习
A
M
C
G
D
B
小结
1.空间向量的定义及表示方法
2.空间向量的线性运算与运算律
3.空间向量的简单运用
谢
谢
聆
听