初中数学北师大版八上5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 教案

5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
【教学目标】
1.会列二元一次方程组解有关有趣场景中的数字问题和行程问题类的应用题.
2.根据具体问题的数量关系,形成方程的模型.
【重点难点】
●重点:正确分析应用题的题意,列出二元一次方程组.
●难点:将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
【教法与学法】
●教法:通过问题,启发,引导学生课堂讨论,发现解决问题的方法.
●学法:上课认真听讲,勤于思考,积极与同伴交流自己的想法,快速理解课堂教学内容,并能够把教师讲解的要点归纳总结.
【教学过程】
一、情境引入
【问题1】
1.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数可表示为：_________
2. 一个三位数，若百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：__________.
一、利用二元一次方程组解决数字问题
1.用字母表示两位或两位以上的数.
(1)一个两位数,个位数字是a,十位数字是b,则这个两位数用代数式表示为　　　　;若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数,用代数式表示为　　　　.
2.表示变换数位后的多位数.
(1)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为________.同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为___________.
(2)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，那么用代数式表示这个三位数为_______.
【问题2】 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1 h看到的里程情况.你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗
本题完全可以由学生探究、交流后,口答.
【设计意图】通过复习用字母表示两位数,为引例做准备.
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y,那么
(1)12:00时小明看到的数可表示为　　　　,根据两个数字和是7,可列出方程　　　　;
(2)13:00时小明看到的数可表示为　　　　,12:00~13:00间摩托车行驶的路程是　　　　;
(3)14:00时小明看到的数可表示为　　　　,13:00~14:00间摩托车行驶的路程是　　　　;
(4)12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系 你能列出相应的方程吗
学生自主探究,合作交流,口答以上问题.通过同伴互助,试着列方程组,求解.本题最大的疑惑在于两位数的表示,如果通过交流,能够解开这个结,其他问题就迎刃而解了.
【解】设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y.
依题意,列方程组得
解得
因此,小明在12:00时看到的两位数是16.
【设计意图】通过创设问题情境,激发学生的学习兴趣.把复杂的数字、行程问题,分解成几个简单的问题串,学生通过对这几个问题的分析,理清解题思路,从而帮助学生顺利地解决这个较复杂问题,培养学生独立思考的能力和与同伴合作交流的意识.
三、例题讲解
【例1】两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2 178, 求这两个两位数.
解析:解数字问题依然是先要找出相等关系,在设元的时候要设出各数位上的数字,而不能直接设出这个三位数.
【练一练】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来的两位数.
[分析] 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系.由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数.本题中两个等量关系为：十位数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋9＝个位数字×10＋十位数字.根据这两个等量关系可列出方程组.
二、利用二元一次方程组解决行程问题
问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.问小华家离学校多远？
【例2】例2 甲、乙两地相距4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇.试问两人的速度各是多少？
解析:对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
四、当堂练习
1.小颖家离学校4800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ）
A.1.2 km，3.6 km； B.1.8 km，3 km；
C.1.6 km，3.2 km. D.3.2 km，1.6 km.
2.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数互换了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数是　　　　　.
3.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？
4.一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484.求这个两位数.
5. 汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（只列方程组）
6.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590.此外，二倍大数与三倍小数的和是72，求这两个两位数.
五、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.列一元一次方程或者二元一次方程组解应用题的步骤:
(1)审题、设未知数;
(2)找出数量关系;
(3)列方程或方程组;
(4)解方程或方程组;
(5)检验并作答.
2.通过比较,我们发现:对两位数、三位数之类的数字变化的题目,更容易列出方程组解应用题.
【布置作业】
教材习题5.6.
【板书设计】
5　应用二元一次方程组——里程碑上的数
1.列二元一次方程组解应用题的步骤
2.借助图表理清题目中的数量关系
【教学反思】
作为二元一次方程组的应用之一,本课主要应用二元一次方程组来求解多位数.本节课从创设学生感兴趣的“里程碑上的数字”情景入手,学生通过探究、观察、比较、归纳,获取对数字的设元的方法,从而提高学生的分析能力、归纳能力.
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