初中数学北师大版八上5.4 应用二元一次方程组——增收节支 教案

5.4 应用二元一次方程组——增收节支
【教学目标】
1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题.
2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
【重点难点】
●重点:正确理解题意,分析数量关系列出二元一次方程组解决实际问题.
●难点:将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型;会用图表分析数量关系.
【教法与学法】
●教法:通过设问,启发,引导学生讨论,发现解决问题的方法.
●学法:通过互动讨论,积极与同伴交流自己的想法,快速理解题意,并能够把教师讲解的要点归纳总结,找出解决问题的方法.
【教学过程】
一、情境引入
同学们,你知道你的生活有哪些必要开支吗
学生自由讨论发言.
经济生活在我们生活中多么重要!不会理财,就不会生活.你想运用数学知识使你的生活更加合理优化,更加幸福惬意吗 那么你能帮忙解决下面的实际经济问题吗
1.开商店
小明想开一家时尚服装专卖店,开店前他到其他专卖店调查价格.他看中了一套新款春装,成本共500元,专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50%的利润定价,裤子按40%的利润定价.由于新年将至,节日优惠,在实际出售时,为吸引顾客,两件服装均按9折出售,这样专卖店共获利157元,小明觉得上衣款式好,销路会好些,想问问上衣的成本价,但店员有事走开了.
你能帮助他
2.购物
新年来临,爸爸想送Mike一个书包和一块手表作为新年礼物.爸爸对Mike说:“我在家乐福、永辉超市都发现同款的手表的单价相同,书包单价也相同,手表和书包单价之和是452元,且手表的单价比书包单价的4倍少8元,如果你能说出手表和书包单价各是多少元,那么我就买给你做新年礼物”.
　你能帮助他吗
3.最优化决策
最近商家促销有促销活动,永辉超市所有商品打八折销售,家乐福超市全场购物满100元返物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用),爸爸只给Mike 400元钱,如果他只在一家购买看中手表和书包,他应选择在哪一家购买更省钱 若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱
【设计意图】开商店、购物、最优化决策等生活实例,可以引起学生兴趣,激发他们的求知欲和学习热情.
二、互动新授
知识一 应用二元一次方程组——增收节支
【填一填】
1.一种商品进价为150元，售价为165元，则该商品的利润为_____元;
2.一种商品进价为150元，售价为165元，则该商品的利润率为______;
3.一种商品标价为150元，打八折后的售价为____元;
4.一种商品标价为200元，当打______折后的售价为170元.
5.某工厂去年的总收入是x万元,今年的总产值比去年增加了20%,则今年的总收入是__________万元;
6.若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是__________万元;
7.若该厂今年的利润为780万元,那么由5, 6可得方程___________________________.
问1：增长（亏损）率问题的公式？
原量×（1+增长率）=新量
原量×（1-亏损率）=新量
问2：银行利率问题中的公式？（利息、本金、利率）
利息=本金×利率×期数（时间）
本息和=本金+利息
利润=总产值-总支出
利润率=×100%
根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题.
【例1】某工厂去年的利润(总产值一总支出)为200万元.今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元
(1)通过上面的讨论,你能找出题中的等量关系吗
学生探究、交流,关键是找出如下等量关系.
今年的总产值=去年总产值×(1+20%)　今年的总支出=去年的总支出×(1-10%)
题中的相等关系中的数量关系真多,让我们画个表格来表示它们吧!
因为题目中需要分析今年与去年;总产值与总支出和利润之间的关系,画个2×3的表格来试试看:
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1+20%)x (1-10%)y 780
(2)你能通过上面的表格,找出等量关系,列出方程组吗
列表格表示数量关系,也是本课的一个难点,因此,要给学生探究交流的时间来理解复杂的数量关系.
【解法一】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则
今年的总产值=(1+20%)x万元,今年的总支出=(1-10%)y万元.
根据题意,得
解得
所以去年的总收入为2 000万元,总支出为1 800万元.
(3)探索:如果只引进一个未知数,该如何解
【解法二】设去年的总产值为x万元,总支出为(x-200)万元,则
今年的总产值=(1+20%)x万元,今年的总支出=(1-10%)(x-200)万元.
根据题意,得(1+20%)x-(1-10%)(x-200)=780,解得x=2 000,所以x-200=1 800.
所以去年的总产值为2 000万元,总支出为1 800万元.
(4)思考:列二元一次方程组和列一元一次方程解应用题有什么异同点
学生探究、交流之后,可以得到以下结论:
相同的是:关键都是找出等量关系列方程或者方程组.
不同的是:列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题比较,更容易列出方程组.
【例2】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
解:设每餐甲、乙原料各x g、y g. 则有下表:
甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
【探索】你能解决本课开始提出的三个问题吗
解决问题一
学生通过自主探究,合作交流,共同找出题中的等量关系.可以模仿例题,由学生自行列出表格,借助表格来分析并解决问题.
解:设上衣的成本价为x元,裙子的成本价为y元,则上衣利润0.9×(1+50%)x-x元,
裤子利润为0.9(1+40%)y-y元,根据题意,得
解得
所以上衣成本300元,裙子成本200元.
解决问题二
解:设书包单价为x元,则手表单价为y元,根据题意,得
解得:
所以书包单价92元,手表单价360元.
解决问题三
解:书包单价92元,手表单价360元.
452×=361.6(元).
因为361.6<400,所以可以选择在永辉超市购买.
在家乐福超市可先花现金360元购买手表,再利用得到的90元返券,加上2元现金购买书包,共花现金360+2=362(元).
因为362<400,所以也可以选择在家乐福购买.
因为362>361.6,所以在永辉超市购买更省钱.
【设计意图】使学生初步学会设计适当的图表,帮助理清题目中的数量关系.再结合学生在以前的学习中已掌握的通过相等关系列方程的方法,使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
【练一练】一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车的车辆数（辆）
乙种货车的车辆数（辆）
累计运货吨数（吨）
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
四、当堂练习
1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％.若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是 (　　)
　
2.有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1升,水3升配制而成;乙种溶液由酒精3升,水2升配制而成.现要配制浓度为50%的酒精溶液7升,甲乙两种溶液应各取几升
3.某人以两种形式存8000元,一种储蓄的年利率为10%,
另一种储蓄的年利率为11%.一年到期后,他共得利息855元(没有利息税),问两种储蓄他各存了多少钱
甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每时各走多少千米
5.李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五香味的和10包原味的共花了146元，乙客户购买了6包五香的和8包原味的共花了88元
（1）现在老师带了200元，能否买到10包五香牛肉干和20包原味牛肉干？
（2）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想出哪些牛肉干的包数组合形式？
五、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.通过上面的例题,请同学们回顾总结列一元一次方程或者二元一次方程组解应用题的步骤:
(1)审题、设未知数;
(2)找出数量关系;
(3)列方程或方程组;
(4)解方程或方程组;
(5)检验并作答.
2.列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题比较,更容易列出方程组.
3.遇到比较复杂的题目,我们可以设计适当的图表,帮助我们理清题目中的数量关系.然后,根据等量关系,列出方程组.
【布置作业】
教材习题5.5.
【板书设计】
4　应用二元一次方程组——增收节支
1.列二元一次方程组解应用题的步骤
2.列方程与列方程组解应用题的比较
3.借助图表理清题目中的数量关系
【教学反思】
本节课的教学过程中,从创设学生感兴趣的实际问题情景入手,激发学生的学习兴趣,通过学生观察、比较、归纳,获取知识,培养学生的自主学习能力和归纳能力.学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同时,还学到了一种分析数据的方法,为以后的学习生活做方法的准备.
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