初中数学北师大版八上4.4.1 一次函数的表达式 教案

4.4 一次函数的应用
第1课时　一次函数的表达式
【教学目标】
1.经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,会用待定系数法求一次函数的表达式,进一步发展数形结合的思想方法.
2.经历从不同信息(图象、表格、实际问题等)中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的发散性思维.
3.进一步培养学生观察、思考、归纳、数形结合的能力以及准确画出一次函数草图的能力.
【重点难点】
●重点:根据所给信息(图象、表格、实际问题等),利用待定系数法确定一次函数的表达式.
●难点:在实际问题情景中寻找条件,确定一次函数的表达式,培养学生画图和识图能力.
【教法与学法】
●教法:通过学生讨论交流,多媒体演示,引导学生发现确定一次函数表达式的方法.
●学法:通过互动讨论,最后总结归纳.
【教学过程】
一、互动新授
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？
两点法——两点确定一条直线
思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
上节课同学们探索了一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质,请同学们试着完成下列问题:
【问题1】某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如教材图4-6所示.
教材图4-6
(1)写出v与t之间的关系式;
(2)下滑3 s时物体的速度是多少
学生自主讨论、汇报、自主探究解决问题.
二、例题讲解
例1 求正比例函数的表达式.
解：由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，
∴m＝－4，∴y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？一个
确定一次函数的表达式呢？两个
例2：已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式.
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，
∴－5＝2k＋b，5＝b，
解得b＝5，k＝－5.
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
练一练：已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式.
解：设直线l为y=kx+b,
　　∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.
又∵直线过点（0，2），
∴2=-2×0+b,
∴b=2,
∴直线l的表达式为y=-2x+2.
例3：正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.
∵点A(4，3)是它们的交点，
∴代入上述表达式中，
得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝ ，
即正比例函数的表达式为.
∵，且OA＝2OB，∴ .
∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为.
又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴ ，
代入3＝4k2＋b中，得 .
∴一次函数的表达式为.
做一做：某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h） 之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？
归纳总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式.
例4：在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
解：设y=kx+b(k≠0)
由题意得：14.5=b, 16=3k+b,
解得：b=14.5 ; k=0.5.
所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.
当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5（cm）.
故当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度为16.5 cm.
归纳总结： 解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答.
三、巩固练习
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确的是 ( )
A.k=2　　　B.k=3　　　 C.b=2　　 D.b=3
2. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
　(1)b=______,k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
数量x/千克 售价y/元
1 8＋0.4
2 16＋0.8
3 24＋1.2
4 32＋1.6
5 40＋2.0
… …
3.某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价 y (元)与数量 x (千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
4. 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.
四、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.确定一次函数的表达式,在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法,即先设出解析式,再根据题目条件(根据图象、表格或具体问题)求出k,b的值,从而确定函数解析式.
2.其步骤如下:(1)设函数表达式;(2)根据已知条件列出有关k,b的方程;(3)解方程,求k,b的值;(4)把k,b的值代回表达式中,写出表达式.
【布置作业】
教材习题4.5.
【板书设计】
4　第1课时　一次函数的表达式
1.确定正比例函数的表达式需要几个条件
2.确定一次函数的表达式呢
3.确定一次函数的表达式的步骤:
(1)设函数表达式;
(2)根据已知条件列出有关k,b的方程;
(3)解方程,求k,b的值;
(4)把k,b的值代回表达式中,写出表达式.
【教学反思】
一次函数的应用中“确定一次函数表达式”的教学是在学生掌握了一次函数的概念及其图象特征的基础上展开的.本节课的重点是让学生了解正比例函数的确定需要一个条件,一次函数的确定需要两个条件,能根据条件应用待定系数法求一些简单的一次函数表达式,并能解决有关生活实际问题.让学生感受确定一次函数表达式的必要性.通过一系列问题的设计,让学生探索解决问题的方法,从而全面提高分析问题、解决问题的能力.
1