初中数学北师大版八上4.2 一次函数与正比例函数 教案

4.2 一次函数与正比例函数
【教学目标】
经历从具体实例中归纳出一次函数和正比例函数的概念的过程；
理解一次函数和正比例函数的概念，并能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
【重点难点】
●重点:理解一次函数和正比例函数的概念.
●难点:能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
【教法与学法】
●教法:通过从具体实例归纳总结出一次函数和正比例函数的概念,写出简单的一次函数表达式.
●学法:互动讨论,积极与同伴交流自己的想法,最后把教师讲解的要点归纳总结.
【教学过程】
一、情境引入
【问题1】小丽很喜欢吃福州鱼丸,鱼丸每个1元,她一次吃5个,共需多少钱 如果小丽还想为她父母带一些鱼丸回去,他们每人吃3个,还需要多少钱
(1)题中几个变量 其中一个变量可以看成另一个变量的函数吗
(2)你能写出两个变量之间的关系式吗
【问题2】某弹簧的自然长度为3 cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
　　(2)你能写出x与y之间的关系式吗
【问题3】某辆汽车油箱有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余汽油量y/L
　　(2)你能写出y与x之间的关系式吗
【设计意图】通过对所提出的问题的讨论、探究、归纳总结出一次函数的特点,并了解一次函数的自变量的取值范围.
二、互动新授
【问题4】观察上面各题结果,请同学们仔细研究,看看关系式有什么特点 能否用自己的话说说可以表示成什么样的形式
学生通过观察,思考,讨论,合作交流,可归纳出:关系式可以写成y=kx+b的形式.
教师总结:一次函数的概念:若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量).
正比例函数的概念:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当b=0时,称y是x的正比例函数.
教师应注意指出:等号的左边只有一个因变量,等号的右边是含自变量的一次代数式,可能是一次二项式,也可能是一次单项式.如果是一次二项式,则这个表达式是一次函数的表达式,如果是一次单项式,则是正比例函数的表达式.
【练一练】
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
总结：1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零.
三、例题讲解
【例1】写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数 是否为正比例函数
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y km与行驶时间x h之间的关系;
(2)圆的面积y cm2与它的半径x cm之间的关系;
(3)某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
解析:列y与x之间的函数关系式,与列方程解应用题的思想相同,关键是找出问题中的相等关系.(1)小题是行程问题,相应量的关系是路程=速度×时间;(2)小题是圆的面积的计算问题,相应量的关系是圆的面积公式:(3)小题是一般的实际问题.其相关量的关系是水池里水的体积=原有水的体积+水增加的体积.
【例2】已知函数，
(1)若它是一次函数，求m的值.
(2)若它是正比例函数，求m的值.
(2)因为是一次函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
所以 m＝±5且m≠5且m＝－1，
则这样的m不存在，
所以函数不可能为正比例函数.
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数.
【变式训练】
若是正比例函数，则m=
若是正比例函数,则m=
【例3】我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
解: y=0.03×(x-3 500) (3500(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
【能力提升】如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
（2）当时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
四、巩固练习
1.判断:
(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数. （ ）
(2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （ ）
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y时x的正比例函数.
3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值；
5.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.
6.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
五、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.理解一次函数与正比例函数的概念以及两者之间的关系.
2.能够根据具体问题写出一次函数的表达式.
3.判断一个一次函数的关键是什么 只有当含自变量的代数式是整式,并且最高次项是一次的才可以称为一次函数.
【布置作业】
教材习题4.2.
【板书设计】
2.一次函数与正比例函数
1.一次函数的概念
2.正比例函数的概念
3.一次函数与正比例函数的特点与区别
【教学反思】
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.一次函数和正比例函数是最基础、最简单的函数,不过学生第一次接触函数,教师应充分考虑学生的接受能力,注意从生动有趣的问题情景出发,通过对一般规律的探索,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.
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