初中数学北师大版八上4.1函数 教案

4.1 函数
一、教学目标
１.结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例.
２.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围
二、教学重难点
【重点】掌握函数的概念以及表示方法．
【难点】会求函数的值，并确定自变量的取值范围．
三、教学方法
四、教学过程
（一）新课导入
内容：图片展示，并引出问题：如何从数学角度来刻画运动变化并寻找规律？
意图：本节课是函数学习第一课，利用生活中的变化来引起学生的思考，引入函数的学习.
效果：通过情境展示，学生明白本节课研究的内容，即从数学角度研究变化.
（二）新课讲授
探究活动一
情境一：内容：想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
思考1 下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
问题1：根据图填表：
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
问题2：对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？
情景二：对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？
填写下表：
层数 n 1 2 3 4 5 …
物体总数y …
情景三：
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
问题1：当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
问题2：给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
归纳：上面的三个问题中，有什么共同特点？
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
意图：通过三个情景让学生从实际生活中的例子思考变化过程，寻找共同特点，引出函数的概念.
效果：学生从不同的表示形式中寻找出了函数的共同概念：两个变化量中对于每一个变量，另一个变量都有一个唯一变化的量与之对应的关系，无论这个变化的形式是图表还是代数式，都可以，我们就称一个变量是另一个变量的函数，两个变量是函数关系.
函数的表示方法
讨论：
1.y与x 的图象如图所示，问y是x的函数吗？
2.下列各图中，x是自变量，则y是x的函数吗？为什么？
例1 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
总结：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
意图：通过思考和例题，学会判断函数关系.
效果：学生初步掌握判断函数关系，并抓住函数关系的核心，及一个变量变化时，另一个变量有唯一与之对应的数值.
探究活动二
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
情景一
情景二
自变量t的取值范围:__________
自变量n的取值范围：_________.
情景三
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
自变量t的取值范围：___________.
例2 汽车的油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得　0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
当 x = 200时,函数 y 的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30 L
做一做：下列函数中自变量x的取值范围是什么？
意图：通过思考和例题，让学生掌握确定自变量取值范围的方法：实际应用或者使函数本身有意义的自变量取值范围.
效果：学生能够快速判断函数自变量取值范围.
探究活动三
T(K)与 t(℃)的函数关系： T= t+273 （T≥ 0），
当t=1时，T=1+273 =274（K）.
那么，274就是当t=1时的函数值.
归纳总结
函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值．
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
例3 已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
意图：结合实例，让学生明白什么是函数值，如何求解函数值.
效果：函数值是函数自变量取给定值后函数对应的值，利用解析式可以方便的求出函数值，也可以利用图像或者表格快速求出函数值.
（三）课堂练习
1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数.
2.油箱中有油30 kg,油从管道中匀速流出，1 h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 .
3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
4.小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20 min到达距离家800 m的公园，他在公园休息了10 min，然后用30 min原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离s（单位：m）与离家的时间t（单位： min）之间的函数关系图象大致是（ ）
5.求下列函数中自变量x的取值范围：
6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
意图：练习题是本节所学的直接运用，意在巩固基础知识.
效果：培养学以致用.
（四）课堂小结
内容：
教师提问：
1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流.
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1.知识: 函数.
2.方法： 三种表示方法
3.思想： 函数思想
意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.
效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
（五）作业布置
内容：布置作业：
完成习题4.1 1、2题
意图： 1是为了扩展基础知识而设计； 2是为了巩固基础，完成学习目标.
效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.
五、板书设计
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