初中数学北师大版九上2.6.3平均增长率 教案

2.6 应用一元二次方程
第3课时 平均增长（降低）率问题
一、教学目标
1、使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题；
2、进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力；
3、通过增长率问题的学习能抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题简洁性的数学美.
二、教学重难点
教学重点:使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题.
教学难点:提高学生转化实际问题为数学问题的能力以及分析问题、解决问题的能力.
三、 教学方法：
任务驱动、交流合作、讲练结合
四、教学过程
（一）、新课导入
请同学们根据以前学过的知识解决下面的问题：
请你评一评:小星的妈妈卖玩具，某天妈妈用每件10元的价格进了一批玩具，第二天以每件20元的价格标价，小星心里想:“妈妈若卖完这批玩具，那么财富增加了100%呢!"你认为有道理吗 你能写出增长率公式吗
[请同学们想一想，写出你的答案.然后请同学回答，老师点评，并把增长率公式变形为:实际数=基数(1+增长率)]
思考：如果每件玩具的进价是10元，经过两轮的连续增长售价是14.4元，若增长率相同，则平均增长率是 .
学完今天的内容，同学们就可以解决这个问题了.
（二）、新课讲授
知识点二：利用一元二次方程解决平均增长率问题
请同学们利用前面学过的增长率的相关知识尝试解决下列问题：
1、小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
解：第二次月考成绩：80×（1+10%）=88
第三次月考成绩：
88×（1+10%）
=80×（1+10%）（1+10%）
=80×（1+10%）2
前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是5000(1-x)元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 5000(1-x)2元.
根据上面两个问题请同学们归纳总结，填写下表:
若基数为a，平均变化率为x，增长（或降低）n次后的量为b，则
1次增长（或降低）后的值 a(1±x)
2次增长（或降低）后的值 a(1±x)2
… …
n次增长（或降低）后的值 a(1±x)n
列方程 a(1±x)n=b
例题讲解：
例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
注意：下降率不可为负，且不大于1
思考：问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢
答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．
问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得4x2+12x-7=0
解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
答：这个增长率为50%
注意：增长率不可为负，但可以超过1.
（四）课堂练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 .
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
4.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；
方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
（五）课堂小结
1、通过本节课的学习你有哪些收获和感受？请同学们谈谈感受
2、掌握实际问题转化为数学模型的方法和步骤.
（六）作业布置
完成本课时课后跟踪练习
五、板书设计
列方程步骤：
利用一元二次方程解决行程问题
审、设、列、解、验、答
平均变化率问题 a(1±x)n=b
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