初中数学北师大版九上2.6.1面积问题 教案

2.6 应用一元二次方程
第1课时 面积问题
一、教学目标
1、会选用合理的方法解决一元二次方程的面积问题；
2、会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题；
3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
二、教学重难点
重点：运用一元二次方程探索和解决面积问题，并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.
难点：分析面积问题中的等量关系，将实际问题抽象为方程模型的过程.
三、 教学方法：
任务驱动、交流合作、讲练结合
四、教学过程
（一）、新课导入
同学们，我们在七八年级学过一元一次方程、二元一次方程组及分式方程的应用，可现在谁能说说列方程解应用题的基本步呢？
1审(审题);读题目，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。
2设(设元);包括设直接未知数或间接未知数，同时用含有未知数的式子表示其他的相关量
3列(列方程);以一二步骤为基础，用题中的等量关系列方程
4解(解方程);
5验(检验);检验根的准确性及是否符合实际意义和题目中的要求
6答(总结);写出答语作总结二例题讲解
知识点一：利用一元二次方程解决面积问题
问题：如图2.6.1-1某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为x m，则由题意列的方程为
、新课讲授
爱美之心人皆有之，但每个人都审美标准又不一样，所以在现实生活中会有各种各样的图案，如果你是一个园林设计师你会怎样设计你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个
花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
小明设计：如右图2.6.1-2所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 x m, 根据题意得：
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x1 = 2 , x2 = 12.
将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2 m.
小亮设计：
如右图2.6.1-3所示.其中花园每个角上的扇形都相同.
解：设扇形半径为 xm, 根据题意得：
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 = , x2 = (舍去),
答：扇形半径约为5.5m.
小颖设计：
如右图2.6.1-4所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.
问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？
（三）例题讲解
例1：如图2.6.1-5，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？
解法一：解：设道路的宽为x m
解法二：
解：设道路的宽为 x m
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2 m.
变式一:如图2.6.1-6，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？
变式二:如图2.6.1-7，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？
变式三:如图2.6.1-8，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？
变式四:如图2.6.1-9在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？
方法点拨
例2：如图2.6.1-10所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm ？
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm
根据题意得AP= x cm,PC=(6-x) cm,CQ=2x cm
整理，得
解得 x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm .
方法点拨
例3：如图2.6.1-11所示，要利用一面墙（墙长为25m）建羊圈，用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
解：设AB长是x m.
(100-4x)x=400
x2-25x+100=0
x1=5，x2=20
x=20,100-4x=20<25
x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去)
答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.
（四）课堂练习
1. 如图2.6.1-12所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A.x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
3.如图2.6.1-13，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
（五）课堂小结
1、通过本节课的学习你有哪些收获和感受？请同学们谈谈感受；
2、掌握实际问题转化为数学模型的方法和步骤.
（六）作业布置
完成本课时课后跟踪练习
五、板书设计
C
B
D
A
2.6.1-1
12m
16m
16m
12m
16m
16m
16m
x
x
x
x
x
x
x
x
2.6.1-2
12m
16m
2.6.1-3
16m
12m
xm
xm
2.6.1-4
32
x
x
20
2.6.1-5
2.6.1-3
2.6.1-6
2.6.1-7
2.6.1-8
2.6.1-9
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
2.6.1-10
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
D
C
B
A
25 m
2.6.1-11
80cm
x
x
x
x
50cm
2.6.1-12
2.6.1-13
利用一元二次方程解决行程问题
审、设、列、解、验、答
列方程步骤：
动点问题
小路问题
面积问题
1