初中数学北师大版七上3.5探索与表达规律 教案

3.5 探索与表达规律
一、学习目标
1．经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用.
2．能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、教学重难点
重难点：根据具体问题，探索并表达规律.
三、教学方法
讲授法、讨论法
四、教学过程
（一）新课导入
今天我们来做游戏：数学活动小组的n位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报（＋1），第2位同学报（＋1），…，请问第n位同学报的数是什么？这样得到的n个数的积又是多少呢？
（二）新知探究
探究1： 数的变化规律
内容：
探索教材中的问题：日历中的数学规律.
1.请同学们快速记住日历中的数字并能准确的说出它们的位置.
2.将上述日历中的有关数字隐藏，请同学填空，并说说是以什么方法记忆日历的？
学生通过观察，找到日历中每一行、每一列、每一条对角线上相邻两数之间的关系.
3.用套色方框框住日历中的九个数，并让学生计算套色方框中这九个数的和.（所给的是今年十月份的日历）
并提问：
（1）请思考方框中九个数的和与正中间的数有什么关系？
（2）请同学们拿出日历，任意用方框框住这份日历中其它的九个数，这个关系是否成立？（用几何画板进行演示）
（3）这个关系对十月份的日历成立，那对其他月份的日历成立吗？
从而得到猜想：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数
（4）我们应该如何进行验证？
学生根据方框中数的不确定性，引导他们想到用字母表示数，学生可能设任意一个方格的数为字母（任意），表示出其余的八个数，通过代数和运算发现，设正中间的数为字母计算较为简单，得到“问什么设什么”，根据代数和的运算验证了猜想的正确性.
从而得到规律：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数
（5）挑战： 给出几个图形，如“十”字形、“H”形，“M”形，让学生以小组为单位对相应图形中数的规律进行探究，并用代数式表示验证规律，并分小组展示.
；
目的：
教学中用屏幕显示日历图中的套色方框，让学生自主探究问题串，然后生生之间、
师生之间相互交流，目的在于通过学生自主探究和合作交流的学习方式，让师生共同经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，进一步发展其符号感；让学生经历从特殊到一般再到特殊的认识过程，发展其辩证唯物主义观点.鼓励学生用不同的思维方式，可以有不同设法，分别尝试比较，得出最佳方案，培养学生发散思维能力.通过探讨、归纳来总结规律是这一环节的主要目的.
效果：
本环节一开始就有效地调动了学生的学习积极性，给学生自主探究的时间和空间，达
到了问题由学生自己解决的目的.再者，由于给生生之间、师生之间的相互交流的时间较为充分，在生生互动、师生互动的过程中又较好地解决了问题串，达到了让学生经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程的目的.在实际教学过程中，学生自由探究、纷纷想办法解决问题，教师让学生展开交流与讨论.学生通过观察、比较、猜想、归纳和验证等步骤就得出了多种规律来，如学生得出了“十”字型、“H” 型、“W”型等多种情形下的不同的规律，得出了各种结论，还用所学的知识验证了这些规律.
例1 如图所示是一个按规律排列的数表，请用含n的代数式（n为正整数）表示数表中第n行第n列的数　　　　.
解析：观察数表可知：第一行第一列至第四行第四列的数依次为1，3，7，13，对这些数字作分解、组合如下：
第一行第一列：1＝0×1＋1；
第二行第二列：3＝1×2＋1；
第三行第三列：7＝2×3＋1；
第四行第四列：13＝3×4＋1；
　　…　　　　　　…
由此可以发现，所分解的式子乘积中的第1个因数为行（列）数减1，第2个因数恰为行（或列）数.所以第n行第n列的数是（n－1）n＋1.
　　方法总结：在认真观察、分析的基础上，将数或式中的有关数字进行分解、组合变形，从中探索变化规律是解决此类问题的关键.
探究2： 图形的变化规律
例2 观察下列图形：
（1）依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
（2）摆成第n个图形需要几个五角星？
（3）摆成第2015个图形需要几个五角星？
解析：通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答.
　　解：（1）根据题意得，第1个图中，五角星有3个（3×1）；第2个图中，五角星有6个（3×2）；第3个图中，五角星有9个（3×3）；第4个图中，五角星有12个（3×4）；∴第n个图中有五角星3n个.∴第20个图中五角星有3×20＝60个.（2）摆成第n个图形需要五角星3n个.（3）摆成第2015个图形需要6045个五角星.
　　方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值，注意由特殊到一般的分析方法.此题的规律为摆成第n个图形需要3n个五角星.
探究3： 数字游戏
内容：
（一）小明：你在心里想好一个两位数，将十位数字乘以2，然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到的新数加上个位数字.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数.
小亮：怎么知道的呢
探究活动1：请学生探究其中的规律.
(二)更上一层楼
1.任意写出一个两位数;
2.交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数;
3.求这两个数的和.
这些和有什么规律？你们组能发现并验证这个规律吗
目的：
一是给学生自主探究的时间和空间，让学生学会独立思考问题的习惯，再次经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，进一步发展其符号感. 二是给学生交流表达的机会，让学生明确说理的方法和技巧，并能对简单的规律进行解释. 通过这一环节，让学生感受这种探索规律的方法与上一环节中探索规律方法的共同点和不同之处，使学生明白不同的问题需要灵活对待，切不可生搬硬套.
效果：
一是因为本环节的场景是学生学习中非常熟悉的数学问题，因此有效地调动了学生的积极性. 二是由于给了学生自主探究的时间和空间，所以学生在回答问题时快而准确，也较好地培养了学生独立解决问题的能力.
（三）课堂练习
1.观察下列等式:
32-12=4×2；
42-22=4×3；
52-32=4×4；
（ ）2 -（ ）2=（ ）×（ ）；
填写第4个等式，第n个等式为_____________________ .
（五）课堂小结
这节课经过自主探索和合作交流，经历观察、操作、验证、归纳、分析、猜想、抽象、积累、类比、转化等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华了情感态度和价值观.
（六）作业布置
P99问题解决2、P103——104页15题、16题
五、板书设计
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