初中数学人教版九下29.1投影（第2课时） 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九下29.1投影（第2课时） 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 820.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 14:36:20 | ||
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文档简介
29.1投影
（第2课时）
一、教学内容分析
正投影是建立在平行投影基础上的，是对平行投影知识的延伸．同时，正投影也是后续学习视图知识的基础，由此形成了“投影——平行投影——正投影——视图”的知识链条．由于正投影是在三维空间中进行研究的，所以不可避免的涉及到一些空间图形的位置关系，比如空间中的两条直线平行、直线与平面的平行、斜交与垂直等，对此借助实际物体进行直观描述说明即可．
二、教学目标
1．结合实例，了解正投影的概念，进一步了解投影的意义．
2．根据正投影的性质画出简单几何体的正投影．
3．通过探索几何体及其正投影的关系，体会立体图形与平面图形的相互转化，发展空间观念．
三、教学重难点
【重点】结合具体实例了解正投影的概念和性质．
【难点】画出简单几何体的正投影．
四、教学方法
演示法．由于初中学生接触的主要是平面内一维或二维的几何图形，对于三维空间内的图形认识有限，所以可以借助真实的几何体进行演示，让学生直观感知正投影的形成，并观察其特征．
五、教学过程
（一）新课导入
复习：
1．形成投影有哪些要素？
2．根据投影线（或光源）特征，可以把投影分为哪几种类型？举例说明．
演示：把一块三角板放在一张硬纸板的正上方，使三角板与硬纸板平行，分别在上面用灯泡照射、阳光斜射、阳光直射三种方式，如图所示．
图1 图2 图3
思考：
1．三个演示中的光源、投影线、投影面、投影分别是什么？
2．三个投影中，哪个是中心投影？哪个是平行投影？为什么？
3．平行投影中的投影线与投影面有什么位置关系？
【提示】图1投影线集中于一点，故为中心投影；
图2与图3中投影线互相平行，故为平行投影；
图2中，投影线斜着照射投影面；
图3中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面．
意图：复习上节课所学的知识，为学习正投影做好铺垫，并顺利导入新课．
（二）新课讲授
活动一 学习正投影的概念
观察：在数学中，经常在一般基础上重点研究特殊情形，观察以上演示中，哪个投影线与投影面的位置关系最为特殊，为什么？
归纳：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
意图：从一般到特殊是很多数学问题的研究思路，对于正投影概念的得出，一方面是投影的下位知识，另一方面也体现了“一般——特殊”的研究思路．
活动二 研究线段的正投影
演示：如图，把一根直的细铁丝（记为线段 AB）放在三个不同位置，得到线段 AB的正投影．
观察：三种情形下线段 AB的正投影的形状、大小如何？（可以借助测量等方法）
归纳：通过观察、测量，我们可以发现：
（1）当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1；
（2）当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2 B2，线段与它的投影的大小关系为AB>A2 B2；
（3）当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A．
意图：先从最简单的图形的正投影开始研究，通过演示、观察、测量、归纳，得到线段（一维图形）在三种不同的位置状态下的正投影性质．
活动三 研究正方形的正投影
演示：如图，把一块正方形硬纸板 P（记作正方形ABCD）放在三个不同位置：
①纸板平行于投影面；
②纸板倾斜于投影面；
③纸板垂直于投影面．
观察：三种情形下纸板的正投影的形状、大小如何？（可以借助测量等方法）
归纳：通过观察、测量，我们可以发现：
（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小一样；
（2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不完全一样；
（3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段．
意图：类比线段正投影的研究方法，对正方形的正投影进行研究，通过演示、观察、测量、归纳，得到正方形（二维图形）在三种不同的位置状态下的正投影性质．
活动四 画简单几何体的正投影
演示：用一个正方体盒子作为模型，观察在与墙壁不同位置状态下，它在墙壁上的投影．
例 画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影．
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面；
（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且对角线AE垂直于投影面．
分析：（1）图中正方体的投影是一个正方形，来自面ABCD，与其垂直的四条棱分别投影为正方形的四个顶点．
（2）图中面ABCD和面ABGF分别投影为矩形A′B′C′D′和A′B′G′F′；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上下底面的投影分别是线段D′F′和C′G′．正方体的投影F′G′C′D′被线段A′B′一分为二．
解：如图，（1）正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关系．
（2）正方体的正投影为矩形F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点连线A′B′是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影．
归纳：正投影的性质
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
意图：本例的学习有两方面的作用，一是在学习了一维几何图形（线段）、二维几何图形（正方形）的基础上，研究三维几何图形（正方体）的正投影；二是学习简单几何体的正投影的画法．
（三）课堂练习
1．教材第92页练习题．
2．球的正投影是（ B ）
A．点 B．圆面 C．圆环 D．椭圆面
3．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ A ）
4．木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ D ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
5．当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为 400 ．
6．画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
解：如图所示：
意图：直接运用本节课所学正投影知识解决简单问题，巩固基础知识，促进基本画图技能的形成．
（四）课堂小结
教师提问：
1．正投影与平行投影有什么关系？
2．画图说明线段、正方形、正方体分别在平行于投影面、倾斜于投影面和垂直于投影面时，正投影的形状和大小．
3．举例说明“一般与特殊”“类比”等数学思想在数学学习的运用．
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：引导学生对本节课所学知识技能进行梳理，对方法过程进行回顾，对思想方法进行反思．
（五）作业布置
A组：教材第92页习题29.1第3-5题．
B组：已知木棒AB长8cm，AB平行于投影面α，投影线垂直于α．
（1）求影子A1B1的长度 (如图①)；
（2）若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2 (如图② )．
解：（1） A1B1= AB=8(cm)．
（2）如图，A2B2= AE = AB·cos∠BAE =4(cm)．
意图：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我评估和教学诊断．
六、板书设计
七、课后反思
正投影是研究特殊的平行投影，它的投影线与投影面垂直；正投影的性质重点关注的也是物体与投影面垂直——这种特殊位置关系下的情况．以学习一维几何图形（线段）的正投影为起点，与之类比学习二维几何图形（正方形）的正投影，并在此基础上学习三维几何图形（正方体）的正投影，体现了在知识连贯深化过程中数学思想方法的重要意义．
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（第2课时）
一、教学内容分析
正投影是建立在平行投影基础上的，是对平行投影知识的延伸．同时，正投影也是后续学习视图知识的基础，由此形成了“投影——平行投影——正投影——视图”的知识链条．由于正投影是在三维空间中进行研究的，所以不可避免的涉及到一些空间图形的位置关系，比如空间中的两条直线平行、直线与平面的平行、斜交与垂直等，对此借助实际物体进行直观描述说明即可．
二、教学目标
1．结合实例，了解正投影的概念，进一步了解投影的意义．
2．根据正投影的性质画出简单几何体的正投影．
3．通过探索几何体及其正投影的关系，体会立体图形与平面图形的相互转化，发展空间观念．
三、教学重难点
【重点】结合具体实例了解正投影的概念和性质．
【难点】画出简单几何体的正投影．
四、教学方法
演示法．由于初中学生接触的主要是平面内一维或二维的几何图形，对于三维空间内的图形认识有限，所以可以借助真实的几何体进行演示，让学生直观感知正投影的形成，并观察其特征．
五、教学过程
（一）新课导入
复习：
1．形成投影有哪些要素？
2．根据投影线（或光源）特征，可以把投影分为哪几种类型？举例说明．
演示：把一块三角板放在一张硬纸板的正上方，使三角板与硬纸板平行，分别在上面用灯泡照射、阳光斜射、阳光直射三种方式，如图所示．
图1 图2 图3
思考：
1．三个演示中的光源、投影线、投影面、投影分别是什么？
2．三个投影中，哪个是中心投影？哪个是平行投影？为什么？
3．平行投影中的投影线与投影面有什么位置关系？
【提示】图1投影线集中于一点，故为中心投影；
图2与图3中投影线互相平行，故为平行投影；
图2中，投影线斜着照射投影面；
图3中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面．
意图：复习上节课所学的知识，为学习正投影做好铺垫，并顺利导入新课．
（二）新课讲授
活动一 学习正投影的概念
观察：在数学中，经常在一般基础上重点研究特殊情形，观察以上演示中，哪个投影线与投影面的位置关系最为特殊，为什么？
归纳：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
意图：从一般到特殊是很多数学问题的研究思路，对于正投影概念的得出，一方面是投影的下位知识，另一方面也体现了“一般——特殊”的研究思路．
活动二 研究线段的正投影
演示：如图，把一根直的细铁丝（记为线段 AB）放在三个不同位置，得到线段 AB的正投影．
观察：三种情形下线段 AB的正投影的形状、大小如何？（可以借助测量等方法）
归纳：通过观察、测量，我们可以发现：
（1）当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1；
（2）当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2 B2，线段与它的投影的大小关系为AB>A2 B2；
（3）当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A．
意图：先从最简单的图形的正投影开始研究，通过演示、观察、测量、归纳，得到线段（一维图形）在三种不同的位置状态下的正投影性质．
活动三 研究正方形的正投影
演示：如图，把一块正方形硬纸板 P（记作正方形ABCD）放在三个不同位置：
①纸板平行于投影面；
②纸板倾斜于投影面；
③纸板垂直于投影面．
观察：三种情形下纸板的正投影的形状、大小如何？（可以借助测量等方法）
归纳：通过观察、测量，我们可以发现：
（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小一样；
（2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不完全一样；
（3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段．
意图：类比线段正投影的研究方法，对正方形的正投影进行研究，通过演示、观察、测量、归纳，得到正方形（二维图形）在三种不同的位置状态下的正投影性质．
活动四 画简单几何体的正投影
演示：用一个正方体盒子作为模型，观察在与墙壁不同位置状态下，它在墙壁上的投影．
例 画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影．
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面；
（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且对角线AE垂直于投影面．
分析：（1）图中正方体的投影是一个正方形，来自面ABCD，与其垂直的四条棱分别投影为正方形的四个顶点．
（2）图中面ABCD和面ABGF分别投影为矩形A′B′C′D′和A′B′G′F′；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上下底面的投影分别是线段D′F′和C′G′．正方体的投影F′G′C′D′被线段A′B′一分为二．
解：如图，（1）正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关系．
（2）正方体的正投影为矩形F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点连线A′B′是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影．
归纳：正投影的性质
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
意图：本例的学习有两方面的作用，一是在学习了一维几何图形（线段）、二维几何图形（正方形）的基础上，研究三维几何图形（正方体）的正投影；二是学习简单几何体的正投影的画法．
（三）课堂练习
1．教材第92页练习题．
2．球的正投影是（ B ）
A．点 B．圆面 C．圆环 D．椭圆面
3．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ A ）
4．木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ D ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
5．当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为 400 ．
6．画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
解：如图所示：
意图：直接运用本节课所学正投影知识解决简单问题，巩固基础知识，促进基本画图技能的形成．
（四）课堂小结
教师提问：
1．正投影与平行投影有什么关系？
2．画图说明线段、正方形、正方体分别在平行于投影面、倾斜于投影面和垂直于投影面时，正投影的形状和大小．
3．举例说明“一般与特殊”“类比”等数学思想在数学学习的运用．
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：引导学生对本节课所学知识技能进行梳理，对方法过程进行回顾，对思想方法进行反思．
（五）作业布置
A组：教材第92页习题29.1第3-5题．
B组：已知木棒AB长8cm，AB平行于投影面α，投影线垂直于α．
（1）求影子A1B1的长度 (如图①)；
（2）若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2 (如图② )．
解：（1） A1B1= AB=8(cm)．
（2）如图，A2B2= AE = AB·cos∠BAE =4(cm)．
意图：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我评估和教学诊断．
六、板书设计
七、课后反思
正投影是研究特殊的平行投影，它的投影线与投影面垂直；正投影的性质重点关注的也是物体与投影面垂直——这种特殊位置关系下的情况．以学习一维几何图形（线段）的正投影为起点，与之类比学习二维几何图形（正方形）的正投影，并在此基础上学习三维几何图形（正方体）的正投影，体现了在知识连贯深化过程中数学思想方法的重要意义．
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