初中数学人教版九下28.2.2 应用举例（第2课时） 教案

28.2.2 应用举例
（第2课时）
一、教学内容分析
解直角三角形在解决实际问题方面有着广泛的应用，上节课学习的是高空勘测问题，比如在太空观察地球的最远距离、利用仰角和俯角测量物体高度．本节课继续研究利用方位角、坡度等知识进行测量，涉及航海、斜坡等问题情境，解题关键是根据题意建立锐角三角函数模型．
二、教学目标
1．经历把与方位角、坡度相关的实际问题转化为解直角三角形问题，进一步提高数学建模能力；
2．利用解直角三角形的相关知识解决航海、斜坡等问题，进一步体会数形结合思想．
三、教学重难点
【重点】利用解直角三角形的知识解决与航海、斜坡等有关的实际问题．
【难点】构造适当的直角三角形，根据方位角、坡度等概念找出数量关系．
四、教学方法
课堂讨论法．本节课所学内容，是上节课的补充与延续，教学方法仍与上节课相同，教学过程中充分发挥学生的主体地位，引导学生积极探索发言讨论，在自主探索和小组合作中达成学习目标．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：复习方位角知识
如图，有A，B，C，D四艘渔船在灯塔四周进行捕鱼作业，
（1）位于灯塔南偏西65°方向的渔船是哪艘渔船？
（2）其他三艘渔船相当于灯塔的方向如何表示？
【提示】（1）B渔船；
（2）A渔船位于灯塔北偏西25°方向；
C渔船位于灯塔南偏西25°方向；
D渔船位于灯塔南偏东65°方向．
意图：通过复习与新授课内容相关的数学知识，做好知识铺垫，为顺利导入并解决例题做好准备．
（二）新课讲授
活动一 探索方位角问题
例5 一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处. 这时，B 处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
画图：根据题意，结合方位角的概念画出示意图．
思考：结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？
解答：请写出解题过程，要求过程完整规范．
解：如图，在 Rt△APC 中，
PC=PA·cos（90°- 65°）=80×cos 25°≈72.505．
在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
∵　sin B=，
∴　PB ==≈130（n mile）．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约 130 n mile.
讨论：
1．能否求出海轮从A处航行到B处的距离？
2．参考上节课的例4（教材第75页）和以上解题思路，将本题改编为利用仰角和俯角测量楼房高度AB的题目？
【提示】（1）如图，在 Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°- 65°）=80×cos 25°≈72.505，
AC=PA·sin（90°- 65°）=80×sin 25°≈33.809．
在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
∵　tan B=，
∴　BC ==≈107.415（n mile）．
∴AB=AC+CB=33.809+107.415≈141（n mile）．
因此，海轮从A处航行到B处的距离大约 141 n mile．
（2）比如：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为25°，看这栋楼底部的俯角为56°，热气球与楼顶部的距离为80 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
意图：让学生根据题意画出图形，加深对方位角的理解，为解题提供思路．讨论中的两个问题，其实是对例题的变式，一是题目情景不变，解答新的问题；二是改变题目情境，解题思路不变，让学生感受数学模型的高度概括性．
活动二 探索坡度问题
（一）认识坡度的相关概念
如图，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 l 的比叫坡度（或叫坡比），用字母 i 表示.
即：．
坡度一般写成 1﹕m的形式，如：i=1﹕5(即i=)．
注意：①坡度不是坡角的度数，而是一个比值；
②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡．
思考：（1）坡度i 与坡角之间具有什么关系？
（2）坡面铅直高度一定，其坡角、坡度与坡面水平宽度有什么关系？
（3）坡面水平宽度一定，坡度与铅直高度有什么关系？
【提示】（1）；
（2）坡角α的正切就是坡度i，坡面铅直高度h一定时，坡度i是坡面水平宽度l的反比例函数．
（3）此时，坡度i是铅直高度h的正比例函数．
（二）解决现实世界中的坡度问题
例6：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i1=1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5，求：
(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；
(2)斜坡AB与坝底AD的长度 (精确到0.1m).
思考：(1)求斜坡CD的坡角α，一定要构造直角三角形吗？为什么？
（2）求斜坡AB的长度，可以构造怎样的直角三角形，利用哪些条件？
（3）求坝底AD的长度，可以把AD分解为几条线段之和，受（2）的启发，如何添加辅助线？
解：（1） 斜坡 CD 的坡度i2=tanα=1:2.5=0.4，
由计算器可算得α≈ 22°.
故斜坡 CD 的坡角α约为 22°．
（2）分别过点 B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别点E，F，由题意可知BE=CF=23 m，EF=BC=6 m.
在 Rt△ABE 中，i1=，
∴AE=3BE=3×23=69（m）．
在 Rt△DCF 中，同理可得i2=，
∴AD=AE+EF+DF=69+6+57.5=132.5 (m)．
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
故坝底 AD 的长度为 132.5 m，斜坡 AB 的长度约为 72.7 m．
意图：教材例题中虽然没有出现坡角问题，但这是用直角三角形解决的典型实际问题，并且其中涉及坡度、坡角等概念，故增加一道例题作为补充学习内容．
活动三 总结一般解题过程
思考：通过对以上问题的解答，请总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程．
归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
意图：在解决问题的过程中，提炼得到一般解题过程，提高归纳概括能力．
（三）课堂练习
1．教材第77页练习第1题（可安排在“活动一”后完成）．
2．教材第77页练习第2题（可安排在“活动二”后完成）．
3．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257n mile的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数，）
（参考数据：tan40°≈0.84，取1.73）
解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC=60°，∠BCA=40°，AC=257，
在Rt△ABH中，
∵，，
∴，．
在Rt△BCH中，
∵，
∴．
又∵CA=CH+AH，
∴，
∴，
∴（n mile）
答：AB的长约为168n mile．
4．为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从 A 处滑下，经缓冲区 EF 之后，滑向 C 处，已知 AB⊥BD 于点 B，CD⊥BD 于点 D，AB =2CD，BD = 13 m，缓冲区EF =3 m，斜坡轨道 AE 的坡度 i =1：2，斜坡轨道FC的坡角为 37°，其中 B，E，F，D 在同一直线上，求AB 的长度．
（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
解：∵ AB =2CD，∴若设 CD =x，则 AB =2x，
∵ tan37°≈0.75，
∴ =0.75，则 DF =x，
∵ 斜坡轨道 AE 的坡度 i =1：2，
∴ BE =2AB =4x，
故 BD-EF =BE+FD =13-3=4x+x，
解得 x =，故 AB =2×= (m)．
意图：及时跟踪练习，巩固基础知识，规范解题步骤，并针对学生的解答情况，及时反馈信息，调整教学方式和教学内容．
（四）课堂小结
教师提问：
1．本节课学习了解直角三角形在解决哪些方面实际问题中的应用？
2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是怎样的？
3．在解决方位角问题时，通常利用什么构造直角三角形？
【提示】表示南北方向的直线．
4．在解决坡度问题时，经常添加什么辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形来解决问题？
【提示】过梯形的上底两端点作高．
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：回顾梳理本节课和上节课所学知识，进一步总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程和常用方法．
（五）作业布置
A组：教材第78-79页习题28.2第4，5，9题．
B组：教材第79页习题28.2第10，11题．
意图：A组题目注重用解直角三角形知识解决基本的方位角和坡角问题，B组题目在A组题目基础上增强了综合性，供学有余力的同学选用．
六、板书设计
七、课后反思
解直角三角形的应用范围广泛，通过例题不可能穷尽所有问题情境，教材中所列举的是一些常见类型，在日常生产生活中还有很多场景中用到解直角三角形的知识，所以从例题中提炼出一般的解题过程和常用的解题方法显得尤为重要，特别是把根据实际问题画出几何图形，从而将实际问题转化为数学问题，只有能突破这个关键点，才能把握问题的实质加以解决．
1