初中数学人教版九下28.2.2 应用举例（第1课时） 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九下28.2.2 应用举例（第1课时） 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 830.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 14:13:33 | ||
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文档简介
28.2.2 应用举例
（第1课时）
一、教学内容分析
学习锐角三角函数的基本过程体现了三个基本数学思想，由实际问题抽象得到三角函数概念，再通过直角三角形相关知识的推理丰富内容，最后用于指导实际问题的建模与解决．本课时主要体现了第三个环节，即用解直角三角形的知识解决现实世界中与视角（包括仰角、俯角）有关的问题．
二、教学目标
1．使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力；
2．利用解直角三角形的相关知识解决太空视角、高度测量等问题，体会数形结合思想的应用价值．
三、教学重难点
【重点】利用解直角三角形的知识解决与视角有关的实际问题．
【难点】根据问题情境画出示意图，归结为解直角三角形问题．
四、教学方法
讨论法．由于本节课所需的知识，比如仰角、俯角、解直角三角形等，在前面都已经学过，所以关键在于把实际问题转化为数学问题，在此过程中充分发挥学生的主体地位，引导学生积极探索发言讨论，在自主探索和小组合作中达成学习目标．
五、教学过程
（一）新课导入
回顾：
1．根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型？
2．解直角三角形的依据有哪些？
【提示】
1．解直角三角形的两种基本类型：
①已知一角（锐角）一边（邻边、对边或斜边），解直角三角形；
②已知两边（两条直角边，或一条直角边斜边 ），解直角三角形．
2．如图，在Rt△ABC中，
(1)三边之间的关系: (勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°；
(3)边角之间的关系:
意图：回顾本节课中解决实际问题所需的主要知识，为新课学习做好铺垫．
（二）新课讲授
活动一 探索太空观察地球问题
例3 2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km，π 取 3.142，结果取整数）？
思考：
1．从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
2．在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点？请根据题中的相关条件画出示意图．
3．问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？
【提示】1．从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．
2．如图，用⊙O表示地球，点 F是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体观测地球时的最远点．
3．的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即α），α可在Rt△POQ中求解．
解：在图中，FQ 是⊙O的切线，△FOQ 是直角三角形．
∵ cosα== ≈ 0.949 1，
∴ α ≈18.36°．
∴ 的长为×6 400 ≈×6 400≈2 051（km）．
由此可知，当组合体在 P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2 051 km．
意图：在对问题的分析过程中，提出一系列思考题，引导学生探索解决太空观察地球两点间距离问题，把实际问题抽象为数学问题．解答思考题，鼓励学生在独立思考的基础上，进行讨论交流，深化认识．
活动二 探索测量建筑物高度问题
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
观察：结合图形，指出从热气球看楼的视平线、仰角、俯角分别指什么？
思考：从解直角三角形的角度来看，这个问题可抽象为什么问题？怎样解决？
【提示】在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
∵ tanα=，tanβ=，
∴ BD=AD·tan α=120×tan 30°=120×=40，
CD=AD·tan β=120×tan 60°=120×=120．
∴ BC=BD+CD=40+120=160≈277（m）．
答：这栋楼高约为 277 m．
变式 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
思考：这道题与例题相比有何变化？应如何解答？
【提示】已知两角都是俯角，在视平线的同侧，
解答时由视平线与楼房CB延长线相交构造直角三角形．
这栋楼高BC=CD-BD=120-40=80≈139（m）．
归纳：解决与仰角、俯角有关的测量高度问题：
(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”；
(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度；
(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
意图：通过例题，学习结合仰角和俯角来测量建筑物高度的方法，在具体解题过程中，通过做视平线构造直角三角形，从而为借助解直角三角形知识解答创造条件．
（三）课堂练习
1．“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句．如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗？
（设代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997）
解：设登高到B处，视线BC在点C与地球相切，也就是看到点C，AB就是“楼”的高度，
在Rt△OCB中，∠O
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km)．
即这层楼至少要高19km，即19000m，这是不存在的．
2．教材第76页练习第1题（安排在“活动二”以后练习）
3．教材第76页练习第2题．
意图：课堂练习题与教材例题类型一致，把所学的解题方法进行及时运用，巩固强化，规范解题步骤．
（四）课堂小结
教师提问：
1．本节课学习了哪两种类型的实际问题？
2．解决以上实际问题时，我们要根据题意画出几何图形，如果图中有直角三角形，一般如何解答？如果没有直角三角形，一般如何解答？
3．在解题过程中，用到了哪些数学知识？
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：鼓励学生大胆发言，在独立思考的基础上，与同伴交流，培养学生总结梳理和分享质疑的能力．
（五）作业布置
A组：教材第77页习题28.2第2.3.7.8题．
B组：
1．如图，直升飞机在高为200m的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO．
解：如图，过点P作PC⊥BA的延长线于点C．
则∠PBO=∠CPB=45°，∠CPA=30°，
∴PC=BC=200+AC，
tan30°=
∴AC=m，
PO=BC=m．
2．如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：经过2min后，小明离地面的高度是多少米？
解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G，
∠COE= 2×=120°，∴∠GOE=60°.
∴OG=OE·cos∠GOE=20（m），
∴小明离地面的高度是：OG+OC+CD=20+40+6=66（m）.
意图：分层作业，照顾不同学情的学生，其中A组题目注重基础问题的解决，B组题目有一定综合性，供学有余力的同学选用．
六、板书设计
七、课后反思
锐角三角函数“天生”带有强烈的实践特色，所以解直角三角形的应用具有广泛的领域，本课时所列举的是比较常见的两种类型，尤其是利用仰角俯角测量物体的高度，更加符合学生的现实生活；而太空观察地球的问题，虽然显得“高大上”，却体现了数学在高科技方面的应用前景，提高学生的民族自豪感和学习数学的兴趣．
1
（第1课时）
一、教学内容分析
学习锐角三角函数的基本过程体现了三个基本数学思想，由实际问题抽象得到三角函数概念，再通过直角三角形相关知识的推理丰富内容，最后用于指导实际问题的建模与解决．本课时主要体现了第三个环节，即用解直角三角形的知识解决现实世界中与视角（包括仰角、俯角）有关的问题．
二、教学目标
1．使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力；
2．利用解直角三角形的相关知识解决太空视角、高度测量等问题，体会数形结合思想的应用价值．
三、教学重难点
【重点】利用解直角三角形的知识解决与视角有关的实际问题．
【难点】根据问题情境画出示意图，归结为解直角三角形问题．
四、教学方法
讨论法．由于本节课所需的知识，比如仰角、俯角、解直角三角形等，在前面都已经学过，所以关键在于把实际问题转化为数学问题，在此过程中充分发挥学生的主体地位，引导学生积极探索发言讨论，在自主探索和小组合作中达成学习目标．
五、教学过程
（一）新课导入
回顾：
1．根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型？
2．解直角三角形的依据有哪些？
【提示】
1．解直角三角形的两种基本类型：
①已知一角（锐角）一边（邻边、对边或斜边），解直角三角形；
②已知两边（两条直角边，或一条直角边斜边 ），解直角三角形．
2．如图，在Rt△ABC中，
(1)三边之间的关系: (勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°；
(3)边角之间的关系:
意图：回顾本节课中解决实际问题所需的主要知识，为新课学习做好铺垫．
（二）新课讲授
活动一 探索太空观察地球问题
例3 2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km，π 取 3.142，结果取整数）？
思考：
1．从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
2．在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点？请根据题中的相关条件画出示意图．
3．问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？
【提示】1．从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．
2．如图，用⊙O表示地球，点 F是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体观测地球时的最远点．
3．的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即α），α可在Rt△POQ中求解．
解：在图中，FQ 是⊙O的切线，△FOQ 是直角三角形．
∵ cosα== ≈ 0.949 1，
∴ α ≈18.36°．
∴ 的长为×6 400 ≈×6 400≈2 051（km）．
由此可知，当组合体在 P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2 051 km．
意图：在对问题的分析过程中，提出一系列思考题，引导学生探索解决太空观察地球两点间距离问题，把实际问题抽象为数学问题．解答思考题，鼓励学生在独立思考的基础上，进行讨论交流，深化认识．
活动二 探索测量建筑物高度问题
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
观察：结合图形，指出从热气球看楼的视平线、仰角、俯角分别指什么？
思考：从解直角三角形的角度来看，这个问题可抽象为什么问题？怎样解决？
【提示】在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
∵ tanα=，tanβ=，
∴ BD=AD·tan α=120×tan 30°=120×=40，
CD=AD·tan β=120×tan 60°=120×=120．
∴ BC=BD+CD=40+120=160≈277（m）．
答：这栋楼高约为 277 m．
变式 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
思考：这道题与例题相比有何变化？应如何解答？
【提示】已知两角都是俯角，在视平线的同侧，
解答时由视平线与楼房CB延长线相交构造直角三角形．
这栋楼高BC=CD-BD=120-40=80≈139（m）．
归纳：解决与仰角、俯角有关的测量高度问题：
(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”；
(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度；
(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
意图：通过例题，学习结合仰角和俯角来测量建筑物高度的方法，在具体解题过程中，通过做视平线构造直角三角形，从而为借助解直角三角形知识解答创造条件．
（三）课堂练习
1．“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句．如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗？
（设代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997）
解：设登高到B处，视线BC在点C与地球相切，也就是看到点C，AB就是“楼”的高度，
在Rt△OCB中，∠O
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km)．
即这层楼至少要高19km，即19000m，这是不存在的．
2．教材第76页练习第1题（安排在“活动二”以后练习）
3．教材第76页练习第2题．
意图：课堂练习题与教材例题类型一致，把所学的解题方法进行及时运用，巩固强化，规范解题步骤．
（四）课堂小结
教师提问：
1．本节课学习了哪两种类型的实际问题？
2．解决以上实际问题时，我们要根据题意画出几何图形，如果图中有直角三角形，一般如何解答？如果没有直角三角形，一般如何解答？
3．在解题过程中，用到了哪些数学知识？
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：鼓励学生大胆发言，在独立思考的基础上，与同伴交流，培养学生总结梳理和分享质疑的能力．
（五）作业布置
A组：教材第77页习题28.2第2.3.7.8题．
B组：
1．如图，直升飞机在高为200m的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO．
解：如图，过点P作PC⊥BA的延长线于点C．
则∠PBO=∠CPB=45°，∠CPA=30°，
∴PC=BC=200+AC，
tan30°=
∴AC=m，
PO=BC=m．
2．如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：经过2min后，小明离地面的高度是多少米？
解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G，
∠COE= 2×=120°，∴∠GOE=60°.
∴OG=OE·cos∠GOE=20（m），
∴小明离地面的高度是：OG+OC+CD=20+40+6=66（m）.
意图：分层作业，照顾不同学情的学生，其中A组题目注重基础问题的解决，B组题目有一定综合性，供学有余力的同学选用．
六、板书设计
七、课后反思
锐角三角函数“天生”带有强烈的实践特色，所以解直角三角形的应用具有广泛的领域，本课时所列举的是比较常见的两种类型，尤其是利用仰角俯角测量物体的高度，更加符合学生的现实生活；而太空观察地球的问题，虽然显得“高大上”，却体现了数学在高科技方面的应用前景，提高学生的民族自豪感和学习数学的兴趣．
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