初中数学人教版九下28.2.1 解直角三角形 教案

28.2.1 解直角三角形
一、教学内容分析
本章已经学习的锐角的三种三角函数，研究了直角三角形中任意两边与锐角之间的关系，加上之前学习的勾股定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，为解直角三角形积累了充实的知识储备．本节课就是在此基础上，学习解直角三角形的概念与方法．通过解直角三角形，也进一步巩固和加深对锐角三角函数的理解．
二、教学目标
1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．通过解直角三角形，渗透数形结合的数学思想，逐步培养学生分析问题，解决问题的能力．
三、教学重难点
【重点】能根据已知的两个条件（至少有一个是边），解直角三角形．
【难点】解直角三角形的过程中能选择适当的关系式．
四、教学方法
课堂讨论法．由于本节课所需知识已有一定的积累，所以在教学过程中，充分发挥学生的主体地位，让学生在自主学习的基础上，多进行交流讨论，在不断的展示、质疑、纠错、完善中完成学习任务．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：由章前图引入新知
世界遗产意大利比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2 m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了43.8 cm．
思考：
1．如果用“塔身中心线与垂直中心线所成的角α”来描述比萨斜塔的倾斜程度，根据已测量的数据你能求角α的度数吗？
从数学的角度看1972年的情形，上述问题可以抽象为什么几何图形？什么数学问题？
2．你能用学过的锐角三角函数知识，解决这个问题吗？（给出完整解答）
3．对于1350年落成时和2001年纠偏竣工时的情形，怎样求倾斜的角度？（说出思路，不用解答）
4．这些问题是在直角三角形中，已知什么元素？求什么元素？
【提示】1．设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图）．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB= 54.5 m，求∠A的度数．
2．由题意，得sinA=，
利用计算器可得∠A≈5°28′．
3．由sinA=求得∠A 的正弦值，再用计算器求∠A的度数．
4．直角三角形中，已知两条边（斜边和一条直角边），求锐角的度数．
意图：由实际问题抽象出数学问题，感受解直角三角形来源于解决实际问题的需求．
（二）新课讲授
活动一 梳理直角三角形中各元素之间的关系
思考：在上面的Rt△ABC中，除了能求出∠A 的度数，还能求出其他角或者边吗？（说出思路和依据，不用解答）
进一步，在直角三角形中，除了直角外的五个元素（两个锐角和三条边）之间有哪些关系？
归纳：如图，在Rt△ABC中，
(1)三边之间的关系: (勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°；
(3)边角之间的关系:
意图：梳理关于直角三角形的边与边、角与角、边与角之间的关系式，为解直角三角形夯实知识基础．
活动二 学习解直角三角形的概念
思考：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，知道其中的几个，就可以求其余元素？为什么？（说明该情况下直角三角形能唯一确定的原因）
归纳：在直角三角形中，知道除直角外的两个元素（至少有一个是边），即可以求出其余三个未知元素．（结合判定直角三角形全等的方法进行说明）
定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
意图：把解直角三角形的概念放到“活动二”，而不是“活动一”，使概念的得出更加自然．
活动三 典型问题变式解析
思考：根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型？
归纳：解直角三角形的两种基本类型：
①已知一角（锐角）一边（邻边、对边或斜边），解直角三角形；
②已知两边（两条直角边，或一条直角边和一条斜边 ），解直角三角形．
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，解这个直角三角形．
解：∵
∴∠A=60°，
∠B=90° ∠A=90° 60°=30°，
AB=2AC=2．
思考：
1．如果没有特殊角，怎样求第三边AB？
2．上面的问题中，已知两条直角边，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
【提示】1．利用勾股定理求AB．
2．归纳：已知两条直角边a，b，解直角三角形的一般解法：
①；
②由，求∠A；
③∠B=90° ∠A．
变式1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，解这个直角三角形．
解：∵
∴∠A=60°，
∠B=90° ∠A=90° 60°=30°，
AC=AB=．
思考：
1．如果没有特殊角，怎样求第三边AC？
2．上面的问题中，已知一条直角边和斜边，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
【提示】1．利用勾股定理求AC．
2．归纳：已知一条直角边（比如a）和斜边c，解直角三角形的一般解法：
①；
②由，求∠A；
③∠B=90° ∠A．
变式2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A = 60°，BC=，解这个直角三角形．
解：∠B=90° ∠A=90° 60°=30°．
∴AB=2AC=2．
思考：
1．如果没有特殊角，怎样借助三角函数求第三边AB？
2．上面的问题中，已知一条直角边和一个锐角，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
【提示】1．
2．归纳：已知一条直角边和一个锐角（比如a，∠A），解直角三角形的一般解法：
①∠B=90° ∠A．
②
③
变式3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A = 60°，AB=2，解这个直角三角形．
解：∠B=90° ∠A=90° 60°=30°．
∴AC=AB=．
思考：
1．如果没有特殊角，怎样借助三角函数求第三边AC？
2．上面的问题中，已知斜边和一个锐角，解直角三角形，你能总结一下这类问题的一般解法吗？
【提示】1．
2．归纳：已知斜边c和一个锐角（比如∠A），解直角三角形的一般解法：
①∠B=90° ∠A．
②
③
意图：通过对例题及其三个变式问题的研究，采用相同的学习过程，掌握四种解直角三角形的常见类型及其解法．
（三）课堂练习
1. 在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ D ）
A．已知BC=3，∠C=90°
B．已知∠C=∠B=45°
C．已知∠C=90°，∠A=2∠B
D．已知∠C=90°，∠A=30°，BC=5
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是（ C ）
A．b=a·tanA B．b=c·sinA C．b=c·cosA D．a=c·cosA
3．教材第73页例2（由学生独立解答，然后按照教材解题过程规范步骤和格式）
4．教材第74页练习题．
意图：直接利用本节课所学解直角三角形的常用方法解决数学问题，巩固基础知识，规范解题步骤．
（四）课堂小结
教师提问：
1．什么叫解直角三角形？ 直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？
2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？
3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？
意图：梳理本节课做学的知识，鼓励学生大胆发言，积极与同伴进行交流，师生共同总结．
（五）作业布置
A组：教材第77页习题28.2第1，6题．
B组：
1．在△ABC中，∠ABC=90°．若AC =100，，则AB=（ D ）
A． B． C．60 D．80
2. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为 ．
3. 根据图中数据，求AB和BC的长．
提示：作CD⊥AB于点D，将△ABC分割为Rt△ACD，Rt△CDB，可得 CD，AD，BD 的长，进而求解．
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴∠ACD=90° ∠A=60°，
∴CD=AC=2，
AD=AC·cosA=4×=2 ．
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，
∴BD=CD=2．
∴．
意图：布置分层作业，照顾不同学情的学生，A组题目注重简单问题的解决，B组题目有一定综合性，供学有余力的同学选用．
六、板书设计
七、课后反思
本节课在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法．既帮助学生进一步理解锐角三角函数的概念，同时又为以后的应用举例打下基础．因此，本节课的学习中不但要梳理解直角三角形的一般思路方法，更要让学生比较熟练地选择恰当的关系式（特别是锐角三角函数关系式）．
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